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文檔簡介
自招競賽學(xué)講學(xué)生姓 授課日教師姓 授課時琴生設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)的定義域為ab,對于區(qū)間ab內(nèi)任意兩點x1,x2,都fx1x2f(x1f(x2f(x為ab上的下凸(凸) fx1x2f(x1f(x2f(x為ab上的上凸(凹) 常見的下凸(凸)y
ytanx2
y
yx常見的上凸(凹)函數(shù)有 )上的ysinx,ycosx,2
ylnxf(x為ab(凸fx1x2xn
f(x1)f(x2)f(xn x1x2xnf(x為ab上的上凸(凹)函數(shù),則上式不等號反向:n2時,由下凸(凸)假設(shè)nkfx1x2xk
f(x1)f(x2)f(xk那么當(dāng)nk1Ak
x1x2xk1kf(
x1x2xkxk1(k1)Ak)f((k1)Ak1(k1)Ak1)f k1
(k1)
kkf(xi
f
)(k1)f( 2[f(Ak)f
kk
[ k k1 所以2kf(Ak1f(x1f(x2f(xkf(xk1k1f(Ak所以(k1f(Ak1f(x1f(x2f(xkf(xk1,變形即得證 f(x為ab(凸函數(shù),且i1i0f((ixiif(xi
f(xIxIf''(x0yf(xIxIf''(x0yf(xI冪平均不等
x若,且0,0,x0,則(
( )
a3b3c3a2a2b23x1x2(0,2x1x2tanx1tanx2tanx1
tanx1tanx2tanx1 (A(1()(B1(4)(C(()(D(2(4)【答案】證明
f(xsinx在[0,在h(x)tan 在2f(x1)f(x2)1(sin
sinx)sinx1x2cosx1x2sinx1x2f(x1x2
lgx1lgx2 lgx1 即g(x1g(x2)gx1x2 當(dāng)0
2tanxtan
sinx1sin
sin(x1x2)
2sin(x1x2 cosxcos cos(xx)cos(xx 2sin(x1x2
2tanx1
(∵sintancos(x1x2) 即h(x1h(x2hx1x2
1
G,即:aR, a1aa1a2nanna1aniai(0+lga1+a2 +lga1+a2 + nna1ana1+a2n+
x證明冪平均不等式:若,且0,0,x0,則(
( )
0f(xx
x+x++x x+x++ x+x++x 1
x+x++x( n) n,( n)( n xx,得證。當(dāng)0和0
x
x
(x
x注:( )( ) (i1 ) (i1 )
,構(gòu)造 f(xx
x(
xx 8aa,b,cRa8a
98c8x證明:設(shè)f(x) ,則f(x)為(0,+)8c8x由琴生1f(af(bf(cfabcf(1 ∴f(a)f(b)f(c)9f(x)定義在(ab)上,f(x)在(ab)上恒大于0x1,x2(a,b)f(xf(xfx1x2)]2 x,x
x(a,b時,有f(xf(x
f(xfx1x2 xn)]n
證明:由題:對x,x(a,bf(xf(xfx1x2)]2 則有l(wèi)gf(xlgf(x2lgfx1x2 即lgf(x1lgf(x2)lgfx1x2 g(x)lgf(xg(x為(a,b)上下凸x1,x2xn(a,blgflgf(x1)lgf(x2) lgf(xn)lgf(x1x2 xn即f(x)f(x f(x)[f(x1x2 xn)]n nnxi0(i12,nxi1111x1 x2 n
111f(1
f(x
23 f(x)2(1x)2(2x)3(14(1f(x在(0,1
(1x)23(1x)204(1x)31x1x21x1x2n111111n111
) 1n1nnx1 x2 x1x1 x2 x1x2xnnn所 n111111x1 x2 nnnxi1已知a,b,c0,abc
1(1a)lna1(1b)lnb1(1c)ln f(xlnx在(0立
(1a) (1b)
(1c)
1(1a)lna1(1b)lnb1(1c)lncln[1(1a)a1(1b)b1(1
(ab ln[ (abc)] (abc 3證明赫爾德(Holder)ai,bi(1in是2n個正實數(shù),0,1abababa
a)(bbb1 2 n
Aa1a2anBb1b2bnf(xlnx上凸
ai
ai
) a
累加得
i)(i) i1 1,得證。
abab注:變形: 1 2 n 1,再變形(aaa)(bbb a1a2
)
b1b2
)
a1a2
)
b1b2
)i項取自然對數(shù),得(Jensen)不等式的形式
a1a2
b1b2
是加權(quán)平均琴生在ABC中,sinAsinBsinC的最大值為 3333 【答案】ysinx在(0,)上是凹函數(shù),則1(sinAsinBsinC)sin(ABC)sin60 32 32sinAsinBsinC當(dāng)且僅當(dāng)sinAsinBsinC時,即ABC時,取等3在銳角ABC中,cosAcosBcosC的最大值為 3333 【答案】aaa是一組實數(shù),且a
...
k(k為定值,試求a2a2a2
kn分析f(x)x2在(-,+)上是凸函 2
2 a+a++a2 k2n(a1 a2++
)( nnk
a1+
++an當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時,取等A、B、C是ABCtanBtanCtanBtanC+ tanCtanA+ tanAtanB+ 1+1+3
在ABC中, + +
x考察y ,其在R+上凸xtanAtanB+ tanBtanC+ tantanAtanB+ 31+3tanBtanC+tanCtanA+tanAtanB1+3 31+1+3 xn
xxnnn 求證:xxnnn Ryf(xxlnx為下凸函數(shù)(f''(x10),xlnxx1xx2...x x1lnx1x2lnx2...xnlnnx1x2xnlnx1x2xn, nlnn xxxx...xx即 即 證:設(shè)PAB、PBC、PCA,且PAC'、PBA'、PCBPAsinPBsin'依正弦定理有PBsinPCsin'sinsinsinsinsinsinPCsinPAsin'(sinsinsin)2sinsinsinsin'sin'sin(sinsinsinsin'sin'sin6sin6(''')6
(12
(12在、、,中必有一個角滿sin230,否則150時,、中必有一個滿足
設(shè)ak,bkk1, ,n均為正數(shù),證明若aba
abbb b,則ab1aabnabnn
n bbnbbnb2b2 bn若b1b2 bn1,則
1(i)令g(x)=lnx(x>0),則g”(x)= 0,g(x)在(0,+)上是上凸函數(shù),對ak(0,),(k=1,2,…,n),由琴生不等式 bkln
bk ln(k1 )ln1
akbkbk
k
k k knnblna 故abknn k k(ii)(i)知,g(x)=lnx0n
k10對于bk(0,1),且bkk bln k ln(k1) bb
k k k kk20對于b,1(0且bknblnn
kn1n kln(k1 )lnn,從而
k
k
k故lnb故lnb1kkk
x3(1)當(dāng)0t1xt(x1)tx2)t(x3)t(2)當(dāng)t1xt(x1)tx2)t(x3)t(1)當(dāng)0t1f(xt(t1)xt20f(xxt在(0f(x)f(x
xxf f(x1(xx2,所以等號不能取 所以f(xf(x1f(x1f(x遞推得f(x1f(x2f(x2f(x3從而有f(xf(x1f(x2f(x3,故xt(x1)tx2)t(x(2)當(dāng)t1f(xt(t1)xt20f(xxt在(0上是下凸函數(shù),類似(1)xt(x1)t(x2)t(x3)t
x
nsin sinx設(shè)0x(i1,2,,n),且x n,證明: isinxi
由0xi
(i12,n,得xx1x2xn(0,,所sinsinx
sinxf(x
x(0,f(x)lnsinxlnx
sin2xx2sin2
0f(x在(0,x1 i 所以f(x)f 即f(xi)nf(x)
nnsin
f(xi sinx所以 iesinx
enf(x) 已知abc0abbcca1
16b 3131b
31c31c16babbcca6b7bc abbc 6c 6b7ca
6aabbcca6a7ab (16b)(16c)(16a)8(abc)(bcca
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