2020-2021學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)必修3學(xué)案2.3.1變量之間的相關(guān)關(guān)系2.3.2兩個變量的線

iiii2.32.3.12.3.2

變量間的相關(guān)系變量之間的相關(guān)系兩個變量的線相關(guān)學(xué)習(xí)目標(biāo)1解變量間的相關(guān)關(guān)系散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖判斷兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系．(重點(diǎn))2．了解線性回歸思想求回歸直線方程．(難點(diǎn))

核心素養(yǎng)1通過對數(shù)據(jù)的分析統(tǒng)計(jì)培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2借助變量間相關(guān)關(guān)系的研究提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．變量的相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系的定義變量間確實(shí)存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有隨機(jī)性的，那么這兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系，兩個變量之間的關(guān)系分為函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系．散點(diǎn)圖將樣本中n數(shù)據(jù)點(diǎn)(x，y)(i＝1,2…)描在平面直角坐標(biāo)系中得到的圖形叫做散點(diǎn)圖．正相關(guān)與負(fù)相關(guān)①正相關(guān)：如果一個變量的值由小變大時，另一個變量的值也由小變大，這種相關(guān)稱為正相關(guān)．②負(fù)相關(guān)：如果一個變量的值由小變大時，另一個變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān)．2．回歸線方程(1)回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．

^^^iiii^ii^^^^^^^^^^^iiii^ii^^^^^^^^線性回歸方程：回歸直線對應(yīng)的方程叫做回歸直線的方程，簡稱回歸方程．最小二乘法：求線性回歸方程y＝b＋a時得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

nnnxyi1i1b＝＝，nx－n2i1ia＝－bx，其中，b是線性回歸方程的斜率，a是線性回歸方程在軸上的距．1．下列兩變量具有相關(guān)關(guān)系的是()A．角度它的余弦值B．圓的半徑和該圓的面積C．正n邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和D．居民的收入與存款D[A、B中兩變量是確定的函數(shù)關(guān)系．]2．已知變之間具有線相關(guān)關(guān)系，其散點(diǎn)圖如圖所示，則其回歸方程可能為()＝＋2B.＝－x＋2C.＝－2D.＝－－2B

[散點(diǎn)圖知，變量，y間負(fù)相關(guān)，回歸直線在y軸上的截距為正數(shù)，

^^12^^12故只有B項(xiàng)符合．]3．5位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)科數(shù)學(xué)物理

A8070

B7566

C7068

D6564

6062則數(shù)學(xué)成績與物理成績之間()A．是函關(guān)系B．是相關(guān)關(guān)系，但相關(guān)性很弱C．具有較好的相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)D．具有較好的相關(guān)關(guān)系，且是負(fù)相關(guān)C

[學(xué)成績x和物理成績的散點(diǎn)圖如圖所示．從圖上可以看出數(shù)學(xué)成績和物理成績具有較好的相關(guān)關(guān)系，且成正相關(guān)．]4．設(shè)有一回歸方程＝2－1.5則變量x增加1單位時y平均減少________個單位．1.5

[為＝2－x所以變量每增加1單位時－＝[2－1.5(＋1)]－－1.5x＝－1.5所以y平均減少個單位．]【例1】

相關(guān)關(guān)系及判斷某個男孩的年齡與身高的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示．年齡x歲)身高y

178

287

398

4108

5115

6120畫出散點(diǎn)圖；判斷與x否具有線性相關(guān)關(guān)系．[]

散點(diǎn)圖如圖所示．

由圖知，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)接近一條直線排列，因此，認(rèn)為與x具有線性相關(guān)關(guān)系．相關(guān)關(guān)系的判斷方法有相關(guān)關(guān)系的判斷方法①散點(diǎn)圖法：通過散點(diǎn)圖，觀察它們的分布是否存在一定規(guī)律，直觀地判斷；②表格、關(guān)系式法：結(jié)合表格或關(guān)系式進(jìn)行判斷；③經(jīng)驗(yàn)法：借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷.和y之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡便方法就是繪制散點(diǎn)圖，如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個別點(diǎn)的位置的影響[進(jìn)訓(xùn)練]1．下列關(guān)中，屬于相關(guān)關(guān)系的是_填序號)．①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系；②農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；③出租車費(fèi)與行駛的里程；④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系．②④

[①中，正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系；②，農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間不具有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但具有相關(guān)關(guān)系；③為確定的函數(shù)關(guān)系；在④中，降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系．]求回歸方程[究問題]1．任意兩統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是否均可以作出散點(diǎn)圖？[示]

任意兩個統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)均可以作出散點(diǎn)圖．

^^^^^^ii^^^^^^ii2．任何一數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出回歸方程嗎？[提]

用最小二乘法求回歸方程的前提是先判斷所給數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，否則求回歸方程是無意義的．3．回歸系b含義是什么？[示]數(shù)．

(1)代表x每增加一個單位，的平均增加單位數(shù)，而不是增加單位當(dāng)>0時，兩個變量呈正相關(guān)關(guān)系，含義為：每增加一個單位，y平均增加b個單位數(shù)；當(dāng)b<0，兩個變量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，含義為x每增加一個單位，y均減少b個單位數(shù)．【例2】一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時間，為此進(jìn)行了10試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下：零件數(shù)x個)加工時間y分)

1062

2068

3075

4081

5089

6095

70102

80108

90115

100122與x否具有線性相關(guān)關(guān)系？如果與x有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于x的回歸直線方程．思路點(diǎn)撥：畫散點(diǎn)圖→確定相關(guān)關(guān)系→求回歸直線系數(shù)→寫回歸直線方程．[]

畫散點(diǎn)圖如下：由上圖可知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系．列表、計(jì)算：ixy

11062

22068

33075

44081

55089

66095

770102

880108

990115

10100122

iiiiiiiiiiiiiiiixy

62036025024045057640x＝，＝91.7，1010＝x2＝＝87y＝55

10350

12200i

＝1

i

＝1i

＝1求回歸直線方程的步驟，xy具有線性相關(guān)關(guān)系[進(jìn)訓(xùn)練]2．某種產(chǎn)的廣告費(fèi)支出(單：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：xy

230

440

560

650

870

iiiiiiii^iii^^^iiiiiiii^iii^^^畫出散點(diǎn)圖；求回歸方程．[]

散點(diǎn)圖如圖所示．列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．ixyxyx2

1230604

244016016

356030025

465030036

58705606455x＝5，y＝50＝145y＝1i

＝1i

＝1于是可得，b＝

5y5xi152－52

＝

15×5×50145－5×52

＝6.5i

＝1a＝－x＝－6.5×5＝于是所求的回歸方程是＝＋【例3】

回歸方程的應(yīng)用為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量(單位：噸對價(jià)格y單位：千元/噸)的影響，對近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價(jià)格統(tǒng)計(jì)如表：xy

18

26

35

44

52已知x和y具有線性相關(guān)關(guān)系．求，y；

^^^5^^^^^^^^^^^5^^^^^^^^求關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a；若年產(chǎn)量為4.5噸，試預(yù)測該農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格．[]

計(jì)算可得＝

1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋2＝，y＝＝5.因?yàn)榫€性回歸直線過(x，y)，則＝y(tǒng)－bx＝－(－1.4×3)，故y關(guān)于x的線性回歸方程是y＝－1.4＋當(dāng)＝4.5時，＝－×＋9.22.9(元/噸)．利用線性回歸方程解題的常見思路及注意點(diǎn)的中心，可以求參數(shù)問題，參數(shù)可涉及回歸方程或樣本點(diǎn)數(shù)據(jù).的意義，分析實(shí)際問題，此時需關(guān)注兩點(diǎn)①得的值只是一個估計(jì)值，不是精確值②量y成線性相關(guān)關(guān)系時性回歸方程才有意義則即使求出線性回歸方程也是毫無意義的，用其估計(jì)和預(yù)測的量也是不可信的[進(jìn)訓(xùn)練]3．在一段間內(nèi)，分5次測得某種商品的價(jià)格x萬元)和需求量(之間的一組數(shù)據(jù)為價(jià)格x需求量y

1.412

1.610

1.87

25

2.23根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出回歸直線方程y＝x＋a試根據(jù)(中求出的回歸方程預(yù)估當(dāng)價(jià)格為1.9萬元時，需求量大約是多少噸？

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^000[]

1因?yàn)椋健?＝1.8，y＝×＝7.4，51．判斷變之間有無相關(guān)關(guān)系，簡便可行的方法就是繪制散點(diǎn)圖．根據(jù)散點(diǎn)圖，可看出兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系，是否線性相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)．2．求回歸線的方程時應(yīng)注意的問題知道與y呈線性相關(guān)關(guān)系，無需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，否則應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．如果兩個變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計(jì)和預(yù)測的量也是不可信的．用公式計(jì)算b的值時，要先算出b，然后才能算出3．利用回方程，我們可以進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測．若回歸方程＝＋，則x＝x處的估計(jì)值為y＝bx＋a.1．判斷下結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)相關(guān)關(guān)系是兩個變量之間的一種確定的關(guān)系．回歸直線方程一定過樣本中心點(diǎn)．

()()

^^^^^^^^iiiiiiii^^^^^^^^^iiiiiiii^i(3)選取一組數(shù)據(jù)的部分點(diǎn)得到的回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的回歸方程一定相同．

()[案]

×

√

×b(

2．對有線相關(guān)關(guān)系的兩個變量建立的回歸直線方＝a＋bx中，回歸系數(shù))A．不能于0C．不能等于0

B．不能大于D．只能小于0C

[b＝0時，不具有相關(guān)關(guān)系，b可以大于0也可以小于0.]3若施化肥量(千克畝)與水稻產(chǎn)量(千克/畝的回歸方程為y＝5＋當(dāng)施化肥量為80克/時，預(yù)計(jì)水稻產(chǎn)量為畝產(chǎn)_克左右．650

[＝80，y＝40025042019年元旦前夕某市統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)了該市10家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表：年收入x萬元)

267

8

10年飲食支出y萬元)

0.