機械振動學習題解答(二)

《機械振動學》習題(xítí)解答（二）2013-04-19精品資料4－1如圖所示，質量為m的油缸與剛度為k的彈簧相連，通過阻尼系數(shù)為c的黏性阻尼器以運動規(guī)律y=Asinωt的活塞給予激勵，求油缸運動的振幅(zhènfú)以及它相對于活塞的相位。解：設油缸位移為x，活塞位移為y，對油缸建立方程即方程的解為

x的振幅

而活塞的運動(yùndòng)為所以x相對于y的相位差ycmkx相位精品資料4－2如圖所示，質量可忽略的直角剛性桿可繞鉸鏈(jiǎoliàn)O自由轉動，彈簧一端有簡諧位移擾動Acosωt。試導出系統(tǒng)的振動微分方程，并求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。解：設剛性桿向順時針方向轉動(zhuàndòng)θ角，則圖中B點的位移和速度分別為

對剛性桿用動量矩定理cmkAcos

ωtmgaLθ由化簡得微分方程B精品資料微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)穩(wěn)態(tài)響應(xiǎngyìng)其中或其中精品資料4－3求彈簧-質量系統(tǒng)在庫侖阻尼(zǔní)和簡諧激勵力F0sinωt作用下的振幅。在什么條件下運動能繼續(xù)？解：庫侖(kùlún)阻尼的等效阻尼系數(shù)

振幅上式可化簡為要使運動能繼續(xù)，X不能為虛數(shù)，所以精品資料4－5帶結構阻尼的單自由度系統(tǒng)，若剛度和阻尼的作用可用復數(shù)形式表示，系統(tǒng)的等效質量為m，求系統(tǒng)在簡諧激勵(jīlì)下的響應。解：系統(tǒng)(xìtǒng)的微分方程為設系統(tǒng)(xìtǒng)的穩(wěn)態(tài)響應，代入上式得解得所以其中精品資料4－7彈性支承(zhīchénɡ)的車輛沿高低不平的道路運行可用圖示單自由度系統(tǒng)模擬。若每經過距離為L的路程，路面的高低按簡諧規(guī)律變化一次，試求出車輛振幅與運行速度v之間的關系，并確定最不利的運行速度。解：將路面看成(kànchénɡ)簡諧激勵，其周期，則角頻率系統(tǒng)方程為穩(wěn)態(tài)響應振幅系統(tǒng)發(fā)生共振時為最不利的情況精品資料4－8圖示系統(tǒng)中，集中質量m=20kg，彈簧剛度k=3.5kN/m，阻尼器的黏性阻尼系數(shù)為c=0.2kN·s/m，凸輪的轉速為60r/min，行程(xíngchéng)為0.01m。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。解：設凸輪的行程(xíngchéng)為a，則凸輪的位移可表示為，并由題意知：a=0.01m，周期τ=1s。將x0(t)展開為Fourier級數(shù)其中

所以奇函數(shù)的Fourier級數(shù)只有正弦項，偶函數(shù)只有余弦項。精品資料系統(tǒng)(xìtǒng)的微分方程為即

于是穩(wěn)態(tài)響應靜載荷(zàihè)多個簡諧激勵其中精品資料4－9一個彈簧-質量系統(tǒng)從傾斜角為30°的光滑斜面下滑。求彈簧從開始接觸擋板(dǎnɡbǎn)到脫開擋板(dǎnɡbǎn)的時間。解：設彈簧接觸擋板的時刻為t=0，此后質量

塊做無阻尼自由振動，以彈簧平衡位置為原

點，其運動方程為t=0時的初速度初始(chūshǐ)位移（即彈簧自由長度與靜平衡長度的差值）

質量塊的運動規(guī)律為

求出運動規(guī)律后，要求彈簧從開始接觸擋板到脫開擋板的時間，有兩種辦法。mkS精品資料解法二：將此簡諧運動寫作式中

由圖可見(kějiàn)，彈簧從接觸擋板到脫離的時間為解法一：

設彈簧運行至最低點時t=τ，則彈簧脫離擋板(dǎnɡbǎn)的時刻應為t=2τ。令，可得

彈簧從接觸擋板(dǎnɡbǎn)到脫離的時間為。τ2τ0x0精品資料5－5機器質量為453.4kg，安裝時使支承(zhīchénɡ)彈簧產生的靜變形為5.08mm，若機器的旋轉失衡為0.2308kg·m，求：①在1200r/min時傳給地面的力；②在同一速度下的動振幅。解：旋轉失衡(shīhénɡ)的微分方程為②振幅其中所以

①傳給地面的力精品資料5－6如果題5-5的機器安裝在質量為1136kg的大混凝土基礎上，增加基礎下面(xiàmian)彈簧的剛度，使彈簧靜變形為5.08mm，則動振幅將是多少？解：頻率(pínlǜ)比振幅（與上題相同）（比上題小了）精品資料5－7質量為113kg的精密儀器通過橡皮襯墊裝在基礎上，基礎受到頻率為20Hz、幅值為15.24cm/s2的加速度激勵，設橡皮襯墊有如下(rúxià)參數(shù)：k=2802N/cm，ζ=0.1，問：傳給精密儀器的加速度是多少？解：微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)位移傳遞率式中加速度傳遞率所以精品資料5－9機器重2500kN，彈簧剛度(ɡānɡdù)k=800kN/m，阻尼比ζ=0.1，干擾力頻率與發(fā)動機轉速相等。試問：①在多大轉速下，傳遞給基礎的力幅大于激振力幅；②傳遞力幅為激振力幅20%時的轉速是多大？解：①力傳遞(chuándì)率

于是故最大轉速為

②力傳遞率

于是轉速精品資料5－10一儀器要與發(fā)動機的頻率從1600到2200r/min范圍實現(xiàn)(shíxiàn)振動隔離，若要隔離85%，儀器安裝在隔振裝置上時，隔振裝置的靜變形應為多少？解：根據(jù)(gēnjù)傳遞率與頻率比的關系曲線，要在[r1,r2]的頻率區(qū)間內使隔振達到85%，只要在r1時傳遞率Tr＜0.15即可。精品資料5－11懸掛系統(tǒng)的固有頻率為0.5Hz，箱子(xiāngzi)從0.5m高處落下，求所需的振蕩空間。解：設x為質量(zhìliàng)m的絕對位移，y為箱子的絕對位移，z為質量(zhìliàng)m相對于箱子的位移，當箱子做自由落體運動時，微分方程：即此系統(tǒng)受到階躍激勵，其響應為（課本p.110）此運動一直持續(xù)到箱子落地的時刻，設此時刻為t1，則將t1代入z(t)的表達式，可得此時的位移和速度，分別記為精品資料箱子落地(luòdì)后，相對速度瞬間增加了gt1，而相對位移不變，即此后，質量m做有阻尼自由振動，初始條件即為其響應為（課本p.54,式(3-53)）求此響應的最大幅值即為箱子所需的振蕩(zhèndàng)空間。精品資料兩大通用方法：

1Duhamel積分

2Laplace變換

特殊函數(shù)(hánshù)激勵的響應（無阻尼系統(tǒng)）：1單位脈沖響應

2階躍激勵F(t)=F0的響應

3斜坡激勵F(t)=at的響應單自由度系統(tǒng)(xìtǒng)瞬態(tài)激勵下的響應精品資料解：t<t0時，系統(tǒng)受到階躍激勵，其響應(xiǎngyìng)為

t>t0時，系統(tǒng)響應(xiǎngyìng)有兩種解法。解法一：將激勵看成兩個階躍函數(shù)的疊加，其響應(xiǎngyìng)分別為4－11如圖所示，一彈簧-質量系統(tǒng)，從t=0開始作用一不變的F0力，作用時間為t0。求系統(tǒng)在t<t0和t>t0兩種情況下的響應，并找出t>t0時最大位移與t0/τ的關系。如果t0與系統(tǒng)自振周期τ相比很小，最大位移為多少？請與脈沖響應函數(shù)(hánshù)比較。=+于是精品資料解法二：t>t0時系統(tǒng)(xìtǒng)作自由振動，初始條件為于是(yúshì)為求t>t0時的最大位移，上式可用和差化積公式改寫為最大值當時，t0很小的階躍響應與脈沖響應類似，但由于階躍激勵的瞬時值是有限值，而脈沖激勵的瞬時值是無窮大，故二者仍有區(qū)別：t0很小的階躍響應最大值趨近于0，而脈沖響應不是。精品資料4－12如圖所示，一單自由度無阻尼彈簧-質量系統(tǒng)，受到圖示力的激勵，用杜哈美積分(jīfēn)求系統(tǒng)在t<t1和t>t1兩種情況下的響應，并概略圖示之。解：t<t1時，系統(tǒng)受到的激勵為斜坡函數(shù)其響應(xiǎngyìng)為

t>t1時，系統(tǒng)受到的激勵可看成兩個斜坡函數(shù)的