山西省臨汾市鄉(xiāng)寧中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省臨汾市鄉(xiāng)寧中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

A．

B．

C．

D．參考答案：D略2.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.函數(shù)在點(diǎn)處有定義是在點(diǎn)處連續(xù)的

(A)充分而不必要的條件

(B)必要而不充分的條件

(C)充要條件

(D)既不充分也不必要的條件參考答案：B

本題主要考查函數(shù)連續(xù)性的定義與充要條件的判斷，難度一般。

函數(shù)在處連續(xù)必定在處有定義，確定函數(shù)在某一處連續(xù)還需要確定函數(shù)在此處是否有極限，以及極限值是否與函數(shù)值相等。因此在點(diǎn)處有定義是在點(diǎn)處連續(xù)的必要非充分條件，選擇B。

4.如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲線f（x）=sinx和余弦曲線g（x）=cosx在矩形ABCD內(nèi)交于點(diǎn)F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是(

) A． B． C． D．參考答案：B考點(diǎn)：幾何概型．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：利用定積分計(jì)算公式，算出曲線y=sinx與y=cosx圍成的區(qū)域包含在區(qū)域D內(nèi)的圖形面積為S=2π，再由定積分求出陰影部分的面積，利用幾何概型公式加以計(jì)算即可得到所求概率．解答： 解根據(jù)題意，可得曲線y=sinx與y=cosx圍成的區(qū)域，其面積為（sinx﹣cosx）dx=（﹣cosx﹣sinx）|=1﹣（﹣）=1+；又矩形ABCD的面積為2π，由幾何概型概率公式得該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是；故選B．點(diǎn)評(píng)：本題給出區(qū)域和正余弦曲線圍成的區(qū)域，求點(diǎn)落入指定區(qū)域的概率．著重考查了定積分計(jì)算公式、定積分的幾何意義和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．5.設(shè)是空間中的一條直線，是空間中的一個(gè)平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A．過(guò)一定存在平面,使得

B．過(guò)一定不存在平面,使得C．在平面內(nèi)一定存在直線，使得D．在平面內(nèi)一定不存在直線，使得參考答案：C6.已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4)，則等于（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略7.已知f（x）為定義域?yàn)镽的函數(shù)，f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且f（1）=e，?x∈R都有f'（x）＞f（x），則不等式f（x）＜ex的解集為（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（1，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】根據(jù)題意，令g（x）=，結(jié)合題意對(duì)其求導(dǎo)分析可得g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在R上為增函數(shù)，又由f（1）=e，可得g（e）==1，而不等式f（x）＜ex可以轉(zhuǎn)化為g（x）＜g（1），結(jié)合函數(shù)g（x）的單調(diào)性分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，令g（x）=，其導(dǎo)數(shù)g′（x）==，又由，?x∈R都有f'（x）＞f（x），則有g(shù)′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在R上為增函數(shù)，若f（1）=e，則g（e）==1，f（x）＜ex?＜1?g（x）＜g（1），又由函數(shù)g（x）在R上為增函數(shù)，則有x＜1，即不等式f（x）＜ex的解集為（﹣∞，1）；故選：A．8.“或是假命題”是“非為真命題”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略9.已知Sn是等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，且S3＝S8，S7＝Sk，則k的值為（）A、3B、4C、5D、6參考答案：B

10.已知為第二象限角，，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.以為漸近線且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程為_(kāi)_____.參考答案：因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸，且，又雙曲線的漸近線為，所以雙曲線為等軸雙曲線，即，所以雙曲線的方程為。12.己知函數(shù)，當(dāng)曲線y=f(x)的切線L的斜率為正數(shù)時(shí),L在x軸上截距的取值范圍為_(kāi)___________.參考答案：略13.已知圓C：經(jīng)過(guò)拋物線E：的焦點(diǎn)，則拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得弦長(zhǎng)為

參考答案：4

【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系拋物線E：x2=4y的焦點(diǎn)為（0，1），準(zhǔn)線為y=-1．（0，1）代入圓C：x2+y2+8x+ay-5=0，可得1+a-5=0，∴a=4∴圓C：x2+y2+8x+4y-5=0，即（x+4）2+（y+2）2=25，

∴圓心到直線的距離為d=1，∴拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得的弦長(zhǎng)為2=4．【思路點(diǎn)撥】求出拋物線E：x2=4y的焦點(diǎn)為（0，1），準(zhǔn)線為y=-1，確定圓的方程，即可求出拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得的弦長(zhǎng)．14.若，則=．參考答案：【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】原式中的角度變形后，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵，∴=cos[﹣（+α）]=sin（+α）=．故答案為：．15.已知極坐標(biāo)的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的極坐標(biāo)方程為．則直線與曲線C的位置關(guān)系為_(kāi)__________.參考答案：略16.一支田徑隊(duì)有男女運(yùn)動(dòng)員98人，其中男運(yùn)動(dòng)員有56人.按男女比例用分層抽樣的方法，從全體運(yùn)動(dòng)員中抽出一個(gè)容量為28的樣本，那么應(yīng)抽取女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是_______.參考答案：12．設(shè)應(yīng)抽取的女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是，則，易得.17.已知，，則

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【專題】解三角形．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)題意確定出ω的值，確定出f（x）解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間即可；（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度數(shù)，利用正弦定理化簡(jiǎn)sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a與b的值即可．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，∵f（x）圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，∴=π，即ω=1，則f（x）=sin（2x﹣）﹣1，（Ⅰ）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤kπ+，k∈Z，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣+kπ，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即sin（2x﹣）=1，∴2C﹣=，即C=，由正弦定理=得：b=，把sinB=3sinA代入得：b=3a，由余弦定理及c=得：cosC===，整理得：10a2﹣7=3a2，解得：a=1，則b=3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．19.設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，。

（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和。參考答案：解：（I）設(shè)q為等比數(shù)列的公比，則由，即，解得（舍去），因此所以的通項(xiàng)為（II）

20.已知函數(shù)f(x)=x3-x．（1）求曲線y=f(x)在點(diǎn)M(t,f(t))處的切線方程；（2）設(shè)a>0，如果過(guò)點(diǎn)(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線，證明：-a<b<f(a)參考答案：解：（1）的導(dǎo)數(shù)．曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即．（2）如果有一條切線過(guò)點(diǎn)，則存在，使．若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．記，則．當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：000增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．綜上，如果過(guò)可作曲線三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則即 ．略21.（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；（Ⅱ）若對(duì)于任意的，不等式在恒成立，求的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）解：，

------1分顯然不是方程的根．為使僅在處有極值，必須成立，

------3分即有．解得．所以的取值范圍是．

------6分（Ⅱ）由條件，可知，從而恒成立．---8分當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者．

------11分為使對(duì)任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即

在上恒成立．

------13分所以，因此滿足條件的的取值范圍是．

------14