機(jī)械振動學(xué)習(xí)題解答(二)

《機(jī)械振動學(xué)》習(xí)題(xítí)解答（二）2013-04-19精品資料4－1如圖所示，質(zhì)量為m的油缸與剛度為k的彈簧相連，通過阻尼系數(shù)為c的黏性阻尼器以運(yùn)動規(guī)律y=Asinωt的活塞給予激勵(lì)，求油缸運(yùn)動的振幅(zhènfú)以及它相對于活塞的相位。解：設(shè)油缸位移為x，活塞位移為y，對油缸建立方程即方程的解為

x的振幅

而活塞的運(yùn)動(yùndòng)為所以x相對于y的相位差ycmkx相位精品資料4－2如圖所示，質(zhì)量可忽略的直角剛性桿可繞鉸鏈(jiǎoliàn)O自由轉(zhuǎn)動，彈簧一端有簡諧位移擾動Acosωt。試導(dǎo)出系統(tǒng)的振動微分方程，并求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：設(shè)剛性桿向順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(zhuàndòng)θ角，則圖中B點(diǎn)的位移和速度分別為

對剛性桿用動量矩定理cmkAcos

ωtmgaLθ由化簡得微分方程B精品資料微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(xiǎngyìng)其中或其中精品資料4－3求彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)在庫侖阻尼(zǔní)和簡諧激勵(lì)力F0sinωt作用下的振幅。在什么條件下運(yùn)動能繼續(xù)？解：庫侖(kùlún)阻尼的等效阻尼系數(shù)

振幅上式可化簡為要使運(yùn)動能繼續(xù)，X不能為虛數(shù)，所以精品資料4－5帶結(jié)構(gòu)阻尼的單自由度系統(tǒng)，若剛度和阻尼的作用可用復(fù)數(shù)形式表示，系統(tǒng)的等效質(zhì)量為m，求系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)(jīlì)下的響應(yīng)。解：系統(tǒng)(xìtǒng)的微分方程為設(shè)系統(tǒng)(xìtǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，代入上式得解得所以其中精品資料4－7彈性支承(zhīchénɡ)的車輛沿高低不平的道路運(yùn)行可用圖示單自由度系統(tǒng)模擬。若每經(jīng)過距離為L的路程，路面的高低按簡諧規(guī)律變化一次，試求出車輛振幅與運(yùn)行速度v之間的關(guān)系，并確定最不利的運(yùn)行速度。解：將路面看成(kànchénɡ)簡諧激勵(lì)，其周期，則角頻率系統(tǒng)方程為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)為最不利的情況精品資料4－8圖示系統(tǒng)中，集中質(zhì)量m=20kg，彈簧剛度k=3.5kN/m，阻尼器的黏性阻尼系數(shù)為c=0.2kN·s/m，凸輪的轉(zhuǎn)速為60r/min，行程(xíngchéng)為0.01m。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：設(shè)凸輪的行程(xíngchéng)為a，則凸輪的位移可表示為，并由題意知：a=0.01m，周期τ=1s。將x0(t)展開為Fourier級數(shù)其中

所以奇函數(shù)的Fourier級數(shù)只有正弦項(xiàng)，偶函數(shù)只有余弦項(xiàng)。精品資料系統(tǒng)(xìtǒng)的微分方程為即

于是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)靜載荷(zàihè)多個(gè)簡諧激勵(lì)其中精品資料4－9一個(gè)彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)從傾斜角為30°的光滑斜面下滑。求彈簧從開始接觸擋板(dǎnɡbǎn)到脫開擋板(dǎnɡbǎn)的時(shí)間。解：設(shè)彈簧接觸擋板的時(shí)刻為t=0，此后質(zhì)量

塊做無阻尼自由振動，以彈簧平衡位置為原

點(diǎn)，其運(yùn)動方程為t=0時(shí)的初速度初始(chūshǐ)位移（即彈簧自由長度與靜平衡長度的差值）

質(zhì)量塊的運(yùn)動規(guī)律為

求出運(yùn)動規(guī)律后，要求彈簧從開始接觸擋板到脫開擋板的時(shí)間，有兩種辦法。mkS精品資料解法二：將此簡諧運(yùn)動寫作式中

由圖可見(kějiàn)，彈簧從接觸擋板到脫離的時(shí)間為解法一：

設(shè)彈簧運(yùn)行至最低點(diǎn)時(shí)t=τ，則彈簧脫離擋板(dǎnɡbǎn)的時(shí)刻應(yīng)為t=2τ。令，可得

彈簧從接觸擋板(dǎnɡbǎn)到脫離的時(shí)間為。τ2τ0x0精品資料5－5機(jī)器質(zhì)量為453.4kg，安裝時(shí)使支承(zhīchénɡ)彈簧產(chǎn)生的靜變形為5.08mm，若機(jī)器的旋轉(zhuǎn)失衡為0.2308kg·m，求：①在1200r/min時(shí)傳給地面的力；②在同一速度下的動振幅。解：旋轉(zhuǎn)失衡(shīhénɡ)的微分方程為②振幅其中所以

①傳給地面的力精品資料5－6如果題5-5的機(jī)器安裝在質(zhì)量為1136kg的大混凝土基礎(chǔ)上，增加基礎(chǔ)下面(xiàmian)彈簧的剛度，使彈簧靜變形為5.08mm，則動振幅將是多少？解：頻率(pínlǜ)比振幅（與上題相同）（比上題小了）精品資料5－7質(zhì)量為113kg的精密儀器通過橡皮襯墊裝在基礎(chǔ)上，基礎(chǔ)受到頻率為20Hz、幅值為15.24cm/s2的加速度激勵(lì)，設(shè)橡皮襯墊有如下(rúxià)參數(shù)：k=2802N/cm，ζ=0.1，問：傳給精密儀器的加速度是多少？解：微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)位移傳遞率式中加速度傳遞率所以精品資料5－9機(jī)器重2500kN，彈簧剛度(ɡānɡdù)k=800kN/m，阻尼比ζ=0.1，干擾力頻率與發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速相等。試問：①在多大轉(zhuǎn)速下，傳遞給基礎(chǔ)的力幅大于激振力幅；②傳遞力幅為激振力幅20%時(shí)的轉(zhuǎn)速是多大？解：①力傳遞(chuándì)率

于是故最大轉(zhuǎn)速為

②力傳遞率

于是轉(zhuǎn)速精品資料5－10一儀器要與發(fā)動機(jī)的頻率從1600到2200r/min范圍實(shí)現(xiàn)(shíxiàn)振動隔離，若要隔離85%，儀器安裝在隔振裝置上時(shí)，隔振裝置的靜變形應(yīng)為多少？解：根據(jù)(gēnjù)傳遞率與頻率比的關(guān)系曲線，要在[r1,r2]的頻率區(qū)間內(nèi)使隔振達(dá)到85%，只要在r1時(shí)傳遞率Tr＜0.15即可。精品資料5－11懸掛系統(tǒng)的固有頻率為0.5Hz，箱子(xiāngzi)從0.5m高處落下，求所需的振蕩空間。解：設(shè)x為質(zhì)量(zhìliàng)m的絕對位移，y為箱子的絕對位移，z為質(zhì)量(zhìliàng)m相對于箱子的位移，當(dāng)箱子做自由落體運(yùn)動時(shí)，微分方程：即此系統(tǒng)受到階躍激勵(lì)，其響應(yīng)為（課本p.110）此運(yùn)動一直持續(xù)到箱子落地的時(shí)刻，設(shè)此時(shí)刻為t1，則將t1代入z(t)的表達(dá)式，可得此時(shí)的位移和速度，分別記為精品資料箱子落地(luòdì)后，相對速度瞬間增加了gt1，而相對位移不變，即此后，質(zhì)量m做有阻尼自由振動，初始條件即為其響應(yīng)為（課本p.54,式(3-53)）求此響應(yīng)的最大幅值即為箱子所需的振蕩(zhèndàng)空間。精品資料兩大通用方法：

1Duhamel積分

2Laplace變換

特殊函數(shù)(hánshù)激勵(lì)的響應(yīng)（無阻尼系統(tǒng)）：1單位脈沖響應(yīng)

2階躍激勵(lì)F(t)=F0的響應(yīng)

3斜坡激勵(lì)F(t)=at的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)(xìtǒng)瞬態(tài)激勵(lì)下的響應(yīng)精品資料解：t<t0時(shí)，系統(tǒng)受到階躍激勵(lì)，其響應(yīng)(xiǎngyìng)為

t>t0時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)(xiǎngyìng)有兩種解法。解法一：將激勵(lì)看成兩個(gè)階躍函數(shù)的疊加，其響應(yīng)(xiǎngyìng)分別為4－11如圖所示，一彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，從t=0開始作用一不變的F0力，作用時(shí)間為t0。求系統(tǒng)在t<t0和t>t0兩種情況下的響應(yīng)，并找出t>t0時(shí)最大位移與t0/τ的關(guān)系。如果t0與系統(tǒng)自振周期τ相比很小，最大位移為多少？請與脈沖響應(yīng)函數(shù)(hánshù)比較。=+于是精品資料解法二：t>t0時(shí)系統(tǒng)(xìtǒng)作自由振動，初始條件為于是(yúshì)為求t>t0時(shí)的最大位移，上式可用和差化積公式改寫為最大值當(dāng)時(shí)，t0很小的階躍響應(yīng)與脈沖響應(yīng)類似，但由于階躍激勵(lì)的瞬時(shí)值是有限值，而脈沖激勵(lì)的瞬時(shí)值是無窮大，故二者仍有區(qū)別：t0很小的階躍響應(yīng)最大值趨近于0，而脈沖響應(yīng)不是。精品資料4－12如圖所示，一單自由度無阻尼彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，受到圖示力的激勵(lì)，用杜哈美積分(jīfēn)求系統(tǒng)在t<t1和t>t1兩種情況下的響應(yīng)，并概略圖示之。解：t<t1時(shí)，系統(tǒng)受到的激勵(lì)為斜坡函數(shù)其響應(yīng)(xiǎngyìng)為

t>t1時(shí)，系統(tǒng)受到的激勵(lì)可看成兩個(gè)斜坡函數(shù)的