高中數學 第二章 空間向量的數量積運算 北師大選修21

空間向量的數量積運算北師大版高中數學選修2-1第二章《空間向量與立體幾何》1.一、共線向量:零向量與任意向量共線.

1.共線向量:如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量(或平行向量),記作2.共線向量定理:對空間任意兩個向量的充要條件是存在實數λ使2.

推論:如果為經過已知點A且平行已知非零向量的直線,那么對任一點O,點P在直線上的充要條件是存在實數t,滿足等式OP=OA+t其中向量a叫做直線的方向向量.OABPa若P為A,B中點,則3.2.共面向量定理:如果兩個向量不共線,則向量與向量共面的充要條件是存在實數對使4.推論:空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數對x,y使

或對空間任一點O,有

注意：空間四點P、M、A、B共面實數對5.平面向量數量積的相關知識復習：平面向量的夾角：AOBAB叫做向量a與b的夾角。已知兩個非零向量a和b，在平面上取一點O，作OA=a,OB=b,則6.平面向量的數量積的定義：平面向量的數量積已知兩個非零向量a,b，則|a||b|cos叫做向量a,b的數量積，記作即并規(guī)定07.教學過程一、幾個概念1）兩個向量的夾角的定義OAB8.2）兩個向量的數量積注意：①兩個向量的數量積是數量，而不是向量.②零向量與任意向量的數量積等于零。9.3）射影BAA1B1注意：是軸l上的正射影,A1B1是一個可正可負的實數，它的符號代表向量與l的方向的相對關系，大小代表在l上射影的長度。10.4)空間向量的數量積性質注意：①性質2）是證明兩向量垂直的依據；②性質3）是求向量的長度（模）的依據；對于非零向量，有：11.5)空間向量的數量積滿足的運算律注意：數量積不滿足結合律12.二、課堂練習13.三、典型例題

例1：已知m,n是平面內的兩條相交直線，直線l與的交點為B，且

l⊥m，l⊥n，求證：l⊥分析：由定義可知，只需證l與平面內任意直線g垂直。nmggmnll要證l與g垂直，只需證l·g＝0而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序實數對(x,y)使得g=xm+yn

要證l·g＝0,只需l·g=xl·m+yl·n=0而l·m＝0，l·n＝0故l·g＝014.三、典型例題

例1：已知m,n是平面內的兩條相交直線，直線l與的交點為B，且l⊥m，l⊥n，求證：l⊥nmggmnll證明：在內作不與m、n重合的任一條直線g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m與n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序實數對（x，y），使

g=xm+yn,l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l(xiāng)·g=0∴l(xiāng)⊥g這就證明了直線l垂直于平面內的任一條直線，所以l⊥15.例2：已知：在空間四邊形OABC中,OA⊥BC，

OB⊥AC，求證：OC⊥ABABCO

16.鞏固練習：利用向量知識證明三垂線定理aAOP17.例3如圖，已知線段在平面內，線段，線段，線段，，如果，求、之間的距離。解：由，可知.由知.

18.例4已知在平行六面體中，,,求對角線的長。解：19.1.已知線段、在平面內，，線段，如果，求、之間的距離.解：∵20.2.已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于，點分別是邊的中點。求證：。證明：因為所以同理，21.3.已知空間四邊形，求證：。證明：∵22.4.如圖，已知正方體，和相交于