有限域-代數(shù)基礎(chǔ)-群

有限域FinteFields四院五教譚林課程介紹一門理論完善,應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)課

一門密碼學(xué)專業(yè)必修的基礎(chǔ)課預(yù)修課程高等代數(shù)、初等數(shù)論、近世代數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)

理解有限域的基本概念和基本理論，運(yùn)用有限域工具分析和解決特定問題，為專業(yè)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)要求

邏輯思維、想象力2學(xué)習(xí)安排講授、討論、輔導(dǎo)、實(shí)驗(yàn)(10學(xué)時(shí))考核方式平時(shí)成績（30%）：課堂表現(xiàn)、作業(yè)、測(cè)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)期末考試（70%）：閉卷參考教材

RudolfLidlandHaraldNiederreiter《FiniteFields》1983,1997.

《IntroductiontoFiniteFields

andTheirApplications》1986,1994.3第一章代數(shù)基礎(chǔ)4二元運(yùn)算（Binaryoperation）設(shè)S是非空集合，則SS到S的映射稱為集合S

上的（二元）運(yùn)算(Operation)。運(yùn)算封閉常用的運(yùn)算：ab,a+b,ab5AlgebraicSystem代數(shù)系統(tǒng)（Algebraicsystem）非空集合S

以及定義在S

上的一個(gè)或多個(gè)運(yùn)算稱為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。Abstractalgebrainvestigatespropertiesofoperationsandtheirconsequenceswhileneglectingtheactualnatureoftheobjects

thattheseoperationsareperformedon.6AnonemptysetBinaryoperationsAlgebraicSystem群（Group）一個(gè)集合

一種運(yùn)算三條性質(zhì)：結(jié)合率：a

(b

c)(a

b)

c單位元：存在eG

使得對(duì)任意的aG

有a

e

e

a

a逆元：對(duì)任意的aG,存在bG滿足a

b

b

a

e注:有沒有集合上的運(yùn)算不滿足結(jié)合率?

逆元是否一定存在?7Group群的簡單性質(zhì)單位元唯一逆元唯一消去律成立：即對(duì)a,

b,

cG,若ab

ac,則b

c;若ba

ca,則b

c.8Group交換群（Commutativegroup）設(shè)G

是群，若對(duì)任意的a,bG

有a

b

=

b

a，則G

稱為交換群(阿貝爾群);

否則,稱為非交換群。

9Group群（Group）設(shè)G是群,則G中元素的個(gè)數(shù)稱為群的階（order）,記作

|G|。若|G|是有限的,則稱為有限群;否則,稱為無限群。

10Group乘法群與加法群11MultiplicativeNotationsAdditiveNotationsaba+b10a1aannaanam

anm

na

ma

(nm)a

(an)m

anm

m(na)

(mn)a

Group例子設(shè)G={1,2,3,4,5,6,7},對(duì)任意的a,bG,令ab為a乘以b除以8的余數(shù)，即ab=(abmod8)，問G是群嗎？設(shè)G={1,2,3,4,5,6},對(duì)任意的a,bG,令ab為a乘以b除以7的余數(shù)，即ab=(abmod7)，問G是群嗎？整數(shù)Z,

{e},

Z/(6)?12Group子群（Subgroup）設(shè)

H

是群G的非空子集,若在

G

的運(yùn)算下,

H

構(gòu)成群,則稱

H

是

G

的一個(gè)子群.平凡子群、非平凡子群設(shè)G

是有限群,

H

是群

G

的子群,則|H|是|G|的因子。設(shè)G

交換群,集合S

生成的G

的子群

〈S〉

{akbm,

a,bS;k,mZ}有限生成群13Group循環(huán)群(cyclicgroup)由一個(gè)元素生成的群稱為循環(huán)群.〈a〉={an|nZ}.若〈a〉是有限群,則〈a〉的階也稱為元素a

的階,記為ord(a).若a

的階為k,則am

=e當(dāng)且僅當(dāng)k|m.14Group問題

設(shè)G=<a>是階為m的循環(huán)群.若H

是G

的子群,問H是循環(huán)群嗎?元素ak

的階為多少?設(shè)n

整除m,是否存在n階子群?設(shè)n

整除m,G

中有兩個(gè)子群階等于n

嗎?思考題:有限群一定是循環(huán)群嗎？15Group循環(huán)群(cyclicgroup)定理

設(shè)H

是加法群Z的子群,則H

是循環(huán)群.進(jìn)一步,H=<0>或H=<m>,其中m

是H

中的最小正整數(shù).16Group關(guān)系

SS的一個(gè)子集R確定集合S

的一個(gè)關(guān)系等價(jià)關(guān)系反身性對(duì)稱性傳遞性等價(jià)類，代表元同余，Z/(n)17模子群的同余關(guān)系設(shè)

H

是群

G

的子群,RH={(a,b)|ab1H}是

G

上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。a,

bG,若aRH

b,則稱

a

模

H

同余

b,記為a

bmodH。設(shè)aG,在模

H

同余下,a

的等價(jià)類為集合aH={ah|h

H

},aH也稱為H在G中的一個(gè)陪集。18Group模子群的同余關(guān)系|aH|

|Ha|

|H|正規(guī)子群H：對(duì)任意aG,有aH

Ha.

記G/H

是全體等價(jià)類構(gòu)成的集合,則G/H

以及G/H

上的運(yùn)算[a][b]=[ab]構(gòu)成群,稱為G

模H

的商群。19Group群同態(tài)（homomorphismofgroups）設(shè)G

和H

是兩個(gè)群,

f:

GH

是群之間的一個(gè)映射.若對(duì)任意的a,

bG,有f

(a

b)

f

(a)

?

f

(b),其中表示G上的運(yùn)算,?表示H上的運(yùn)算,則稱f

是G

到H

的一個(gè)群同態(tài).單同態(tài)(monomorphism)、滿同態(tài)（epimorphism）、同構(gòu)（isomorphism）（G

H）20Group群同態(tài)（homomorphismofgroups）f

(1G)

1Hf

(a1)

(f

(a))1Ker

f

{aG

|

f(a)

1H}是群G

的正規(guī)子群

f

是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)Kerf={1G}Imf

{bH

|

存在aG滿足b=f

(a)

}是H

的子群21Group群同態(tài)（homomorphismofgroups）若

N

是

G

的正規(guī)子群,則:G