2020-2021學(xué)年沈陽市郊聯(lián)體高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

772020-2021年沈陽市郊聯(lián)體高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共12小題共60.0分）

若復(fù)數(shù)z，|

B.

C.

D.

已知向，，若則(

B.

C.

D.

某班數(shù)學(xué)課代表給全班同學(xué)出了一道證明題，以下四人中只有一人說了真話，只有一人會證明此題．甲：我不會證明．乙：丙會證明．丙：丁會證明．?。何也粫C明．根據(jù)以上條件，可以判定會證明此題的人是

甲

B.

乙

C.

丙

D.

丁

已知，，(0，且與

垂直，則k的為

B.

C.

D.

7

用反證法證明命題：a可除，那么ab中少有一個(gè)能被5整”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)C.

，能被除，不都被除

B.D.

，都能被除能被除

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成，初始至少應(yīng)

B.

C.

D.

已知x、y是上兩個(gè)隨機(jī)數(shù)，則到的離小于其到直的離的概率為

B.

C.

7

D.

若函數(shù)({

??

的最大值為(，實(shí)數(shù)的值范圍為

??]

B.

C.

,

D.

設(shè)((??計(jì)算可

.觀上述結(jié)果，可得出的一般結(jié)論

111111111111

??

B.

??C.

D.

已點(diǎn)

線：

恒過定點(diǎn)B為線C上的動(dòng)點(diǎn)且

的最小值為2則

B.

?1

C.

D.

若數(shù)

的圖像在

上恰有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值

的取值范圍是B.D.已是數(shù)的函數(shù)且對任意的實(shí)數(shù)x

自然對數(shù)的底數(shù)若不等的集中恰有兩整數(shù)則數(shù)k的值范圍)

1

,

B.

,2

C.

,2

D.

,2二、單空題（本大題共4小題，20.0分若數(shù)滿，的值范圍_．1,(?1已函{，,1)

(??．如正棱111

的各條棱長都相等是棱的中點(diǎn)，則異面直線和BM成的角的大小是___________．已函

??于任在，1使得(

成，則實(shí)數(shù)取值范圍．1三、解答題（本大題共6小題，70.0分設(shè)數(shù)(1)

??，．若線在1,的切線與直線1直，求a值；求數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

如錐中底面為梯形，且，棱上動(dòng)點(diǎn)．Ⅰ當(dāng)平時(shí)確定點(diǎn)E在上位置；Ⅱ在Ⅰ的件下，求二面角余值．已函

，且，為自然對數(shù)的底的導(dǎo)函數(shù)為．求(的單調(diào)區(qū)間；設(shè)線上任意一點(diǎn)的切線的傾斜角，時(shí)，求的值范圍；若，

，求函數(shù)(的點(diǎn)個(gè)數(shù)．

如已eq\o\ac(△,)直角三角形為角以AC為徑作半圓使半圓O所平面平面ABC半圓周異于A，的任意一點(diǎn)．證：平若，，圓O，平面與平面所銳二面的余弦值．已函2，??常，當(dāng)恒成立，求實(shí)數(shù)的值范圍；若數(shù)有稱中心，證：函的線切點(diǎn)處穿過圖的充要條件是恰為函數(shù)在點(diǎn)處的切線直穿過曲線是指：直線曲線有交點(diǎn)，且在交點(diǎn)左右附近曲線在直線異側(cè)

當(dāng)數(shù)m取值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)的．位第四象限？位第一、三象限？位直上

．．，，【答案與析】1.

答：解：：??，得

，??，則√5故選：．把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡求得，然后利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．2.

答：D解：：向，

，則+??又向量=，)所以，得．故選：D根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和共線定理，列方程求出的．本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和共線定理應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．3.

答：A解：：四人中只有一人說了真話，只有一人會證明此題．丙丁會證明．?。何也粫C明．所以丙與丁中一定有一個(gè)是正確的；若丙說了真話，則甲必是假話，矛盾；若丁說了真話，則甲說的是假話，甲就是會證明的那個(gè)，符合題意；以此類推．易得出答案．故選：A．由題意可知，丁會證明．丁不會證明．兩者之間，必有一個(gè)正確，所以判斷丙與丁的正誤即可本題考查合情推理的方法，是基本知識的考查．

774.

答：D解：：已知，，0，(，2，與???故選：D

垂直，(，得

，5先求出和???

的坐標(biāo)，根

與???

垂直，可得??)

，由此解得k的．本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5.

答：B解：題分析：要證明的結(jié)論，b至少有一個(gè)能被除的反面是，b不能被除，因此應(yīng)該假設(shè)，b都能被除考點(diǎn)：反證法點(diǎn)評：反證法求解證明題的步驟：假設(shè)要證明的結(jié)論的反面成立，從假設(shè)出發(fā)得到矛盾，否定設(shè)肯定原結(jié)論成立6.

答：解：：時(shí)左邊，邊；時(shí)左邊，邊，時(shí)左，邊；時(shí)，左初值至少應(yīng)取3

1256

，右邊，故選：．將入計(jì)算，即可得出結(jié)論．本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，起始值的驗(yàn)證，求解的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)左邊的規(guī)律，從而解決問題．7.

答：D解：本題考查幾何概型，考查面積的計(jì)算，確定平面區(qū)域是關(guān)鍵．以面積為測度，確定所示的平面區(qū)域，求

在

陰影部分的面積′陰影部分的面積′32?2√???正方形內(nèi)的區(qū)域的面積，即可求概率．解：如圖所示，正方形的面積，因?yàn)辄c(diǎn)到的離小于其到直線的離所以√

22，21112

，所以所求概率為．12故選：D8.答案C解：本題考查分段函數(shù)的最值，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性、極值和最值，考查分類討論思想和化簡算能力、推理能力，屬于中檔題．由基本不等式求時(shí)，的值域，由意可時(shí)，的域應(yīng)該包含時(shí)值域內(nèi)，討論，，的值域，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值、最．解：當(dāng)時(shí)

，當(dāng)且僅時(shí)取等號，則取最值，由題意可得時(shí)??的域包含??，因?yàn)?/p>

，當(dāng)時(shí)，，在遞，，不成立；當(dāng)時(shí)

時(shí)，在遞減，時(shí)，，遞，可得在

處得極大值，且為最大，則3，解得??

；若，，在遞減，可?2，即成立．綜上可得，a的圍[故選：．

??

,．

559.

答：解：本題考查了合情推理歸、類比推理．把已知的式子可化為

3

32

4

42

5

52

利用歸納推理得

??

??2

．解：已知式(4)，

，，??(32)

7

，可化為

，

32

，

45

4252

，，以此類推，可得故選C．10.答：D解解線則由于

??

??2在

．恒過B令得點(diǎn)上有最小值2且，故是(的值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)，

′，′，，，，

恒成立，在

上是增函數(shù)，所以沒有最小值；故不符合題意當(dāng)，即故選

數(shù)在減函數(shù)解得

是增函數(shù)以有最小值為，11.答：D解試題分析數(shù)

的圖像在

上恰有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，

，

．考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像函數(shù)的極值．12.

答：解：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值及方程與不等式的解法、構(gòu)造方法，考查了推理力與計(jì)算能力，屬于難題．令可??

??

可設(shè)(解得

??

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．解：令(，??

′

??

可設(shè)(

，．

??

，(

??

??

．可得：時(shí)函取極大值時(shí)，函數(shù)取得極小值．

??23

．

2

時(shí)不等式(解集中恰有兩個(gè)整，．

1，1??11??又1)，21，1??11??又1)，222111??1??故k的值范圍故選：．

,．213.

答：13]解：：滿2的z在原點(diǎn)為圓心，以2為徑的圓上，圖，則的表示圓上的點(diǎn)距離象可知，當(dāng)點(diǎn)在E，G處小，最小為當(dāng)點(diǎn)在D，處大，最大2222則的取值范圍，故答案為：復(fù)數(shù)z滿|2以點(diǎn)為圓心半徑的圓的示圓上的點(diǎn)和的離，結(jié)圖形可求．本題考查了復(fù)數(shù)模的求法，考查了復(fù)數(shù)模的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基題14.答案2解：：根定積分的幾何意義211

2就等于單位圓的面積的四分之，(√1224

．故答案為：2

．根據(jù)微積分基本定理求出即可．本題主要考查了微積分基本定理和定積分的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．15.

答：

2時(shí)在處取最小值2時(shí)在處取最小值；81解：立如圖所示的坐標(biāo)系O為中點(diǎn)設(shè)三棱柱的棱長為a則(

，，，，1

，所以異面直線1

與所的角．16.答：解：：函數(shù)12

?1)(2

，若，，為函數(shù)；若，或，為減函數(shù)；在上極值，在處極小值也是最小?1；??

??

，對稱軸，，8當(dāng)

時(shí)，在處最小值；??當(dāng)

2??當(dāng)

時(shí)，在上減函數(shù)828；??對意，，，1只要的小值大于等的小值即可，當(dāng)時(shí)，，得，故b無；當(dāng)

時(shí)，，得，綜上：，故答案為：．首先對(進(jìn)求導(dǎo)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題題意對任

，

121時(shí)，的個(gè)根為222111112當(dāng)時(shí)121時(shí)，的個(gè)根為222111112當(dāng)時(shí)由，得：或1，,使，要的小值大于等的小值即可，的象進(jìn)行討論根據(jù)對稱軸研究(的值問題，從而進(jìn)行求解．本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)上最大值與最小值是通過比函數(shù)在內(nèi)有極值與端點(diǎn)函，較而得到的，此題還涉及函數(shù)的恒成立問題，注意問題最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題上．17.答：：函的義，

2

2

2??

，曲線在點(diǎn)1,??(1))處切線與直線垂，2．由

2

，所以令(2

2

，，當(dāng)eq\o\ac(△,)，

時(shí)，，而，2故函數(shù)(在上單調(diào)遞增；當(dāng)eq\o\ac(△,)，即

11121

，

122

，2當(dāng)

121，即時(shí)，，當(dāng)

時(shí)2

．當(dāng)時(shí)，{，，2由

，得：，2此函在

122

上單調(diào)遞減，在

√122

,上調(diào)遞增；由

11212212，得22

，此函在

1122

和

122

,上調(diào)遞增，在

11222

上調(diào)遞減．

??,′′??,′′′121233解：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)，出a的值即可；求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．本題考查了切線方差問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一中檔題．18.答：：在梯形中由，，得又??，eq\o\ac(△,)??為等腰直角三角形．4．

??4

，連接BD交AC于，則=2平EAC，又平面平，??，在中，即時(shí)平EACⅡ以A為點(diǎn)AB，所直線分別為y軸z軸，在平面ACD中過CD的垂線為x軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則0，，，，，，

33設(shè)，平面一個(gè)法向量，則，

{

??33

，解得，，(,,．設(shè),,為面的一個(gè)法向量，則

又，，

，{，解得′，，

1，

6

，二角???的余弦值為．6

33解：以面行為條，根據(jù)線面平行的性質(zhì)得到線線平行，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得到比值．以原點(diǎn)ABAP所直線分別為軸軸建立空間直角坐標(biāo)系出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出并求出平面的法向量，根據(jù)向量所成的角，得到二面角的余弦值．本題考查空間向量求二面角以及直線與平面的位置關(guān)系的證明，本題的第一小題主要應(yīng)用線面行為條件，這種逆向思維的題目出現(xiàn)的比較多，本題第二小題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，把難度較大的二面角的求法，轉(zhuǎn)化成了數(shù)字的運(yùn)算．降低了難度．19.答：：當(dāng)時(shí)，的調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的調(diào)遞增區(qū)間，的調(diào)減區(qū)間；曲上意一點(diǎn)的切線的斜???

，令，則??

?，由，得，列表如下：x

所以

????

，當(dāng)時(shí)，，所以[，又因?yàn)??????且，所以的值范圍

,4

；解13

，從而

，，則，由，得列表如下：x

所以

????

??6)??6)，????且當(dāng)及時(shí)，以有只有兩個(gè)零點(diǎn)，又

3

3

，所以，的個(gè)零，滿足結(jié)合的圖象可得如下表格，

，

11??2211??22x

??

,12

,2

所以，的大值

1，小值為(??(2)212，2且當(dāng)及時(shí)可出(的致圖象從而，在R上且只有三個(gè)零點(diǎn)．解法：驗(yàn)證知，的點(diǎn)不為零，由(

，2令

??2

，則

??

?2)3

，由，得，列表如下：x

(0,2)

所以，的小值為(2)

4

，又恒成立，4

且當(dāng)時(shí)，

2

，

，所，當(dāng)時(shí)

2

1，所，當(dāng)時(shí)，

2

，

，

的增長速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于

2

的增長速度，所以，從而，作出的致圖象如下：由圖知的象與直有個(gè)交點(diǎn)，

從而，在R上且有三個(gè)零點(diǎn)．解：利函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在上成立，在上是增函數(shù)的集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；若在上成立，則(在上是減函數(shù)，的集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．利可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是該點(diǎn)處切線的斜率k，??

，通過求函

值域，從而求得斜率的圍，在由??，求的值范圍．通，到函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最極值的正負(fù)，從而得到函數(shù)與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，也就是零點(diǎn)個(gè)數(shù)．本題第問考查了函數(shù)的導(dǎo)的負(fù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，考了導(dǎo)函的幾何意義，第問通過求出函數(shù)的最值極)，過函數(shù)草圖得到函數(shù)與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)也就是零點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于中檔題．20.答：證：為周上一點(diǎn)AC為徑是角，又平，半圓O所平平面ABC，平面平，平PAC，又平面PAC，，而PC平PBC，，平面PBC．解取AB中D，中E，連結(jié)OD，，D分為AC中，，又根據(jù)平面，平PAC，半O的弦，根據(jù)垂徑定理得，，以為點(diǎn)OD為x軸，OCy軸OEz軸建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，，，

3即時(shí)，時(shí)，′(3即時(shí)，時(shí)，′(在間1，，，，,，,222與同理證平面QBC

，,322

是平面QBC的個(gè)法向量，設(shè)平面PAB的個(gè)法向量為，則

，222

，

2

2

，取，，設(shè)平面PAB與面所成銳二面角為，則

|

3√33223×7

7

．平PAB與面

成銳二面角的余弦值為．7解：由的性質(zhì)得，由是直角，得??，而得平，此能證明平面．取AB中D，中，連結(jié)OD，，以O(shè)為點(diǎn)，OD為x軸OC為y，OE為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PAB與面QCB所銳二面角的余弦值．本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量的合理運(yùn)用．21.

答：：設(shè)(

2

??，

′

??+2)]

，令：

′

得????

2

，當(dāng)2即時(shí)??′(，在??是函數(shù)，小值為，足．2當(dāng)

22

時(shí)，′(，上為減函數(shù)，在區(qū)間,上增函數(shù)，22最值，不合題意．2實(shí)a的值范圍是：；(2)，于對，是函數(shù)，，得，

，按照極值，按照極值

3

2

，

2

，若L為A點(diǎn)的切線，則切線L的率為，由點(diǎn)式可得其方程為，令(

3

2

3，3

2

3?

2

，為函數(shù)，