l第十三章實數(shù)教材分析新

第十三章實數(shù)教材分析北大附中李廣麗內(nèi)容提要一、本章的地位和作用二、本章課時安排三、本章內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)四、幾個值得關(guān)注的問題五、具體教學(xué)建議六、好題推薦一、本章的地位和作用從《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》看，關(guān)于數(shù)的內(nèi)容，第三學(xué)段主要學(xué)習(xí)有理數(shù)和實數(shù)，它們是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。對于有理數(shù)和實數(shù)，本套教材安排3章內(nèi)容，分別是7年級上冊第1章“有理數(shù)”，8年級上冊第13章“實數(shù)”和9年級上冊第21章“二次根式”。本章是在有理數(shù)的基礎(chǔ)上認(rèn)識實數(shù)，對于實數(shù)的學(xué)習(xí)，除本章外，還要在“二次根式”一章中通過研究二次根式的運算，進(jìn)一步認(rèn)識實數(shù)的運算。本章的主要內(nèi)容是平方根、立方根的概念和求法，實數(shù)的有關(guān)概念和運算．通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識就由有理數(shù)的范圍擴(kuò)大到實數(shù)范圍，本章之前的數(shù)學(xué)內(nèi)容都是在有理數(shù)范圍內(nèi)討論的，學(xué)習(xí)本章之后，將在實數(shù)范圍內(nèi)研究問題．雖然本章的內(nèi)容不多，篇幅不大，但在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，本章內(nèi)容不僅是后面學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程以及解三角形等知識的基礎(chǔ)，也為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中不等式、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識作好準(zhǔn)備二、本章課時安排

本章教學(xué)時間約需8課時，具體分配如下（僅供參考）：

10．1平方根

3(4)課時

10．2

立方根

2(1)課時

10．3實數(shù)2課時

數(shù)學(xué)活動與

小結(jié)

1課時三、本章內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)（一）本章主要內(nèi)容包括算術(shù)平方根、平方根、立方根以及實數(shù)的有關(guān)概念和運算．（二）本章知識結(jié)構(gòu)框圖

1．本章知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)如下圖所示：2．本章知識的展開順序如下圖所示：

（二）本章重點、難點重點:算術(shù)平方根和平方根的概念和求法難點:平方根和實數(shù)的概念．（三）內(nèi)容與學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根；2．了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根；3．了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應(yīng)；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴(kuò)大到實數(shù)后，一些概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化；4．能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍．四、幾個值得關(guān)注的問題（一）把握教學(xué)要求本冊書對于某些內(nèi)容采用提前滲透、逐步提高的編寫方式．例如，對于平面直角坐標(biāo)系，在第6章“平面直角坐標(biāo)系”中研究了點與有序數(shù)對的對應(yīng)關(guān)系，其中點的坐標(biāo)都是整數(shù)，在本章將把點的坐標(biāo)由整數(shù)的情形擴(kuò)展到實數(shù)范圍，并建立點與有序?qū)崝?shù)對的一一對應(yīng)關(guān)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的圖象、函數(shù)與方程和不等式的關(guān)系等打下基礎(chǔ)．對于平移變換，教課書在第5章“相交線與平行線”中安排了一節(jié)“平移”，探討得出“平移前后的兩個圖形的對應(yīng)點的連線平行且相等”等平移變換的基本性質(zhì)，又在第6章“平面直角坐標(biāo)系”中安排了用坐標(biāo)方法研究平移的內(nèi)容，從坐標(biāo)的角度進(jìn)一步認(rèn)識平移變換，這時平移中遇到的坐標(biāo)都是整數(shù)的情況．在本章，由于建立了點與有序?qū)崝?shù)對的一一對應(yīng)關(guān)系，本章又在實數(shù)范圍內(nèi)研究平移的內(nèi)容，為后續(xù)學(xué)習(xí)利用平移變換探索幾何性質(zhì)以及綜合運用幾種變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似等）進(jìn)行圖案設(shè)計等打下基礎(chǔ)．

本章還通過一個例題學(xué)習(xí)了實數(shù)的簡單運算，安排這個例題的目的是要說明有理數(shù)的運算法則和運算性質(zhì)等在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，關(guān)于實數(shù)的運算在后面的“二次根式”一章中還要繼續(xù)研究．

85頁另外，本章也提前滲透了一些數(shù)學(xué)思想和方法．比如，本章的數(shù)學(xué)活動1，涉及到勾股定理的內(nèi)容，讓學(xué)生利用勾股定理，在數(shù)軸上畫出表示幾個無理數(shù)的點．這里只是結(jié)合無理數(shù)滲透了勾股定理，關(guān)于勾股定理以后還要進(jìn)行專門的研究．綜上所述，本章教學(xué)時要注意把握教學(xué)要求，以一種發(fā)展的、動態(tài)的觀點看待教學(xué)要求，不能要求一次到位．

（二）發(fā)揮計算器的作用，加強(qiáng)估算能力的培養(yǎng)使用計算器進(jìn)行復(fù)雜運算，可以使學(xué)習(xí)的重點更好地集中到理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)上來，估算是一種具有實際應(yīng)用價值的運算能力．提倡使用計算器進(jìn)行復(fù)雜運算，加強(qiáng)估算，綜合運用筆算、計算器和估算等方式培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，是本章的一個教學(xué)要求．76頁12題任意找一個正數(shù)，比如1234，利用計算器對它進(jìn)行開平（立）方，在對得到的平（立）方根進(jìn)行開（立）方…如此進(jìn)行下去，你有什么發(fā)現(xiàn)？81頁10題五、具體教學(xué)建議

13.1平方根（一）讓學(xué)生體會和理解算術(shù)平方根的意義

32=？

（？正數(shù)）2=9正方形的面積19164/25邊長（二）算術(shù)平方根的符號表示1.求算術(shù)平方根表示形式：（1）9的算術(shù)平方根（2）若x2=9(x>0),求x

（3）2符號的意義：①提供了一種方便表示算術(shù)平方根的方法；因為2不是完全平方數(shù)，所以它的算術(shù)平方根只能用根的符號即來表示②同時也表示一種運算，即對非負(fù)數(shù)進(jìn)行算術(shù)平方根運算.

3.平方根符號的演變形成公元2世紀(jì),羅馬數(shù)學(xué)家尼普薩斯用拉丁語Latus(意思為正方形的邊)記平方根,后來L成為歐洲一個常用的平方根符號；16世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家魯多爾夫和比利時的數(shù)學(xué)家斯蒂文使用√表示平方根，1637年笛卡爾使用√作為平方根的符號；1647年英國數(shù)學(xué)家奧特雷德用√r表示平方根。1721年哈頓用3√表示立方根，4√表示4次方根。1732年盧貝爾用表示25的3次方根。后來各次方根都采用了這種形式，一直沿用至今。（三）非負(fù)性

的兩個非負(fù)：（1）被開方數(shù)（2）例1.中的x取值范圍為例2.已知求a,b

的值例3.已知求x+y值例4.已知求a的取值范圍例5.求的最小值（四）有關(guān)本節(jié)“探究”的處理和建議問題：怎樣用兩個面積為1的正方形拼成一個面積為2的大正方形？拼法教材給出的方法：可根據(jù)情況介紹其它拼法：等于多少?教材給出了兩種求的方法，一種是估算，一種是使用計算器。估算是一種具有實際應(yīng)用價值的方法，提倡使用計算器進(jìn)行復(fù)雜運算，加強(qiáng)估算，綜合運用筆算、估算和計算器等培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，是本章的一個教學(xué)要求.建議教學(xué)中老師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷估算的過程，使學(xué)生了解用夾逼法估算無理數(shù)的方法，感受是無限不循環(huán)小數(shù)這個事實；有些學(xué)生可能已經(jīng)知道,不妨讓學(xué)生估算常用的幾個無理數(shù)的近似值建議讓學(xué)生記?。?/p>

有關(guān)71例3的幾點建議和想法1.需向?qū)W生解釋的意義；2.給出了一種常見的用有理數(shù)估算無理數(shù)的方法（用與被開方數(shù)最接近的完全平方數(shù)來估算它的算術(shù)平方根，即當(dāng)含有根式的數(shù)比較大小時，可先比較它們的平方數(shù)），應(yīng)使學(xué)生掌握，并感受估算能力是生活中需要的一種能力。3.歸納比大小常用的方法：近似估值法，比平方（立方），作差等例：比較大小4.例3的延伸與開拓小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長方形紙片，使它的長寬之比為3：2，不知能否裁出來？若把此問題中的條件“沿著邊的方向裁出”改為“要剪拼出一塊面積并且使剪裁的塊數(shù)盡量少”，問是否可裁出？

方法一②③①①④②④③方法二①①②②方法三①①②②(五)平方根的教學(xué)1.本套教材是在算術(shù)平方根的基礎(chǔ)上展開了對平方根的討論和學(xué)習(xí)，介紹了利用乘方和開方互為逆運算來求平方根的方法。并用73頁的圖13.1-2直觀地描述了乘方與開方互為逆運算的關(guān)系，揭示了開平方運算的本質(zhì)。2.讓學(xué)生從宏觀上把握開方，理解開方是乘方的逆運算

a2=N(±3)2=？（?）2=9（2）聯(lián)系加減、乘除、乘方與開方互為逆運算，使學(xué)生在六種運算的整體中認(rèn)識開方運算；（3）給出具體的例子正確區(qū)分的含義；是省略+的寫法需加強(qiáng)此方面的訓(xùn)練和理解，

76頁11題的處理建議76頁11題的處理建議

1.此題設(shè)置的目的是讓學(xué)生通過一些具體的例子了解二次根式的兩個行性質(zhì)；2.教學(xué)要求了解，有所感受為以后學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。老師可根據(jù)情況來把握要求。

具體數(shù)的計算應(yīng)該掌握。例如

(六)總結(jié)算術(shù)平方根、平方根的表現(xiàn)形式

1.平方根：（1）9的平方根（2）（3）若，求2.算術(shù)平方根：（1）9的算術(shù)平方根（2）（3）若求例：解方程：(七)常用完全平方數(shù)：

常用完全平方數(shù)：13.2立方根(一)對于立方根，教材采用了類似平方根的方法討論。首先也是從典型的實際問題（已知立方體的體積求邊長）出發(fā)，引出立方根的概念，介紹了利用乘方與開方互為逆運算求立方根的方法，探討了立方根的特征，最后學(xué)習(xí)使用計算器求立方根。(二)在立方根的教學(xué)中，可對比平方根進(jìn)行，分析它們的區(qū)別與聯(lián)系，加強(qiáng)新舊知識的聯(lián)系，既鞏固復(fù)習(xí)了平方根的知識，又利于立方根知識的理解與掌握。1.提出問題:為什么開立方時是一對一，而開平方時一對二？2.推廣與延伸平方根是偶次方根的典型代表，立方根是奇次方根的典型代表；偶次方根、奇次方根具有與它們類似的性質(zhì)與特征例：(1)16的4次方根是（）（2）-32的5次方根是（）(三)需注意的幾個問題1.讓學(xué)生熟悉常用的立方數(shù)2.理解立方根的三種的表現(xiàn)形式

8的立方根；；若，求

會利用立方根定義解相關(guān)方程，比如3.81頁第9題通過具體的計算讓學(xué)生體會和發(fā)現(xiàn)立方根的兩個性質(zhì)讓學(xué)生掌握并會運用來進(jìn)行具體數(shù)的計算。(四)歸納平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系1.平方根與立方根的特征（1）一個正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù)；負(fù)數(shù)沒有平方根；0只有一個平方根，它是0本身（2）一個正數(shù)有一個正立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；

0的立方根是0本身；2.3.平方根與立方根的性質(zhì)

4.一般地，求一個數(shù)的平方根、立方根都有兩種方法（1）根據(jù)開方與乘方互為逆運算

（2）用計算器求13.3實數(shù)(一)本節(jié)內(nèi)容簡介本節(jié)采用與有理數(shù)對照的方法引入了無理數(shù)的概念，并給出了實數(shù)的概念與分類。接著通過探究在數(shù)軸上畫出表示和的點，說明了無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點來表示，并指出數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的，平面上的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的。接下來結(jié)合具體的例子說明隨著無理數(shù)的引入，數(shù)域擴(kuò)展到實數(shù)后，在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的一些概念和運算在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立。(二)實數(shù)的概念與分類1.無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù)；有限小數(shù)或無限不循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)。2.分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化

所有的分?jǐn)?shù)都可化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。3.初中階段常見的無理數(shù)（1）開方開不盡的數(shù)（2）含的式子（3）本身就寫成了無限不循環(huán)小數(shù)的（4）三角函數(shù)(三)為使學(xué)生更好地理解無理數(shù)和有理數(shù)的概念，可簡要向?qū)W生介紹它們的由來。

有理數(shù)rationalnumber（可寫成兩個整數(shù)比的數(shù)）無理數(shù)irrationalnumber（不能可寫成兩個整數(shù)比的數(shù)）徐光啟在譯成中文時，因為中文中沒有現(xiàn)成的、可對照的詞，理是比的意思。教參拓展資源中有介紹。(四)無理數(shù)在數(shù)軸上的表示在83頁的探究活動中用滾動圓和畫正方形的方法介紹了在數(shù)軸上畫出的點的方法。建議老師把教材89頁的數(shù)學(xué)活動提到此節(jié)后講。數(shù)學(xué)活動1介紹了利用勾股定理在數(shù)軸上作出一些表示無理數(shù)的點。勾股定理以后還要專門研究，本節(jié)課只需讓學(xué)生知道勾股定理的結(jié)論并會運用作出斜邊為等的直角三角形即可。(五)實數(shù)有關(guān)概念和運算（1）引入無理數(shù)后當(dāng)數(shù)從有理數(shù)的范圍擴(kuò)充到實數(shù)范圍后，相反數(shù)、絕對值的意義同樣適用，有理數(shù)的運算律和運算性質(zhì)仍然成立；使得原有的規(guī)律在更大的范圍繼續(xù)成立這是數(shù)學(xué)推廣的一個特征（2）涉及無理數(shù)的計算，可以通過取近似值轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的計算。例如（精確到0.01）在教學(xué)中老師需指出并強(qiáng)調(diào)：在計算過程中取的近似值要比結(jié)果的要求要多取一位小數(shù)。比如此題結(jié)果要求精確到百分位，在計算過程中就要取到千分位。六、好題推薦

1.在

中，其中：整數(shù)有

；分?jǐn)?shù)有

；正有理數(shù)有

；無理數(shù)有

;

負(fù)實數(shù)有

.2.如圖所示，B,C到A的距離相等，A,B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為1，，設(shè)C點表示的數(shù)為x，求的值

CABx1

∵CA=CB∴-1=1-xx=2-3.閱讀下面的文字，解答問題.

大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.

請解答：已知，其中是整數(shù)，且，求的相反數(shù)和絕對值.

4.已知103823