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文檔簡介
有限域FinteFields四院五教譚林課程介紹一門理論完善,應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)課
一門密碼學(xué)專業(yè)必修的基礎(chǔ)課預(yù)修課程高等代數(shù)、初等數(shù)論、近世代數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)
理解有限域的基本概念和基本理論,運(yùn)用有限域工具分析和解決特定問題,為專業(yè)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)要求
邏輯思維、想象力2學(xué)習(xí)安排講授、討論、輔導(dǎo)、實(shí)驗(yàn)(10學(xué)時(shí))考核方式平時(shí)成績(30%):課堂表現(xiàn)、作業(yè)、測(cè)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)期末考試(70%):閉卷參考教材
RudolfLidlandHaraldNiederreiter《FiniteFields》1983,1997.
《IntroductiontoFiniteFields
andTheirApplications》1986,1994.3第一章代數(shù)基礎(chǔ)4二元運(yùn)算(Binaryoperation)設(shè)S是非空集合,則SS到S的映射稱為集合S
上的(二元)運(yùn)算(Operation)。運(yùn)算封閉常用的運(yùn)算:ab,a+b,ab5AlgebraicSystem代數(shù)系統(tǒng)(Algebraicsystem)非空集合S
以及定義在S
上的一個(gè)或多個(gè)運(yùn)算稱為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。Abstractalgebrainvestigatespropertiesofoperationsandtheirconsequenceswhileneglectingtheactualnatureoftheobjects
thattheseoperationsareperformedon.6AnonemptysetBinaryoperationsAlgebraicSystem群(Group)一個(gè)集合
一種運(yùn)算三條性質(zhì):結(jié)合率:a
(b
c)(a
b)
c單位元:存在eG
使得對(duì)任意的aG
有a
e
e
a
a逆元:對(duì)任意的aG,存在bG滿足a
b
b
a
e注:有沒有集合上的運(yùn)算不滿足結(jié)合率?
逆元是否一定存在?7Group群的簡單性質(zhì)單位元唯一逆元唯一消去律成立:即對(duì)a,
b,
cG,若ab
ac,則b
c;若ba
ca,則b
c.8Group交換群(Commutativegroup)設(shè)G
是群,若對(duì)任意的a,bG
有a
b
=
b
a,則G
稱為交換群(阿貝爾群);
否則,稱為非交換群。
9Group群(Group)設(shè)G是群,則G中元素的個(gè)數(shù)稱為群的階(order),記作
|G|。若|G|是有限的,則稱為有限群;否則,稱為無限群。
10Group乘法群與加法群11MultiplicativeNotationsAdditiveNotationsaba+b10a1aannaanam
anm
na
ma
(nm)a
(an)m
anm
m(na)
(mn)a
Group例子設(shè)G={1,2,3,4,5,6,7},對(duì)任意的a,bG,令ab為a乘以b除以8的余數(shù),即ab=(abmod8),問G是群嗎?設(shè)G={1,2,3,4,5,6},對(duì)任意的a,bG,令ab為a乘以b除以7的余數(shù),即ab=(abmod7),問G是群嗎?整數(shù)Z,
{e},
Z/(6)?12Group子群(Subgroup)設(shè)
H
是群G的非空子集,若在
G
的運(yùn)算下,
H
構(gòu)成群,則稱
H
是
G
的一個(gè)子群.平凡子群、非平凡子群設(shè)G
是有限群,
H
是群
G
的子群,則|H|是|G|的因子。設(shè)G
交換群,集合S
生成的G
的子群
〈S〉
{akbm,
a,bS;k,mZ}有限生成群13Group循環(huán)群(cyclicgroup)由一個(gè)元素生成的群稱為循環(huán)群.〈a〉={an|nZ}.若〈a〉是有限群,則〈a〉的階也稱為元素a
的階,記為ord(a).若a
的階為k,則am
=e當(dāng)且僅當(dāng)k|m.14Group問題
設(shè)G=<a>是階為m的循環(huán)群.若H
是G
的子群,問H是循環(huán)群嗎?元素ak
的階為多少?設(shè)n
整除m,是否存在n階子群?設(shè)n
整除m,G
中有兩個(gè)子群階等于n
嗎?思考題:有限群一定是循環(huán)群嗎?15Group循環(huán)群(cyclicgroup)定理
設(shè)H
是加法群Z的子群,則H
是循環(huán)群.進(jìn)一步,H=<0>或H=<m>,其中m
是H
中的最小正整數(shù).16Group關(guān)系
SS的一個(gè)子集R確定集合S
的一個(gè)關(guān)系等價(jià)關(guān)系反身性對(duì)稱性傳遞性等價(jià)類,代表元同余,Z/(n)17模子群的同余關(guān)系設(shè)
H
是群
G
的子群,RH={(a,b)|ab1H}是
G
上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。a,
bG,若aRH
b,則稱
a
模
H
同余
b,記為a
bmodH。設(shè)aG,在模
H
同余下,a
的等價(jià)類為集合aH={ah|h
H
},aH也稱為H在G中的一個(gè)陪集。18Group模子群的同余關(guān)系|aH|
|Ha|
|H|正規(guī)子群H:對(duì)任意aG,有aH
Ha.
記G/H
是全體等價(jià)類構(gòu)成的集合,則G/H
以及G/H
上的運(yùn)算[a][b]=[ab]構(gòu)成群,稱為G
模H
的商群。19Group群同態(tài)(homomorphismofgroups)設(shè)G
和H
是兩個(gè)群,
f:
GH
是群之間的一個(gè)映射.若對(duì)任意的a,
bG,有f
(a
b)
f
(a)
?
f
(b),其中表示G上的運(yùn)算,?表示H上的運(yùn)算,則稱f
是G
到H
的一個(gè)群同態(tài).單同態(tài)(monomorphism)、滿同態(tài)(epimorphism)、同構(gòu)(isomorphism)(G
H)20Group群同態(tài)(homomorphismofgroups)f
(1G)
1Hf
(a1)
(f
(a))1Ker
f
{aG
|
f(a)
1H}是群G
的正規(guī)子群
f
是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)Kerf={1G}Imf
{bH
|
存在aG滿足b=f
(a)
}是H
的子群21Group群同態(tài)(homomorphismofgroups)若
N
是
G
的正規(guī)子群,則:G
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