ch2 .邏輯代數(shù)與硬件描述語言基礎(chǔ)

2.邏輯代數(shù)與硬件描述語言基礎(chǔ)2.1

邏輯代數(shù)

2.2

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

2.3

硬件描述語言VerilogHDL基礎(chǔ)

教學(xué)基本要求1、熟悉邏輯代數(shù)常用基本定律、恒等式和規(guī)則.3、了解硬件描述語言VerilogHDL.2、掌握邏輯代數(shù)的變換和卡諾圖化簡法.2.邏輯代數(shù)與硬件描述語言基礎(chǔ)

2.1.1

邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式2.1

邏輯代數(shù)2.1.3

邏輯函數(shù)的變換及代數(shù)化簡法2.1.2

邏輯代數(shù)的基本規(guī)則2.1

邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)。它是分析和設(shè)計(jì)現(xiàn)代數(shù)字邏輯電路不可缺少的數(shù)學(xué)工具。邏輯代數(shù)有一系列的定律、定理和規(guī)則，它用于對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行處理，以完成對(duì)邏輯電路的化簡、變換、分析和設(shè)計(jì)。

邏輯關(guān)系指的是事件產(chǎn)生的條件和結(jié)果之間的因果關(guān)系。在數(shù)字電路中往往是將事情的條件作為輸入信號(hào)，而結(jié)果用輸出信號(hào)表示。條件和結(jié)果的兩種對(duì)立狀態(tài)分別用邏輯“1”和“0”表示。

1.基本公式

２.1.1邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式交換律：A+B=B+AA·B=B·A結(jié)合律：A+B+C=(A+B)+C

A·B·C=(A·B)·C

分配律：A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC

A·1=AA·0=0A+0=AA+1=10、1律：A·A=0A+A=1互補(bǔ)律：重疊律：A+A=AA·A=A反演律：AB=A+B

A+B=A·B吸收律

2、常用公式AB+AB=AAB=A+B

A+B=A·BA·1=AA·0=0A+0=AA+1=1A·A=0A+A=1A+A=AA·A=A，，

3、基本公式的證明例

證明，列出等式、右邊的函數(shù)值的真值表(真值表證明法)01·1=001+1=0001111·0=101+0=0011010·1=100+1=0100110·0=110+0=11100A+BA+BABAB

2.1.2

邏輯代數(shù)的基本規(guī)則

代入規(guī)則2.反演規(guī)則3.對(duì)偶規(guī)則代入規(guī)則

：在包含變量A邏輯等式中，如果用另一個(gè)函數(shù)式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。這一規(guī)則稱為代入規(guī)則。例：B(A+C)=BA+BC，用A+D代替A，得B[(A+D)+C]=B(A+D)+BC=BA+BD+BC代入規(guī)則可以擴(kuò)展所有基本公式或定律的應(yīng)用范圍對(duì)于任意一個(gè)邏輯表達(dá)式L，若將其中所有的與（?）換成或（+），或（+）換成與（?）；原變量換為反變量，反變量換為原變量；將1換成0，0換成1；則得到的結(jié)果就是原函數(shù)的反函數(shù)。2.反演規(guī)則：保留反變量以外的非號(hào)不變。

用反演律,則。，求

例1已知FCD+0BAF+=

解用反演規(guī)則

可得()()

DCBAF++=1

解由反演規(guī)則，可得例2試求的非函數(shù)對(duì)于任何邏輯函數(shù)式，若將其中的與（?）換成或（+），或（+）換成與（?）；并將1換成0，0換成1；那么，所得的新的函數(shù)式就是L的對(duì)偶式，記作。

例3.對(duì)偶規(guī)則：“或-與”表達(dá)式“與非-與非”表達(dá)式

“與-或-非”表達(dá)式“或非－或非”表達(dá)式“與-或”表達(dá)式

2.1.3

邏輯函數(shù)的變換與代數(shù)法化簡1.常見的幾種邏輯函數(shù)表達(dá)式及其相互變換a.常見的幾種邏輯函數(shù)表達(dá)式

2、邏輯函數(shù)的變換

將邏輯函數(shù)與或式變換與非-與非表達(dá)式例1用與非門實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)方法：將邏輯函數(shù)兩次求反后用摩根定律（1）適應(yīng)器件的情況:用與非門實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)例2、用或非門實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)2、兩次求反。與或式轉(zhuǎn)換為或非-或非式=A+C+C+DL2=A+C+C+DL2=AC+CD=AC+CD方法：1、將每個(gè)乘積兩次求反后，用摩根定律；L2=AC+CD用或非門實(shí)現(xiàn)用邏輯門實(shí)現(xiàn)函數(shù)L3轉(zhuǎn)換為與非-與非式(2)簡化電路:需要與非門和或非門兩塊芯片只用一塊與非門芯片

化簡的意義：根據(jù)化簡后的表達(dá)式構(gòu)成的邏輯電路簡單，可節(jié)省器件，降低成本，提高工作的可靠性?；喌闹饕椒ǎ海保椒ǎù鷶?shù)法）；２．圖解法（卡諾圖法）；2.1.3

邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法

簡化標(biāo)準(zhǔn)(最簡的與－或表達(dá)式)

乘積項(xiàng)的個(gè)數(shù)最少(與門的個(gè)數(shù)少）;

每個(gè)乘積項(xiàng)中包含的變量數(shù)最少（與門的輸入端個(gè)數(shù)少）?；喓笫闺娐泛唵危煽啃蕴岣?。代數(shù)化簡法：運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進(jìn)行化簡的方法。

方法：并項(xiàng)法:

吸收法：

A+AB=A

消去法：

配項(xiàng)法：A+AB=A+B

2.1.3

邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡與化簡法例

用最少的與非門實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)L最簡與或式最簡與或式邏輯圖

與非-與非式邏輯圖與非-與非式2.2

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法2.2.2邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式2.2.1最小項(xiàng)的定義及性質(zhì)2.2.4用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)2.2.3用卡諾圖表示邏輯函數(shù)2.2

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法1.邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求對(duì)所 有公式熟練掌握；2.代數(shù)法化簡無一套完善的方法可循，它依賴于人的經(jīng)驗(yàn) 和靈活性；3.用這種化簡方法技巧強(qiáng)，較難掌握。特別是對(duì)代數(shù)化簡 后得到的邏輯表達(dá)式是否是最簡式判斷有一定困難。 卡諾圖法可以比較簡便地得到最簡的邏輯表達(dá)式。代數(shù)法化簡在使用中遇到的困難：2.2.1

最小項(xiàng)的定義及其性質(zhì)

n個(gè)變量(X1,X2,…,Xn)的最小項(xiàng)就是n個(gè)因子的乘積，在該乘積中每個(gè)變量都以它的原變量或非變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。1、最小項(xiàng)的定義：如三變量邏輯函數(shù)

f(ABC)A(B+C)

-----不是最小項(xiàng)------最小項(xiàng)CBA2、最小項(xiàng)的性質(zhì)

三個(gè)變量的所有最小項(xiàng)的真值表m0m1m2m3m4m5m6m7最小項(xiàng)的表示：通常用mi表示最小項(xiàng)，m

表示最小項(xiàng),下標(biāo)i為最小項(xiàng)號(hào)。0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001對(duì)于變量的任一組取值，全體最小項(xiàng)之和為1。對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使得它的值為1；

對(duì)于變量的任一組取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0；0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001三個(gè)變量的所有最小項(xiàng)的真值表

2.2.2

邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式

為“與或”邏輯表達(dá)式；在“與或”式中的每個(gè)乘積項(xiàng)都是最小項(xiàng)。例1將化成最小項(xiàng)表達(dá)式=m7＋m6＋m3＋m5

邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式：

例2將

化成最小項(xiàng)表達(dá)式a.去掉非號(hào)b.去括號(hào)C.使每個(gè)乘積項(xiàng)包括所有的變量

2.2.3

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

1、卡諾圖：將n變量的全部最小項(xiàng)都用小方塊表示，并使具有邏輯相鄰的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰地排列起來，這樣,所得到的圖形叫n變量的卡諾圖。邏輯相鄰的最小項(xiàng)：如果兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量互為反變量，那么，就稱這兩個(gè)最小項(xiàng)在邏輯上相鄰。如最小項(xiàng)m6=ABC、與m7=ABC在邏輯上相鄰m7m6AB10100100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m110001111000011110ABCD

2.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

AB

mi00m001m111m310m2兩變量最小項(xiàng)真值表三變量卡諾圖四變量卡諾圖兩變量卡諾圖m0m1m2m3ACCBCA

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7N變量卡諾圖ADBB

方法：邏輯函數(shù)包含有哪幾個(gè)最小項(xiàng)，就在卡諾圖相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填1，其余各方格填0。

例如畫出邏輯函數(shù)

的卡諾圖根據(jù)最小項(xiàng)邏輯表達(dá)式畫卡諾圖。Fm0m3m2m4m6m5m7m110001110用卡諾圖表示邏輯函數(shù)的方法：

1.

將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)表達(dá)式；

2.

填寫卡諾圖。。Lm0m3m2m4m6m5m7m111111000解1).

將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)表達(dá)式；2.)

填寫卡諾圖。例1用卡諾圖表示邏輯函數(shù)00000例2

畫出下式的卡諾圖解1.

將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)表達(dá)式2.

填寫卡諾圖0100011110BCA

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7BCA0100011110

1

1

1

1

0

0

0

1ABC000001010011100101110111L10011101m0m1m2m3m4m5m6m7邏輯函數(shù)真值表邏輯函數(shù)的卡諾圖邏輯函數(shù)式最小項(xiàng)表達(dá)式邏輯函數(shù)的幾種表示方式

2.2.4

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

1、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)卡諾圖化簡的依據(jù)若兩個(gè)最小項(xiàng)相鄰，則可合并為一項(xiàng)并消去一個(gè)變量。2.若四個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排列成一個(gè)矩形組，則可合并為一項(xiàng)并消去兩個(gè)變量。3.若八個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排列成一個(gè)矩形組，則可合并為一項(xiàng)并消去三個(gè)變量。依據(jù)：具有相鄰性的最小項(xiàng)可合并，消去不同因子。

在卡諾圖中，最小項(xiàng)的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。2、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的一般步驟

A.畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。3.同一方格可以被不同的包圍圈重復(fù)包圍多次，但新增的包圍圈中一定要有原有包圍圈未曾包圍的方格。4.

一個(gè)包圍圈的方格數(shù)要盡可能多,包圍圈的數(shù)目要可能少。XB.合并最小項(xiàng)，即將相鄰的為1的方格圈成一組。C.將所有包圍圈對(duì)應(yīng)的乘積項(xiàng)相加。包圍圈內(nèi)的方格數(shù)一定是2n個(gè)，且包圍圈必須呈矩形。2.循環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。畫包圍圈時(shí)應(yīng)遵循的原則：

3.2.4

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

卡諾圖化簡的原則化簡后的乘積項(xiàng)應(yīng)包含函數(shù)式的所有最小項(xiàng)，即覆蓋圖中所有的1乘積項(xiàng)的數(shù)目最少，即圈成的矩形最少每個(gè)乘積項(xiàng)因子最少，即圈成的矩形最大3、卡諾圖化簡舉例

例1用卡諾圖化簡2.2.4

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

11111111110111111111111110例2用卡諾圖化簡0111111111111110圈0圈1例：

0001111001ABC例：

000111100011111101ABC例：

000111100011111101ABC例：化簡結(jié)果不唯一例2

將邏輯函數(shù)3、卡諾圖化簡舉例

111111111111111111113.2.4

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

化簡為最簡與或表達(dá)式。舉例說明：三個(gè)邏輯變量A、B、C分別表示一臺(tái)電動(dòng)機(jī)的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止的命令，A=1表示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn)，C=1表示停止?？赡苋≈抵挥?01，010，100當(dāng)中的某一種。1.約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項(xiàng)2.2.5

含無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡⑴約束項(xiàng)、約束項(xiàng)：這些恒等于0的最小項(xiàng)叫做約束項(xiàng)。000，011，101，110，111中的任何一種都不可能出現(xiàn)，可表示為：或在有些邏輯問題中，在有些變量的取值下，最小項(xiàng)是0、或1對(duì)函數(shù)值均無影響，我們將對(duì)應(yīng)的這些最小項(xiàng)稱為任意項(xiàng)。而1010~1111不為8421BCD碼，稱為任意項(xiàng)。⑵任意項(xiàng):舉例說明：四個(gè)邏輯變量A、B、C、D分別表示8421BCD碼只可能有0000，0001，0010…1001取值。任意項(xiàng)：在輸入變量的某些取值下函數(shù)值是1是0皆可，并不影響電路的功能。在這些變量取值下，其值等于1的那些最小項(xiàng)成為任意項(xiàng)。1)填函數(shù)的卡諾圖時(shí)只在無關(guān)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的格內(nèi)填任意符號(hào)“×”邏輯函數(shù)式中用“Φ”或、“d”表示無關(guān)項(xiàng)。2、無關(guān)項(xiàng)處理方法：2)化簡時(shí)可根據(jù)需要視為“1”也可視為“0”，使函數(shù)化到最簡。⑶無關(guān)項(xiàng)：約束項(xiàng)和任意項(xiàng)既可以