Chapter11.布萊克.休爾斯.莫頓期權(quán)定價模型

11.01973年，美國芝加哥大學(xué)教授FischerBlack&MyronScholes提出了著名的B-S定價模型，用于確定歐式股票期權(quán)價格，在學(xué)術(shù)界和實務(wù)界引起了強烈反響；同年，RobertC.Merton獨立地提出了一個更為一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。在本章中，我們將循序漸進，盡量深入淺出地介紹布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價模型（下文簡稱B-S-M模型），并由此導(dǎo)出衍生證券定價的一般方法。

111.1我們?yōu)榱私o股票期權(quán)定價，必須先了解股票本身的走勢。因為股票期權(quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價格、期權(quán)有效期、無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價格變化的唯一來源就是股票價格的變化，股票價格是影響期權(quán)價格的最根本因素。因此，要研究期權(quán)的價格，首先必須研究股票價格的變化規(guī)律。在了解了股票價格的規(guī)律后，我們試圖通過股票來復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價。在下面幾節(jié)中我們會用數(shù)學(xué)的語言來描述這種定價的思想。2股票價格的變化過程11.2市場有效理論與隨機過程

1970年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認(rèn)為，證券價格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價格能完全反應(yīng)全部信息。1、弱式效率市場假說2、半強式效率市場假說3、強式效率市場假說

根據(jù)眾多學(xué)者的實證研究，發(fā)達國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。一般認(rèn)為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機過程（MarkovStochasticProcess）是內(nèi)在一致的。因此我們可以用數(shù)學(xué)來刻畫股票的這種特征。有效市場三個層次3布朗運動11.2.1

布朗運動（BrownianMotion）起源于英國植物學(xué)家布郎對水杯中的花粉粒子的運動軌跡的描述。

對于標(biāo)準(zhǔn)布朗運動來說：設(shè)代表一個小的時間間隔長度，代表變量z在時間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運動的具有兩種特征：特征1：和的關(guān)系滿足：

=其中，代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布）中取的一個隨機值。特征2：對于任何兩個不同時間間隔，的值相互獨立。

4布朗運動11.2.1將標(biāo)準(zhǔn)布郎運動擴展我們將得到普通布郎運動，令漂移率為a，方差率為b2，我們就可得到變量x的普通布朗運動：

標(biāo)準(zhǔn)布朗運動是普通布朗運動的一個特例，即漂移率為0，方差為1的普通布郎運動。5布朗運動11.2.1普通布朗運動的離差形式為，顯然，Δx也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為1、顯然，遵循普通布朗運動的變量x是關(guān)于時間和dz的動態(tài)過程，其中第一項adt為確定項，它意味著x的期望漂移率是每單位時間為a。第二項bdz是隨機項，它表明對x的動態(tài)過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的。2、在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為b2T。6伊藤過程與伊藤引理11.3

普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時間t的函數(shù)，我們就可以得到這就是伊藤過程（ItoProcess）。其中，dz是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。

7伊藤過程與伊藤引理11.3

在伊藤過程的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家伊藤（K.Ito）進一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：

其中，dz是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。這就是著名的伊藤引理。

8伊藤過程與伊藤引理11.3案例11.1運用伊藤引理推導(dǎo)lnS所遵循的隨機過程假設(shè)變量S服從其中μ和σ都為常數(shù)，則lnS遵循怎樣的隨機過程？由于μ和σ是常數(shù)，S顯然服從，的伊藤過程，我們可以運用伊藤引理推導(dǎo)lnS所遵循的隨機過程。令，則代入式我們就可得到所遵循的隨機過程為由于dlnS是股票的連續(xù)復(fù)利收益率，得出的公式說明股票的連續(xù)復(fù)利收益率服從期望值，方差為的正態(tài)分布。**隨機微積分與非隨機微積分的差別9股票價格的變化過程：幾何布朗運動11.2.4一般來說，金融研究者認(rèn)為證券價格的變化過程可以用漂移率為μS、方差率為S2的伊藤過程（即幾何布朗運動）來表示：之所以采用幾何布朗運動其主要原因有兩個：

一是可以避免股票價格為負(fù)從而與有限責(zé)任相矛盾的問題，二是幾何布朗運動意味著股票連續(xù)復(fù)利收益率服從正態(tài)分布，這與實際較為吻合。

10股票價格的變化過程：幾何布朗運動11.2.4從案例11.1我們已經(jīng)知道，如果股票價格服從幾何布朗運動，則有

從自然對數(shù)的定義域可知，S不能為負(fù)數(shù)。另外從上式可以看出，股票價格的對數(shù)服從普通布朗運動，因為它具有恒定的漂移率和恒定的方差率。由前文的分析可知，當(dāng)一個變量服從普通布朗運動時，其在任意時間長度T-t內(nèi)的變化值都服從均值為、方差為的正態(tài)分布。也就是說，

11股票價格的變化過程：幾何布朗運動11.2.4由上一頁的推導(dǎo)可知證券價格對數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個變量服從對數(shù)正態(tài)分布。這表明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布的特性，以及符號的定義，我們可以得到和實際上就是股票價格在T－t期間的連續(xù)復(fù)利收益率，則T－t期間年化的連續(xù)復(fù)利收益率可以表示為，從式（11.9）可知隨機變量服從正態(tài)分布12預(yù)期收益率與波動率11.2.5:1、幾何布朗運動中的期望收益率。2、根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理，取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險、無風(fēng)險利率水平、以及市場的風(fēng)險收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此其決定本身就較復(fù)雜。然而幸運的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率是無關(guān)的。3、較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于<，這是因為較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。

13預(yù)期收益率與波動率11.2.51、證券價格的年波動率，又是股票價格對數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差2、一般從歷史的證券價格數(shù)據(jù)中計算出樣本對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，再對時間標(biāo)準(zhǔn)化，得到年標(biāo)準(zhǔn)差，即為波動率的估計值。在計算中，一般來說時間距離計算時越近越好；時間窗口太短也不好；一般來說采用交易天數(shù)計算波動率而不采用日歷天數(shù)。

:14衍生品價格所服從的隨機過程當(dāng)股票價格服從幾何布朗運動時，由于衍生證券價格G是標(biāo)的證券價格S和時間t的函數(shù)G(S,t)，根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格G應(yīng)遵循如下過程：比較（11.1）和（11.11）可看出，衍生證券價格G和股票價格S都受同一個不確定性來源dz的影響，這點對于以后推導(dǎo)衍生證券的定價公式很重要。1511.3.1假設(shè)：1、證券價格遵循幾何布朗運動，即和為常數(shù)；2、允許賣空標(biāo)的證券；3、沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的；4、衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；5、存在無風(fēng)險套利機會；6、證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的；7、衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率r為常數(shù)。1611.3.1由于證券價格S遵循幾何布朗運動，因此有：其在一個小的時間間隔中，S的變化值為：在一個小的時間間隔中，f的變化值為：設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價格，則f一定是S和t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得：1711.3.1為了消除風(fēng)險源

，可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合。令代表該投資組合的價值，則：在時間后，該投資組合的價值變化為：代入和可得1811.3.1中不含任何風(fēng)險源，因此組合必須獲得無風(fēng)險收益，即代入上式可得化簡為**這就是著名的布萊克——舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格S的所有衍生證券的定價。1911.3.1

觀察布萊克－舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險收益偏好狀態(tài)如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。因此我們可以作出一個可以大大簡化我們工作的假設(shè)：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性的。盡管這只是一個人為的假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的所有情況。在風(fēng)險中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險中性定價原理。2011.3.1

假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。

由于歐式期權(quán)不會提前執(zhí)行，其價值取決于3個月后股票的市價。若3個月后該股票價格等于11元，則該期權(quán)價值為0.5元；若3個月后該股票價格等于9元，則該期權(quán)價值為0。風(fēng)險中性定價原理的應(yīng)用21為了找出該期權(quán)的價值，我們可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3個月后該股票價格等于11元時，該組合價值等于(11－0.5)元；若3個月后該股票價格等于9元時，該組合價值等于9元。為了使該組合價值處于無風(fēng)險狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹?，?個月后該組合的價值不變，這意味著：11－0.5=9=0.25因此，一個無風(fēng)險組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無論3個月后股票價格等于11元還是9元，該組合價值都將等于2.25元。11.3.122假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率等于10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為：由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為10元，因此：

這就是說，該看漲期權(quán)的價值應(yīng)為0.31元，否則就會存在無風(fēng)險套利機會。11.3.12311.3.1從該例子可以看出，在確定期權(quán)價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險中性世界中，無風(fēng)險利率為10%，則股票上升的概率P可以通過下式來求：P=62.66%。2411.3.1又如，如果在現(xiàn)實世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式來求：P=69.11%。可見，投資者厭惡風(fēng)險程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價值都等于0.31元。2511.3.2在風(fēng)險中性的條件下，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時（T時刻）的期望值為：其中，表示風(fēng)險中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險中性定價原理，歐式看漲期權(quán)的價格c等于將此期望值按無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即：2611.3.2對右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為：其中，

N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)(即這個變量小于x的概率)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有。

這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價公式。27對于布萊克－舒爾斯期權(quán)定價公式的理解：在B-S公式中，N(d2)是在風(fēng)險中性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。SN(d1)=e-r(T-t)STN(d1)是ST的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值

。

因此，這個公式就是未來收益期望值的貼現(xiàn)。11.3.22811.3.2無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)的定價公式根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式：2911.3.2無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價公式在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行是不合理的，因此C=c，無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價公式同樣是：3011.3.3有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價公式對于有收益標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個有風(fēng)險部分。當(dāng)期權(quán)到期時，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險部分的證券價格。σ表示風(fēng)險部分遵循隨機過程的波動率，就可直接套用公式:分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值。31因此，當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（S－I）代替S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將代替S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。一般來說，期貨期權(quán)、股指期權(quán)和外匯期權(quán)都可以看作標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)復(fù)利收益率的期權(quán)。其中，歐式期貨期權(quán)可以看作一個支付連續(xù)紅利率為r的資產(chǎn)的歐式期權(quán)；股指期權(quán)則是以市場平均股利支付率為收益率，外匯期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的連續(xù)紅利率為該外匯在所在國的無風(fēng)險利率。11.3.332有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)的定價當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價較為復(fù)雜，布萊克提出了一種近似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理，若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在提前執(zhí)行可能是合理價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯。

時刻到期的歐式看漲期權(quán)的的，則要分別計算在T時刻和11.3.333美式看跌期權(quán)的定價美式看跌期權(quán)無論標(biāo)的資產(chǎn)有無收益都有提前執(zhí)行的可能，而且與其對應(yīng)的看漲期權(quán)也不存在精確的平價關(guān)系，因此我們一般通過數(shù)值方法來求美式看跌期權(quán)的價值。11.3.334我們已經(jīng)知道，B-S-M期權(quán)定價公式中的期權(quán)價格取決于下列五個參數(shù)：標(biāo)的資產(chǎn)市場價格、執(zhí)行價格、到期期限、無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率（即標(biāo)的資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差）。在這些參數(shù)當(dāng)中，前三個都是很容易獲得的確定數(shù)值。但是無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率則需要通過一定的計算求得估計值。35（一）估計無風(fēng)險利率在發(fā)達的金融市場上，很容易獲得無風(fēng)險利率的估計值，但在實際應(yīng)用時仍然需要注意幾個問題。首先，要選擇正確的利率。要注意選擇無風(fēng)險的即期利率（即零息票債券的到期收益率），而不能選擇附息票債券的到期收益率，并且要轉(zhuǎn)化為連續(xù)復(fù)利的形式，才可以在B-S-M公式中應(yīng)用。一般來說，在美國人們大多選擇美國國庫券利率作為無風(fēng)險利率的估計值，在中國過去通常使用銀行存款