材料力學(xué)第八章壓桿的穩(wěn)定性

第八章

壓桿的穩(wěn)定性§8-1壓桿穩(wěn)定性的概念受軸向壓縮的直桿，其破壞有兩種形式：1）短粗的直桿，其破壞是由于橫截面上的正應(yīng)力達(dá)到材料的極限應(yīng)力，為強(qiáng)度破壞。2）細(xì)長的直桿，其破壞是由于桿不能保持原有的直線平衡形式，為失穩(wěn)破壞。工程中存在著很多受壓桿件。

對(duì)于相對(duì)細(xì)長的壓桿，其破壞并非由于強(qiáng)度不足，而是由于荷載（壓力）增大到一定數(shù)值后，不能保持原有直線平衡形式而失效。1.兩端鉸支細(xì)長壓桿，當(dāng)F力較小時(shí)，桿在力F作用下將保持原有直線平衡形式。此時(shí)，在其側(cè)向施加微小干擾力使其彎曲，當(dāng)干擾力撤除后，桿仍可回復(fù)到原來的直線形式?？梢娺@種直線平衡形式是穩(wěn)定的。2.當(dāng)壓力超過某一數(shù)值時(shí)，如作用一側(cè)向微小干擾力使壓桿微彎，則在干擾力撤除后，桿不能回復(fù)到原來的直線平衡形式，而在微彎狀態(tài)下保持平衡。壓桿原來的直線平衡形式不穩(wěn)定。

這種喪失原有平衡形式的現(xiàn)象稱為喪失穩(wěn)定性，簡稱失穩(wěn)。

壓桿從穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡時(shí)，軸向壓力的臨界值，稱為臨界力或臨界荷載，用Fcr表示。剛體平衡12345隨遇平衡其它一些構(gòu)件的穩(wěn)定性問題§8-2細(xì)長壓桿的臨界力

在臨界力Fcr作用下，細(xì)長壓桿在微彎狀態(tài)下平衡，若此時(shí)壓桿仍處在彈性階段，可應(yīng)用梁的撓曲線近似微分方程及桿端約束條件求解臨界力Fcr。一、歐拉公式

設(shè)兩端鉸支的細(xì)長壓桿在臨界荷載Fcr作用下，在xOw平面內(nèi)處于微彎狀態(tài)。lxFcrw1.兩端鉸支的細(xì)長壓桿撓曲線近似微分方程為lwxFcrxwEIw"=-M(x)x截面的彎矩為M(x)=Fcr

w

EIw"

=-Fcr

wEIw"

+Fcr

w

=0令k2=FcrEIw"

+k2w

=0得二階常系數(shù)線性微分方程xwxwFcrFcrM(x)由桿的已知位移邊界條件確定常數(shù)x=0，w=0x=l，w=0得

B=0，w=Asinkx得Asinkl=0由Asinkl=0

得

A=0（不可能）

或sinkl=0即

kl=nπ

(n=0,1,2…）k2=FcrEIlxFcrw其通解為w=Asinkx+BcoskxA、B、k待定常數(shù)w"

+k2w

=0(n=0,1,2…）Fcr=n2π2EIl2最小的臨界荷載（n=1）（Euler公式）Fcr=π2EIl2(n=0,1,2…）Fcr=n2π2EIl2壓桿的撓曲線方程為w=Asinxπl(wèi)（半波正弦曲線）x=2l時(shí)w0=Aw=Asinkx+Bcoskxk=π/lA是壓桿中點(diǎn)的撓度w0。為任意的微小值。lxFcrwOFw0F與中點(diǎn)撓度w0之間的關(guān)系（1）若采用近似微分方程，則F與如折線OAB所示；實(shí)際B'（2）若采用精確的撓曲線微分方程，則可得F與w0之間的關(guān)系如曲線OAB'所示；（3）實(shí)際工程壓桿F與w0之間的關(guān)系如曲線OB所示。BAFcr2.不同桿端約束下壓桿的臨界力xFcrwxwlABlwxFcrxwABwlxFcrxwABxFcrxwABwllFcrFcr2lFcrl類比法

一端固定一端自由的細(xì)長壓桿，長度2l范圍內(nèi)與兩端鉸支細(xì)長壓桿撓曲線形狀相同。Fcr=π2EI（2l）2lFcrFcrl/2l/4l/4Fcr=π2EI(0.5l)2

兩端固定細(xì)長壓桿，長度0.5l范圍內(nèi)與兩端鉸支細(xì)長壓桿撓曲線形狀相同。類比法0.7lFcr0.3llFcrFcr=π2EI(0.7l)2

一端固定，另一端鉸支的細(xì)長壓桿，在0.7l范圍內(nèi)與兩端鉸支細(xì)長壓桿撓曲線形狀相同。類比法Euler公式的統(tǒng)一形式Fcr=π2EI(μl)2約束越強(qiáng)，μ越小，臨界力Fcr越大。μ——長度因數(shù)μl——相當(dāng)長度一端固定一端自由一端固定一端鉸支兩端固定兩端鉸支μ=1.0μ=2.0μ=0.5μ=0.7Fcr=π2EI(μl)2公式討論2.當(dāng)桿端約束在各個(gè)方向相同時(shí)（如球鉸、空間固定端），壓桿只可能在最小抗彎剛度平面內(nèi)失穩(wěn)，即I取Imin值；1.Fcr與抗彎剛度成EI正比，與相當(dāng)長度μl的平方成反比；最小抗彎剛度平面：形心主慣性矩I為最小的縱向平面

如矩形截面的Iy最小，xOz平面為最小抗彎剛度平面。3.當(dāng)桿端約束情況在各個(gè)方向不同時(shí)，如圖柱形鉸，xOz平面內(nèi)為鉸支（可繞y軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)），xOy平面內(nèi)為固定端（不能轉(zhuǎn)動(dòng)）。計(jì)算臨界荷載應(yīng)取I與μ2比值的最小值，壓桿在相應(yīng)的平面內(nèi)失穩(wěn)。軸銷xyz壓桿在

xOz平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)：μ=1.0，I=Iy計(jì)算臨界力Fcr1壓桿在

xOy平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)：μ=0.5，I=Iz計(jì)算臨界力Fcr2臨界力Fcr為兩者中較小的值。Fcr=π2EI(μl)24.實(shí)際工程中的壓桿。其桿端約束有很多變化，要根據(jù)具體情況選取適當(dāng)?shù)拈L度系數(shù)μ值。5.實(shí)際工程中的壓桿，非理想的均質(zhì)直桿，荷載也總會(huì)有小的偏心，因此其臨界力比公式計(jì)算出的為小，這可以在安全因數(shù)里考慮，故實(shí)際工程中壓桿仍可按該公式計(jì)算其臨界荷載?！?-3壓桿的柔度與壓桿的非彈性失穩(wěn)

當(dāng)壓桿在臨界荷載Fcr作用下，并仍處于直線形式的平衡狀態(tài)時(shí)，橫截面上的正應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力。一、壓桿的臨界應(yīng)力與柔度σcr=FcrAπ2EI(μl)2=Ai2=IAμliλ=令σcr=π2Eλ2則有λ——稱為壓桿的柔度（或細(xì)長比），它綜合反映了壓桿的幾何尺寸和桿端約束對(duì)壓桿承載能力的影響。二、歐拉公式的適用范圍推導(dǎo)歐拉公式時(shí)，桿處于彈性狀態(tài)σcr≤σP故歐拉公式的適用條件σcr=π2Eλ2≤σPλ≥√π2EσP令√λP=π2EσPλ≥λP滿足該條件的壓桿稱為細(xì)長桿（或大柔度桿）。λP為材料參數(shù)，不同的材料有不同的值。如Q235鋼，σP=200MPaE=200MPaλP=100三、非彈性失穩(wěn)壓桿的臨界力λ≥λPλ<λP為彈性失穩(wěn)壓桿的失穩(wěn)稱為非彈性失穩(wěn)σcr>σP

此時(shí)歐拉公式不再適用，工程上常以試驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公式來計(jì)算這類壓桿的臨界應(yīng)力σcr。如直線公式σcr=a-b

λa、b為與材料有關(guān)的常數(shù)，由試驗(yàn)確定。如Q235鋼，a=304MPab=1.12MPa實(shí)際上時(shí)σcr≥σu壓桿將發(fā)生強(qiáng)度破壞，而不是失穩(wěn)破壞。故直線公式的適用范圍<λ<λPλuσP<σcr<σu稱為短粗桿(小柔度桿)=a-σuλub稱為中長桿(中柔度桿)直線公式σcr=a-bλ這類壓桿的臨界力為σcrFcrA=四、失效應(yīng)力總圖oσcr=σsσcr=a-bλλuλpσcrλσcrσpσcr=E22πλQ235鋼的失效應(yīng)力總圖λ≥λP<λ<λPλuλ≤λu細(xì)長桿（或大柔度桿），歐拉公式稱為中長桿(中柔度桿)，直線公式短粗桿(小柔度桿)，強(qiáng)度破壞

例TC13松木壓桿,兩端為球鉸。壓桿材料的比例極限σp=9MPa,強(qiáng)度極限σb=13MPa，彈性模量E=1.0×104MPa。壓桿采用面積相同的兩種截面:(1)h=120mm,b=90mm的矩形。(2)b=104mm正方形。試比較二者的臨界荷載。Fcr3mhbFcr3mbb解：(1).矩形截面該壓桿為細(xì)長桿,臨界力用歐拉公式計(jì)算:Fcr3mhb(2).正方形截面該壓桿為中長桿Fcr3mbb

例一壓桿,長l=2m,截面為10號(hào)工字鋼,材料為Q235鋼,σs=235MPa,E=206GPa,σp=200MPa。壓桿兩端為柱形鉸。試求壓桿的臨界荷載。軸銷xyz解：先計(jì)算壓桿的柔度。在xz面內(nèi)，壓桿兩端可視為鉸支，μ=1。查型鋼表，得iy=4.14cm，故在xy面內(nèi)，壓桿兩端可視為固支，μ=0.5。查型鋼表，得iz=1.52cm，故軸銷xyz壓桿將在xy面內(nèi)失穩(wěn)Q235鋼故壓桿為中長桿臨界應(yīng)力:橫截面面積:臨界力:§8-4壓桿的穩(wěn)定計(jì)算一、壓桿的穩(wěn)定條件壓桿的穩(wěn)定條件為nst為穩(wěn)定安全因數(shù)；[Fst]為穩(wěn)定容許壓力。用應(yīng)力表示的穩(wěn)定條件為[σst]為穩(wěn)定容許應(yīng)力。nst的選取除了要考慮在選取強(qiáng)度安全因數(shù)時(shí)的那些因素外，還要考慮影響壓桿失穩(wěn)的其它不利因素，如初曲率、荷載偏心等。二、壓桿的穩(wěn)定計(jì)算1.安全因數(shù)法2.折減因數(shù)法或φ稱為折減因數(shù)；小于1大于0。φ隨柔度λ變化，φ與λ的關(guān)系可查規(guī)范。

例由Q235鋼制成的千斤頂如圖。絲桿長l=800mm，直徑d=40mm，上端自由，下端可視為固定。材料E=2.1×105MPa。若該絲桿的穩(wěn)定安全因數(shù)nst=3，是求該千斤頂?shù)淖畲蟪休d力。解：先求絲桿的臨界壓力Fcr絲桿lFQ235鋼故絲桿為細(xì)長桿

例

某鋼柱長7m，由兩根16b號(hào)槽鋼組成，材料為Q235鋼，橫截面如圖所示，截面類型為b類。鋼柱的兩端截面上有4個(gè)直徑為30mm的螺栓孔。鋼柱μ=1.3，受260kN的軸向壓力，材料的[σ]=170MPa。（1）求兩槽鋼的間距h。（2）校核鋼柱的穩(wěn)定性和強(qiáng)度。解：(1)確定兩槽鋼的間距h

鋼柱兩端約束在各方向均相同，因此，最合理的設(shè)計(jì)應(yīng)使Iy=Iz,從而使鋼柱在各方向有相同的穩(wěn)定性。單根16b號(hào)槽鋼的截面幾何性質(zhì)可由型鋼表查得為:A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm，δ=10mm

由平行移軸公式，鋼柱截面對(duì)y軸的慣性矩為Iy

=2[Iyo+A(z0+h/2)2]由Iy=Iz的條件得到2×934.5=2×[83.4+25.15(1.75+h/2)2]整理后得到12.58h2+85.51h-1566.83=0解出h后,舍棄不合理的負(fù)值,得h=8.23cm

。A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cmδ=10mm(2)校核鋼柱的穩(wěn)定性

鋼柱兩端附近截面雖有螺栓孔削弱,但屬于局部削弱,不影響整體的穩(wěn)定性。鋼柱截面的λ和i分別為A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm，δ=10mm查表得

φ=0.308，所以

φ[σ]=0.308×170MPa=52.4MPa而鋼柱的工作應(yīng)力為鋼柱滿足穩(wěn)定要求。(3)校核鋼柱的強(qiáng)度

對(duì)螺栓孔削弱的截面,應(yīng)進(jìn)行強(qiáng)度校核。該截面上的工作應(yīng)力為故削弱的截面仍有足夠的強(qiáng)度。AB4m

例桁架中,上弦桿AB為Q235工字鋼,材料的容許應(yīng)力[σ]=170MPa,已知該桿受250kN的軸向壓力的作用,試選擇工字鋼型號(hào)。解:在已知條件中給出了[σ]值，但對(duì)nst沒有明確要求，所以應(yīng)按折減因數(shù)法來進(jìn)行截面設(shè)計(jì)。其φ尚未知，φ取決于λ，而λ又與截面尺寸有關(guān)，因此，需用試算法。先假設(shè)φ=0.5，得選18號(hào)工字鋼，A=30.6cm2，imin=2.0cm。μ=1查表得φ=0.186，需做第二次試算，令選22b工字鋼，A=46.4cm2，imin=2.27cm。μ=1查表得φ=0.234，還需試算，令選28a