chapter2可靠性數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

第2章可靠性數(shù)學(xué)基礎(chǔ)電子科技大學(xué)

本章內(nèi)容數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念常用的概率分布隨機(jī)變量函數(shù)均值與方差的近似計(jì)算數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念總體（母體）是研究對(duì)象的全體?？傮w可以是尺寸、壽命、時(shí)間和強(qiáng)度等?？傮w可以分為有限總體和無(wú)限總體。個(gè)體是組成總體的每個(gè)基本單元抽樣和樣本總體與個(gè)體抽樣是隨機(jī)的抽取和組成樣本的過(guò)程。樣本是取自總體的部分個(gè)體的集合。樣本所包含的個(gè)體數(shù)目，稱為樣本容量。

集中趨勢(shì)的是指分布密度的圖形集中趨向于哪里，即分布的中心位置在哪里。隨機(jī)變量集中趨勢(shì)的尺度均值分布的平均值中位數(shù)分布密度圖的中間值眾數(shù)頻率(或頻數(shù))為最大的隨機(jī)變量的位置隨機(jī)變量分散性的尺度分散性是指分布的離散程度方差標(biāo)準(zhǔn)差

變異系數(shù)

變異系數(shù)的值越小，變量的分散性越小極差

樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)定義：設(shè)總體的一組樣本觀測(cè)值，將其按從小到大排列經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是總體分布函數(shù)的近似。下標(biāo)i表示失效數(shù)據(jù)的序號(hào)。對(duì)一批觀測(cè)數(shù)據(jù)，若樣本量較大，樣本量較大時(shí)，也可以根據(jù)可靠度定義，直接計(jì)算其經(jīng)驗(yàn)分布經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的計(jì)算t時(shí)刻失效樣本數(shù)參加試驗(yàn)的產(chǎn)品數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的計(jì)算樣本量較小時(shí)Hansen公式數(shù)學(xué)期望公式中位秩公式medianrank本章內(nèi)容數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念常用的概率分布隨機(jī)變量函數(shù)均值與方差的近似計(jì)算概率分布的作用制定合理的維修和保修制度計(jì)算產(chǎn)品的可靠性參數(shù)計(jì)算產(chǎn)品的壽命特征預(yù)測(cè)產(chǎn)品的故障規(guī)律離散型隨機(jī)變量的常用分布（0-1）分布Beroulli分布（二項(xiàng)分布）部分冗余Poisson分布幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布超幾何分布分布類型可靠性工程中的應(yīng)用（0-1）分布描述具有兩種結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)二項(xiàng)分布部分冗余時(shí)，計(jì)算系統(tǒng)成功的概率Poisson分布描述產(chǎn)品在某個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)受到外界“沖擊”的次數(shù)。幾何分布和二項(xiàng)分布描述試驗(yàn)中失敗次數(shù)的分布超幾何分布適用于較小規(guī)模的抽樣問(wèn)題離散型隨機(jī)變量的分布類型及其應(yīng)用連續(xù)型隨機(jī)變量的常用分布正態(tài)分布截尾正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布G分布指數(shù)分布威布爾分布極值分布1.指數(shù)分布ExponentialDistribution指數(shù)分布在可靠性計(jì)算中的應(yīng)用故障率可靠壽命中位壽命描述電子設(shè)備壽命分布規(guī)律；描述大型復(fù)雜系統(tǒng)故障時(shí)間間隔的分布規(guī)律。例題求該設(shè)備使用100小時(shí)和1000小時(shí)后的可靠度。已知某設(shè)備的失效率工作100h后的可靠度為工作1000h后的可靠度為2.正態(tài)分布Normal

Distribution(Gaussiandistribution)概率密度函數(shù)累積分布函數(shù)描述由于磨損、腐蝕引起失效的產(chǎn)品壽命；對(duì)制造的產(chǎn)品及其性能進(jìn)行分析和質(zhì)量控制。tt正態(tài)分布的概率密度曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)查正態(tài)分布表。例題已知非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布如何變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布？例題有100個(gè)某種材料的試件進(jìn)行抗拉強(qiáng)度試驗(yàn)，測(cè)得試件材料的強(qiáng)度極限的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別為求：（1）試件材料的強(qiáng)度小于600MPa的概率；（2）強(qiáng)度在（550~450）MPa區(qū)間內(nèi)的概率。解：（1）（2）若強(qiáng)度落在（550－450）MPa區(qū)間內(nèi)如果隨機(jī)變量X

的自然對(duì)數(shù)Y=ln(X)服從正態(tài)分布，則X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別為：對(duì)數(shù)正態(tài)分布Log-NormalDistribution隨機(jī)變量Y的均值和標(biāo)準(zhǔn)差累積分布概率的計(jì)算對(duì)數(shù)正態(tài)分布Log-NormalDistribution利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布求解均值和標(biāo)準(zhǔn)差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差用對(duì)數(shù)變換可將較大的數(shù)縮小為較小的數(shù)，在機(jī)械零、部件的疲勞壽命、疲勞強(qiáng)度、耐磨壽命以及描述維修時(shí)間的分布等研究中，常應(yīng)用對(duì)數(shù)正態(tài)分布。對(duì)數(shù)正態(tài)分布Log-NormalDistribution例題某工程機(jī)械的正常運(yùn)行時(shí)間（兩次失效之間的時(shí)間）服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其均值為6個(gè)月，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5個(gè)月。若要求在任何時(shí)間內(nèi)一臺(tái)設(shè)備能處于運(yùn)行狀態(tài)的概率至少為0.90，試計(jì)算每臺(tái)設(shè)備的維修周期。解：要求設(shè)備處于運(yùn)行狀態(tài)的概率為0.90，則不可靠度為查正態(tài)分布表，得則維修周期為（月）WaloddiWeibull1887-1979Astatisticaldistributionfunctionofwideapplicability.JournalofAppliedMechanics,1951,18(3):293–2973.威布爾分布Weibull

Distribution若隨機(jī)變量T服從三參數(shù)威布爾分布，則其概率密度函數(shù)：累積分布函數(shù)為其中：形狀參數(shù)尺寸參數(shù)位置參數(shù)3.威布爾分布Weibull

Distribution兩參數(shù)威布爾分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別：時(shí)，三參數(shù)威布爾分布轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓞?shù)威布爾分布。3.威布爾分布Weibull

Distribution威布爾分布變量的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：式中：為伽馬函數(shù)取值對(duì)概率密度曲線形狀的影響概率密度函數(shù)曲線取值對(duì)概率密度曲線形狀的影響概率密度函數(shù)曲線取值對(duì)概率密度曲線形狀的影響概率密度函數(shù)曲線描述疲勞壽命的威布爾分布模型疲勞壽命的分布函數(shù)位置參數(shù)，即最小壽命參數(shù)；特征壽命參數(shù)；形狀參數(shù)。疲勞壽命的概率密度函數(shù)本章內(nèi)容數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念常用的概率分布隨機(jī)變量函數(shù)均值與方差的近似計(jì)算

隨機(jī)變量函數(shù)均值與方差的近似計(jì)算工程中有許多隨機(jī)事件，大多需要用兩個(gè)、三個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)來(lái)描述，當(dāng)已知其中每一個(gè)隨機(jī)變量的均值及標(biāo)準(zhǔn)差，可以通過(guò)一些方法來(lái)估計(jì)和計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。三種方法：基本函數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法變異系數(shù)法基本函數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法一維隨機(jī)變量函數(shù)的近似解多維隨機(jī)變量函數(shù)的近似解例題已知某一銷軸半徑r的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為求此銷軸截面積A的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。解：例題一拉桿受外力