數(shù)學(xué)思想方法的突破

數(shù)學(xué)思想方法的突破數(shù)學(xué)思想方法的突破一、模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景模糊數(shù)學(xué)是在特定的歷史背景中產(chǎn)生的，它是數(shù)學(xué)適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)需要的產(chǎn)物。模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生之前的數(shù)學(xué)，只能精確地描述和研究那些界限分明的量，即明晰的量，把它們用于描述和研究模糊的量就失效了。對那些模糊的量，只有用一種“模糊”的方法去描述和處理，才能使結(jié)果符合實際。因此，隨著社會實踐的深化和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對“模糊”數(shù)學(xué)方法進行研究也就成為十分必要的了。其次，電子計算機的發(fā)展為模糊數(shù)學(xué)的誕生準備了搖籃。自本世紀40年代電子計算機問世以來，電子計算機在生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域的應(yīng)用日益廣泛。電子計算機發(fā)展的一個重要方向是模擬人腦的思維，以便能處理生物系統(tǒng)、航天系統(tǒng)以及各種復(fù)雜的社會系統(tǒng)。而人腦本身就是一種極其復(fù)雜的系統(tǒng)。人腦中的'思維活動之所以具有高度的靈活性，能夠應(yīng)付復(fù)雜多變的環(huán)境，一個重要原因是邏輯思維和非邏輯思維同時在起作用。一般說來，邏輯思維活動可用明晰數(shù)學(xué)來描述和刻畫，而非邏輯思維活動卻具有很大的模糊性，無法用明晰數(shù)學(xué)來描述和刻劃。因此，以二值邏輯為理論基礎(chǔ)的電子計算機，也就無法真實地模擬人腦的思維活動，自然也就不具備人腦處理復(fù)雜問題的能力。這對電子計算機特別是人工智能的發(fā)展，無疑是一個極大的障礙。為了把人的自然語言算法化并編入程序，讓電子計算機能夠描述和處理那些具有模糊量的事物，從而完成更為復(fù)雜的工作，就必須建立起一種能夠描述和處理模糊的量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)理論。這就是模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的直接背景。模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)立者是美國加利福尼亞大學(xué)的札德教授。為了改進和提高電子計算機的功能，他認真研究了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)-集合論。他認為，要想從根本上解決電子計算機發(fā)展與數(shù)學(xué)工具局限性的矛盾，必須建立起一種新的集合理論。1965年，他發(fā)表了題為《模糊集合》的論文，由此開拓出了模糊數(shù)學(xué)這一新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。二、模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)明晰數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)是普通集合論，模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)則是模糊集合論。札德也正是從模糊集合論著手，建立起模糊數(shù)學(xué)的。模糊集合論與普通集合論的根本區(qū)別，在于兩者賴以存在的基本概念-集合的意義不同。普通集合論的基本概念是普通集合即明晰集合。對于這種集合，一個事物與它有著明確的隸屬關(guān)系，要么屬于這個集合，要么不屬于這個集合，兩者必居其一，不可模棱兩可。如果用函數(shù)關(guān)系式表示，可寫成0Wu(u)Wl(或記作u(u)e[0,1])有了隸屬函數(shù)概念，就可給模糊集合下一個準確的定義了。札德在1965年的論文中給出了如下的定義：隸屬函數(shù)的選取是一個較為復(fù)雜的問題，目前還沒有一個固定和通用的模式，它依問題的不同可以有不同的表達形式。在許多情況下，它是憑借經(jīng)驗或統(tǒng)計分析確定的。這里實際上就是求隸屬函數(shù)，如果打分的結(jié)果是u1得85分，u2得75分，u3得98分，u4得30分，u5得60分那么隸屬函數(shù)的值應(yīng)是可表示為還可表示為或普通集合與模糊集合有著內(nèi)在的聯(lián)系，這可由特征函數(shù)A(u)和隸屬函數(shù)的關(guān)系來分析。事實上，當隸屬函數(shù)只取[0,1]閉區(qū)間的兩端點值0，1時，隸屬函數(shù)也就退化為特征函數(shù)A(u)，從而模糊子集也就轉(zhuǎn)化為普通集合A.這就表明普通集合是模糊集合的特殊情況,模糊集合是普通集合的推廣，它們既相互區(qū)別，又相互聯(lián)結(jié)，而且在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。正因為有此內(nèi)在的聯(lián)系，決定了模糊數(shù)學(xué)可以廣泛地使用明晰數(shù)學(xué)的方法，從明晰數(shù)學(xué)到模糊數(shù)學(xué)存在著由此達彼的橋梁。模糊數(shù)學(xué)作為一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科，雖然它的歷史很短，但由于它是在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)迫切需要下應(yīng)運而生的，因而對于它的研究，無論是基礎(chǔ)理論還是實際應(yīng)用，都得到了迅速的發(fā)展。就其基礎(chǔ)理論而言，模糊數(shù)學(xué)研究的課題已涉及到廣泛的范圍，如模糊數(shù)、模糊關(guān)系、模糊矩陣、模糊圖、模糊映射和變換、模糊概率、模糊判斷、模糊規(guī)劃、模糊邏輯、模糊識別和模糊控制等。在應(yīng)用方面，模糊數(shù)學(xué)的思想與方法正在廣泛滲透到科學(xué)和技