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山西省呂梁市莊上中學2021年高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.在ABC中,AB=AC=2,B=30o,P為BC邊中線上的任意一點,則的值為(A)-12
(B)-6
(C)6
(D)12參考答案:B2.設,則“”是“”的
(
)A.充分不必要條件
B.必要不充分條件C.充要條件
D.既不充分也不必要條件參考答案:A3.已知集合A={x|2x﹣1<0},B={x|0≤x≤1},那么A∩B等于()A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0<x<} D.{x|0≤x<}參考答案:D【考點】交集及其運算.【分析】先求出集合A,B,由此利用交集性質(zhì)能求出A∩B.【解答】解:∵集合A={x|2x﹣1<0}={x|x<},B={x|0≤x≤1},∴A∩B={0}.故選:D.【點評】本題考查交集的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意交集定義的合理運用.4.已知雙曲線,其右焦點為,為其上一點,點滿足=1,,則的最小值為 (
)A
3
B
C
2 D
參考答案:B5.如果是二次函數(shù),且的圖象開口向上,頂點坐標為(1,),那么曲線上任一點的切線的傾斜角的取值范圍是
(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A6.已知向量,若,則實數(shù)的值為A.
B.
C.
D.參考答案:D7.某產(chǎn)品的廣告費用與銷售額的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:廣告費用(萬元)4235銷售額(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程中的為,據(jù)此模型預報廣告費用為萬元時銷售額為(
)(A)萬元
(B)萬元
(C)萬元
(D)萬元參考答案:8.定義在R上的函數(shù)滿足,當時,,則()
A.B.
C.D.參考答案:D由題意可知,函數(shù)的圖象關于y軸對稱,且周期為2,故可畫出它的大致圖象,如圖所示:∵且,而函數(shù)在是減函數(shù),∴,選D.
9.向量,滿足=(1,),||=1,|+2|=2,則向量與的夾角為()A.45° B.60° C.90° D.120°參考答案:B【考點】平面向量數(shù)量積的運算.【分析】根據(jù)向量模長和向量數(shù)量積的關系,結(jié)合向量數(shù)量積的應用進行求解即可.【解答】解:∵=(1,),∴||==2,∵|+2|=2,∴平方得||2+4||2+4?=12,即4+4+4?=12,則4?=4,?=1,則cos<,>==,則<,>=60°,故選:B10.已知函數(shù),,當時,,則方程的實數(shù)解的個數(shù)為(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量,若,則t=_______.參考答案:【知識點】平面向量坐標運算【試題解析】由題知:若,則
故答案為:12.已知數(shù)列是無窮等比數(shù)列,其前n項和是,若,,
則的值為
.參考答案:由,,得,所以。13.已知直三棱柱中,,側(cè)面的面積為,則直三棱柱外接球表面積的最小值為
.參考答案:試題分析:根據(jù)題意,設,則有,從而有其外接球的半徑為,所以其比表面積的最小值為.考點:幾何體的外接球,基本不等式.14.二項式的展開式中常數(shù)項為________.參考答案:415.已知函數(shù),則
.參考答案:考點:分段函數(shù)的有關知識及綜合運用.16.(坐標系與參數(shù)方程選做題)在極坐標中,過點(3,0)且與極軸垂直的直線的極坐標方程為__________.參考答案:
17.在正三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB、側(cè)面SAC、側(cè)面SBC兩兩垂直,且側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積為____________.參考答案:因為側(cè)面SAB、側(cè)面SAC、側(cè)面SBC兩兩垂直,所以把正三棱錐補成一個正方體,則正方體的體對角線等于外接球的直徑,正方體的體對角線長,設外接球的半徑為,則,所以外接球的表面積為.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)已知某山區(qū)小學有100名四年級學生,將全體四年級學生隨機按00~99編號,并且按編號順序平均分成10組.現(xiàn)要從中抽取10名學生,各組內(nèi)抽取的編號按依次增加10進行系統(tǒng)抽樣.(1)若抽出的一個號碼為22,則此號碼所在的組數(shù)是多少?據(jù)此寫出所有被抽出學生的號碼;(2)分別統(tǒng)計這10名學生的數(shù)學成績,獲得成績數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖4所示,求該樣本的方差;(3)在(2)的條件下,從這10名學生中隨機抽取兩名成績不低于73分的學生,求被抽取到的兩名學生的成績之和不小于154分的概率.參考答案:
試題解析:(1)由題意,得抽出號碼為22的組數(shù)為3.
(2分)因為2+10×(3-1)=22,所以第1組抽出的號碼應該為02,抽出的10名學生的號碼依次分別為:02,12,22,32,42,52,62,72,82,92.
(4分)(2)這10名學生的平均成績?yōu)椋骸?81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71,
(6分)故樣本方差為:(102+12+22+52+72+82+92+62+42+122)=52.(8分)19.如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,∠ADC=∠BCD=90°,BC=2,,PD=4,∠PDA=60°,且平面PAD⊥平面ABCD.(Ⅰ)求證:AD⊥PB;(Ⅱ)在線段PA上是否存在一點M,使二面角M﹣BC﹣D的大小為,若存在,求的值;若不存在,請說明理由.參考答案:【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題;空間中直線與直線之間的位置關系.【分析】(I)過B作BO∥CD,交AD于O,連接OP,則AD⊥OB,由勾股定理得出AD⊥OP,故而AD⊥平面OPB,于是AD⊥PB;(II)以O為原點建立坐標系,設M(m,0,n),求出平面BCM的平面ABCD的法向量,令|cos<>|=cos解出n,從而得出的值.【解答】證明:(I)過B作BO∥CD,交AD于O,連接OP.∵AD∥BC,∠ADC=∠BCD=90°,CD∥OB,∴四邊形OBCD是矩形,∴OB⊥AD.OD=BC=2,∵PD=4,∠PDA=60°,∴OP==2.∴OP2+OD2=PD2,∴OP⊥OD.又OP?平面OPB,OB?平面OPB,OP∩OB=O,∴AD⊥平面OPB,∵PB?平面OPB,∴AD⊥PB.(II)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,OA⊥AD,∴OP⊥平面ABCD.以O為原點,以OA,OB,OP為坐標軸建立空間直角坐標系,如圖所示:則B(0,,0),C(﹣2,,0),假設存在點M(m,0,n)使得二面角M﹣BC﹣D的大小為,則=(﹣m,,﹣n),=(﹣2,0,0).設平面BCM的法向量為=(x,y,z),則.∴,令y=1得=(0,1,).∵OP⊥平面ABCD,∴=(0,0,1)為平面ABCD的一個法向量.∴cos<>===.解得n=1.∴==.20.如圖,四棱臺中,底面,平面平面為的中點.(1)證明:;(2)若,且,求點到平面的距離.參考答案:(1)證明:連接,∵為四棱臺,四邊形四邊形,∴,由得,,又∵底面,∴四邊形為直角梯形,可求得,又為的中點,所以,又∵平面平面,平面平面,∴平面平面,∴;(2)解:在中,,利用余弦定理可求得,或,由于,所以,從而,知,又∵底面,則平面底面為交線,∴平面,所以,由(1)知,∴平面(連接),∴平面平面,過點作,交于點,則平面,在中可求得,所以,所以,點到平面的距離為.21.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(Ⅰ)若A∩B=[0,3],求實數(shù)m的值;(Ⅱ)若A??RB,求實數(shù)m的取值范圍.參考答案:解由已知得A={x|-1≤x≤3},
B={x|m-2≤x≤m+2}.(1)∵A∩B=[0,3],∴∴m=2.
…………6分(2)?RB={x|x<m-2或x>m+2},∵A??RB,
∴m-2>3或m+2<-1,即m>5或m<-3.
…………12分22.在極坐標系中,圓C的方程為ρ=2asinθ(a>0).以極點為坐標原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,設直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(Ⅰ)求圓C的標準方程和直線l的普通方程;(Ⅱ)若直線l與圓C交于A,B兩點,且.求實數(shù)a的取值范圍?參考答案:【考點】簡單曲線的極坐標方程;參數(shù)方程化成普通方程.【分析】(Ⅰ)利用極坐標方程進行轉(zhuǎn)化即可求圓C的標準方程,消去參數(shù)即可求直線l的普通方程;(Ⅱ)利用直線和圓相交的弦長公式進行轉(zhuǎn)化求解即可.【解答】解:(Ⅰ)∵ρ=2asinθ(a>
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