西安電子科技大學講義

本文格式為Word版，下載可任意編輯——西安電子科技大學講義第一章隨機過程

本章主要內(nèi)容：

隨機過程的根本概念●隨機過程的數(shù)字特征●隨機過程的微分和積分計算●隨機過程的平穩(wěn)性和遍歷性●隨機過程的相關函數(shù)及其性質(zhì)●復隨機過程●正態(tài)分布的隨機過程

第一章我們介紹了隨機變量，隨機變量是一個與時間無關的量，隨機變量的某個結(jié)果，是一個確定的數(shù)值。例如，骰子的6面，點數(shù)

總是1～6，假設A面點數(shù)為1，那么無論你何時投擲成A面，它的點數(shù)都是1，不會展現(xiàn)其它的結(jié)果，即結(jié)果具有同一性。但生活中，大量參量是隨時間變化的，如測量接收機的電壓，它是一個隨時間變化的曲線；又如頻率源的輸出頻率，它隨溫度變化，所以有個頻率穩(wěn)定度的范圍的概念（即偏離標稱頻率的最大范圍）。這些隨時間變化的隨機變量就稱為隨機過程。

鮮明，隨機過程是由隨機變量構(gòu)成，又與時間相關。

1.1隨機過程的根本概念及統(tǒng)計特性

1.1.1

隨機過程的定義現(xiàn)在我們進一步論述隨機過程的概念。當對接收機的噪聲電壓作"單次'查看時，可以得到波形)(1tx，也可能得到波形)(2tx，)(3tx等等，每次觀測的波形的概括外形，雖然事先不知道，但斷定為全體可能的波形中的一個。而這些全體可能的波形集合)(1tx，)(2tx，)(3tx，，)(txn，..，就構(gòu)成了隨機過程)(tX。

圖1.1

噪聲電壓的起伏波形1．樣本函數(shù)：

)(1tx，)(2tx，)(3tx，，)(txn，都是時間的函數(shù)，稱為樣本函數(shù)。

2．隨機性：一次試驗，隨機過程必取一個樣本函數(shù)，但所取的樣本函數(shù)帶有隨機性。因此，隨機過程不僅是時間t的函數(shù)，還是可能結(jié)果的函數(shù)，記為),(tX，簡寫成)(tX。

3．隨機過程的定義：

定義1把隨機過程看成一族樣本函數(shù)。

4．定義的理解上面兩種隨機過程的定義，從兩個角度描述了隨機過程。概括的

說，作觀測時，常用定義1，這樣通過觀測的試驗樣本來得到隨機過程的統(tǒng)計特性；對隨機過程作理論分析時，常用定義2，這樣可以把隨機過程看成為n維隨機變量，n越大，采樣時間越小，所得到的統(tǒng)計特性越切實。

因此，可從以下4個方面對定義舉行理解。

1.1.2

隨機過程的分類隨機過程的分類方法有多種，可以按是否連續(xù)來分類，也可以按樣本函數(shù)的形式來分類，還可以按概率分布的特性來分類。

1、按隨機過程的時間和狀態(tài)來分類●連續(xù)型隨機過程：對隨機過程任一時刻t1的取值)(1tX都是連續(xù)型隨機變量。

●離散型隨機過程：對隨機過程任一時刻t1的取值)(1tX都是離散型隨機變量。

●連續(xù)隨機序列：隨機過程的時間t只能取某些時刻，如t，2t，..，nt，且這時得到的隨機變量)(tnX是連續(xù)型隨機變量，即時間是離散的。相當于對連續(xù)型隨機過程的采樣。

●離散隨機序列：隨機過程的時間t只能取某些時刻，如t，

2t，..，nt，且這時得到的隨機變量)(tnX是離散型隨機變量，即時間和狀態(tài)都離散。相當于采樣后再量化。

2、按樣本函數(shù)的形式來分類●不確定的隨機過程：隨機過程的任意樣本函數(shù)的值不能被預料。例如接收機噪聲電壓波形。

●確定的隨機過程。隨機過程的任意樣本函數(shù)的值能被預料。例如，樣本函數(shù)為正弦信號。

3、按概率分布的特性來分類這是一種更為本質(zhì)的分類方法，可分為：平穩(wěn)隨機過程，正態(tài)隨機過程，馬爾可夫過程，獨立增量過程，獨立隨機過程和瑞利隨機過程等等。

1.1.3

隨機過程的概率分布前面說過，用定義2分析隨機過程便當，也就是說，把隨機過程)(tX看成n維隨機變量),...(),,(),(21ntXtXtX的集合（n趨向無窮，且1iittt相當?。?。這樣，就把多維隨機變量的研究代替隨機過程的研究，這樣的代替足夠精細。

1、一維概率分布定義：

由于t1是任一時刻，因此，常把),(11txFX簡寫成),(txFX。

假設),(txFX的偏倒數(shù)存在，那么：

xtxFtxfXX),(),(為隨機過程)(tX的一維概率密度函數(shù)。

留神：在此定義中，首先固定了時間t，這樣就得到了t時刻的隨機變量)(tX（t可以是任意時刻），這種分析方法后面經(jīng)常用到。鮮明，隨機過程的一維概率密度是時間t的函數(shù)，其性質(zhì)與一維隨機變量的性質(zhì)一樣。

22、二維概率分布

隨機過程的二維概率分布反映了隨機過程X(t)任意兩個時刻狀態(tài)

之間的聯(lián)系。通過求邊沿分布可以分別求出兩個一維邊沿分布),(11txfX和),(22txfX。

33、、nn維概率分布

同理，它具有多維隨機變量的性質(zhì)。

1.1.4隨機過程的數(shù)字特征

隨機變量的數(shù)字特征通常是確定值；隨機過程的數(shù)字特征通常是確定性函數(shù)，因此，對隨機過程的數(shù)字特征可以采用"信號與系統(tǒng)'中學習的各種對確定性信號的處理方法。

對隨機過程的數(shù)字特征的計算方法，是先把時間t固定，然后用隨機變量的分析方法來計算（這時隨機過程可以理解為：

)(tX為隨機變量（t為任意時刻）

11、數(shù)學期望

圖1.2隨機過程)(tX的數(shù)學期望物理意義：假設隨機過程)(tX表示接收機的輸出電壓，那么它的數(shù)學期望就是輸出電壓的瞬時統(tǒng)計平均值。

22、、均方值和方差

定義：隨機過程)(tX在任一時刻t的取值是一個隨機變量)(tX。我們把)(tX二階原點矩稱為隨機過程的均方值，把二階中心矩記作隨機過程的方差。即：

留神：

)]([2tXE和)]([tXD都是確定性函數(shù)，)]([tXD描述了隨機過程偏離其數(shù)學期望的程度。對比方差與均方值的關系，鮮明有：

物理意義：假設)(tX表示噪聲電壓，那么均方值)]([2tXE和方差)]([tXD分別表示消耗在單位電阻上的瞬時功率統(tǒng)計平均值和瞬時交流功率統(tǒng)計平均值。

標準差或均方差：

)()]([ttXDX＝

33、、自相關函數(shù)

先對比具有一致數(shù)學期望和方差的兩個隨機過程。

圖1.3

具有一致數(shù)學期望和方差的兩個不同的隨機過程

定義：自相關函數(shù)用來描述隨機過程任意兩個時刻的狀態(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通常用),(21ttRX描述。

當t1=t2時，自相關函數(shù)就是均方值。

a)自協(xié)方差函數(shù)若用隨機過程的兩個不同時刻之間的二階混合中心矩來定義相關函數(shù)，我們稱之為自協(xié)方差。用),(21ttKX表示，它反映了任意兩個時刻的起伏值之間相關程度。

＝21211)]2()][([dxdxtmxtmxXX－－b)對比自協(xié)方差和自相關函數(shù)的關系

c)對比自協(xié)方差和方差的關系

4、隨機過程的特征函數(shù)a)一維特征函數(shù)隨機過程)(tX在任一特定時刻t的取值)(tX是一維隨機變量，其特征函數(shù)為:dxtxfeeEtuCXjuxtjuXX);()();()(

其反變換為：

duetuCtxfjuxXX);(21);(

這里，);(txfX為隨機過程)(tX的一維概率密度。

b)二維特征函數(shù)

c)n維特征函數(shù)

1.2時間連續(xù)隨機過程微分和積分

隨機過程的微分和積分運算類似于一般的函數(shù)的微積分運算，但

由于涉及極限和收斂問題，因而略有不同。

11.2.1隨機過程的連續(xù)型1、預備學識：對于確定性函數(shù))(xf，若0)]()([lim00xfxxfx，那么)(xf在0x處連續(xù)。

2、隨機過程)(tX連續(xù)性定義

3、隨機過程)(tX的相關函數(shù)連續(xù)，那么)(tX連續(xù)

4、隨機過程)(tX均方連續(xù)，那么其數(shù)學期望連續(xù)

由均方連續(xù)的定義，0t，那么不等式左端趨于0，那么不等式的右端也必趨于0（均值的平方不成能小于0）。

即：0)]([)]([)]()([tXEttXEtXttXE

留神)]([tXE為確定性函數(shù)，由預備學識，可知)]([tXE連續(xù)。

1.2.2

隨機過程的導數(shù)預備學識：對于一般確定性函數(shù)，高等數(shù)學給出的可導定義如下：

一階可導：假設ttfttft)()(lim0存在，那么)(tf在t處可導，記為)(tf。

二階可導：hktsfktsfthsfkthsfkh),(),(),(),(lim00存在，那么),(tsf二階可導，記為tstsf),(21、隨機過程可導的定義

2、判別方法由于上面的)(tX是未知的，判斷一個隨機過程是否均方可微的方法是采用柯西準那么。即下面式子成立，那么隨機過程均方可微（書上證明中t的下標有錯）。

0]))()()()([(lim2222211110,21ttXttXttXttXEtt

證明：

]))()()()([(222221111ttXttXttXttXE)],(),(),(),([1)],(),(),(),([1)],(),(),(),([1221211212211212222222222222211111111111121tttRtttRttRttttRtttttRtttRttRttttRttttRtttRttRttttRtXXXXXXXXXXXX＋＋＋留神上式右端已經(jīng)不含有隨機變量，由預備學識中確實定性函數(shù)可導定義，

]))()()()([(lim2222211110,21ttXttXttXttXEtt

3、數(shù)字特征（1）

隨機過程導數(shù)的數(shù)學期望等于其數(shù)學期望的導數(shù)

證明：

])()(lim[])([0ttXttXEdttdXEt

交換極限和數(shù)學期望依次，得

＝ttmttmttXttXEXXtt)()(lim])()([lim00由確定性函數(shù)可導定義得

＝dttdmtmXX)()(

（2）

隨機過程導數(shù)的相關函數(shù)等于可微隨機過程的相關函數(shù)的混合偏導數(shù)

即：2121221),()]()([ttttRtXtXEX

證明：

])()(.)()(lim[)]()([22221111002121ttXttXttXttXEtXtXEtt

＝])()(.)()([lim222211110021ttXttXttXttXEtt＝2121211221221100),(),(),(),(lim21ttttRtttRtttRttttRXXXXtt＝21212),(ttttRX（由確定性函數(shù)二階可導定義）

1.2.3隨機過程的積分11、預備學識

對于確定性函數(shù))(xf，baniiixfdxxf10)(lim)(，其中，1iiixxx，nixi,,2,1,max

22、、隨機過程積分的定義

若

過程。

33、、隨機過程積分的數(shù)學期望等于隨機過程數(shù)學期望的積分。

即：

（留神Y為隨機變量）

a)隨機過程積分的均方值和方差隨機過程積分的均方值等于隨機過程自相關函數(shù)的二重積分；其方差為隨機過程協(xié)方差的二重積分。

過程的積分的平方可以寫成二重定積分的形式：

b)隨機過程積分的相關函數(shù)：等于對隨機過程的相關函數(shù)作兩次變上限積分（現(xiàn)對t1,后對t2積分）

留神，此處定義的積分是變上限的，與前面的不同，因此)(),(21tYtY是隨機過程。

1.3平穩(wěn)隨

機過程和遍歷性過程

在通信中，往往把穩(wěn)定狀態(tài)下的隨機過程，當作平穩(wěn)隨機過程來處理，這樣，對這個隨機過程任何時候來測量，都會得到同樣的結(jié)果，從而大大簡化了數(shù)學模型。對一些非平穩(wěn)的隨機過程，在較短的時間內(nèi)，往往把它作為平穩(wěn)隨機過程來處理。

然而，對于一個平穩(wěn)過程，計算其一階和二階統(tǒng)計特性是很困難的，而計算其確定時間內(nèi)的算術平均值相對輕易。假設其統(tǒng)計特性與算術平均特性在概率意義下相等，我們稱之為遍歷性，也叫各態(tài)歷經(jīng)性。

11.3.1平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程可以分為嚴平穩(wěn)隨機過程和寬平穩(wěn)隨機過程兩種。

1、嚴平穩(wěn)隨機過程（俠義平穩(wěn)過程）

（11）定義

設有隨機過程)(tX，若它的n

（22）特點

（33）嚴平穩(wěn)隨機過程的數(shù)字特征

因為：)()0,(),(),(1111111xfxftxftxfXXtXX令

與時間無關。

解：

由嚴平穩(wěn)定義，對二維概率密度，

（44）嚴平穩(wěn)的判斷

按照嚴平穩(wěn)的定義，判斷一個隨機過程是否為嚴平穩(wěn)，需要知道其n維概率密度，可是求n維概率密度是對比困難的。不過，假設有一個反例，就可以判斷某隨機過程不是嚴平穩(wěn)的，概括方法有兩個：

i.若)(tX為嚴平穩(wěn)，k為任意正整數(shù)，那么)]([tXEk與時間t無關。

ii.若)(tX為嚴平穩(wěn)，那么對于任一時刻t0，)(0tX具有一致的統(tǒng)計特性。

用隨機過程)(tX的3階矩與t有關來判斷)(tX不是嚴平穩(wěn)，此時也可采用方法是：

分別令t=0，t=02，帶入tBtAtX00sincos)(，得兩個隨機變量A和B，由于它們的概率密度不同，一般來說)2()()(kBEAEkk（例題假設兩者均值和方差相等），因此)(tX不是嚴平穩(wěn)的。

2、寬平穩(wěn)隨機過程（廣義平穩(wěn)過程，平穩(wěn)過程）

由求n維概率密度對比困難，有時只用到一、二階矩，例如功率（均方值和方差）和功率譜密度（自相關函數(shù)），因此，平穩(wěn)性的定義不需要那么嚴格。

嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關系：嚴平穩(wěn)過程的均方值有界，那么此過程為寬平穩(wěn)的，反之不成立。對于正態(tài)過程，嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價。

由寬平穩(wěn)的三個條件可知，此為（寬）平穩(wěn)過程。

33、平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)

性質(zhì)1：

―――――指平穩(wěn)隨機過程的平均功率。

性質(zhì)2：

，――平穩(wěn)過程的自相關函數(shù)（協(xié)方差）為偶函數(shù)。

性質(zhì)3：

，――平穩(wěn)過程的自相關函數(shù)（協(xié)方差）在0＝時有最大值。

性質(zhì)4：

對周期性平穩(wěn)過程，X(t)=X(t+T)，T為周期，有)()(TRR。

性質(zhì)5：若平穩(wěn)過程)(tX含有一個周期分量，那么)(XR含有同一個周期分量。（證略）

性質(zhì)6：若平穩(wěn)隨機過程)(tX不含有任何周期分量，那么，

性質(zhì)7：若平穩(wěn)過程含有平均分量（均值）Xm，那么相關函數(shù)也含有平均分量，且等于2Xm。即2)()(XXXmKR；若)(tX是非周期的，那么)()0(2XXXRR。

性質(zhì)8：平穩(wěn)隨機過程務必得志－0)(deRjX對全體均成立。

―――自相關函數(shù)的付氏變換非負，這要求相關函數(shù)連續(xù)（平頂，垂直邊均是非連續(xù)）。相關函數(shù)（協(xié)方差）的典型曲線如下：

圖1.4相關函數(shù)的典型曲線性質(zhì)9：平穩(wěn)過程的相關系數(shù)和相關時間a)相關系數(shù)：

定義：

稱為隨機過程

X(t)的相關系數(shù)。鮮明，此值在[－1，1]之間。

0)(Xr表示不相關，1)(Xr表示完全相關。

0)(Xr表示正相關，說明兩個不同時刻起伏值（隨機變量－均值）之間符號一致可能性大。

b)相關時間定義：當相關系數(shù)中的時間間隔大于某個值，可以認為兩個不同時刻起伏值不相關了，這個時間就稱為相關時間。

通常把相關系數(shù)的十足值小于0.05的時間間隔，記做相關時間，即：

05.0)(0Xr時的時間間隔0為相關時間。

圖1.5相關時間0（或0）的定義相關時間的物理意義：

(01Xm)

21.3.2遍歷性或各態(tài)歷經(jīng)性隨機過程時一族樣本函數(shù)的集合，因此，要得到隨機過程的統(tǒng)計特性，就需要對大量的樣本函數(shù)舉行統(tǒng)計平均或綜合平均，很不便當。由于平穩(wěn)隨機過程與時間起點無關，對一個樣本函數(shù)舉行時間平均是否能得到概率意義下的統(tǒng)計平均呢？答案是斷定的―――這樣的隨機過程稱為遍歷過程或各態(tài)歷經(jīng)過程。這樣，由任一樣本函數(shù)就可以得到隨機過程的統(tǒng)計特性。

1、遍歷性過程的定義a）

其中：

22、、遍歷過程的實際應用

一般隨機過程的時間平均是隨機變量，但遍歷過程的時間平均為確定量，因此可用任一樣本函數(shù)的時間平均代替整個過程的統(tǒng)計平均，在實際工作中，時間T不成能無限長，只要足夠長即可。

遍歷過程的物理意義：

若遍歷過程代表是噪聲電壓，那么均值就是它的直流分量，令0＝，那么有：

鮮明，)0(XR代表電壓消耗在單位阻抗上的總平均功率。而

代表電壓消耗在單位阻抗上的交流平均功率，標準差X代表電壓的有效值。

a)遍歷過程和平穩(wěn)過程的關系遍歷過程務必是平穩(wěn)的，而平穩(wěn)過程不確定是遍歷的。（遍歷必定平穩(wěn)由遍歷定義即可知）

解：先證明平穩(wěn)性

，再證明不是遍歷過程。

b)遍歷過程的兩個判別定理（?。┚当闅v判別定理

證明：對一般平穩(wěn)隨機過程（不確定遍歷）來說，)(tX（即)(tX）是一個隨機變量，它有均值和方差。

XTTTTTTmdttXETdttXTEtXE)]([21lim)(21lim[])([（留神)(tX為平穩(wěn)過程）

222])([(]))(([])([XXmtXEmtXEtXD

＝22211])(21)(21[limXTTTTTmdttXTdttXTE

交換積分和數(shù)學期望依次

＝TTTTXTdtdtmtXtXET212212)]()([41lim

＝TTTTXTdtdtttKT21122)(41lim

設12tt，12ttu，那么22ut，21ut

所以：2121212121),(),(21uttJt1t2-TT2T2Tu-2TTu2Tu2Tu2Tu2那么})(2141{lim])([22222duKdTtXDXTTTTT

dKTTXTTT)()2(41lim222

＝dmRTTXXTTT))()(21(21lim222

（留神)()(RR）

＝dmRTTXXTT))()(21(1lim220

（1）

由于D[X]=0的充要條件是1}{CXP，（方差性質(zhì)）

所以

0])([tXD的充要條件是

1})({XmtXP，即均值遍歷。

帶入（1）式，dmRTTXXTT))()(21(1lim220＝0的充要條件為X(t)的均值遍歷。

（ⅱ）自相關函數(shù)遍歷判別定理

平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關函數(shù))(XR具有遍歷性的充要條件是：

（由均值遍歷的充要條件引申證明：令)(XXRm）

，

留神：判斷一個平穩(wěn)過程是否遍歷的，我們總是先假設其是遍歷的，然后看是否得志定義要求（即時間平均以概率1等于統(tǒng)計平均），一般不用兩個判別定理。

判斷此隨機過程的遍歷性。

解：已經(jīng)計算出均值為0，相關函數(shù)02cos2)(aRX，現(xiàn)在計算時間平均：

鮮明：

所以，X(t)具有遍歷性。

41.4聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程

前面議論了單個隨機過程的統(tǒng)計特性，在實際工作中，往往需要議論兩個或兩個以上隨機過程的處境，例如接收機的輸入為"信號＋噪聲'。

11.4.1兩個隨機過程的聯(lián)合概率分布1、分布函數(shù)

2、二維嚴平穩(wěn)

3、定義(留神兩個隨機過程的依次不能互換)

4、正交

5、不相關

推論：(1)假設兩個隨機過程相互獨立，且他們的二階矩都存在，那么必互不相關。

(2)正態(tài)過程的不相關與相互獨立等價。

6、聯(lián)合寬平穩(wěn)兩個隨機過程)()(tYtX和，假設：

（1）

)()(tYtX和分別寬平穩(wěn)

（2）彼此關函數(shù)僅為時間差的函數(shù)，與時間t無關，即

7、聯(lián)合寬平穩(wěn)的性質(zhì)

證明：按定義即可證明，說明彼此關函數(shù)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)。

圖1.6彼此關函數(shù)的影像關系

證明：由于

0]))()([(2tXtYE，為任意實數(shù)

開展得：

0)0()(2)0(2YXYXRRR，這是關于的二階方程，留神0)0(XR，要使上式恒成立，即方程無解或只有同根，那么方程的系數(shù)理應得志042ACB，所以有：

0)0()0(4))(2(2YXXYRRR

所以

)0()0()(2YXXYRRR，同理，)0()0()(2YXXYKKK

證明：由性質(zhì)（2），得)0()0()(2YXXYRRR

留神到0)0(XR，0)0(YR，因此)]0()0([21)0()0()(YXYXXYRRRRR

（任何正數(shù)的幾何平均小于算術平均）

（5）

遍歷性

（6）線性性

雖然已知X(t)和Y(t)分別平穩(wěn)，但彼此關函數(shù)與t有關，所以不是聯(lián)合平穩(wěn)的。

同樣，彼此關函數(shù)與t有關，所以不是聯(lián)合平穩(wěn)的。

1.5復隨機過程

前面我們分析了實隨機過程，在現(xiàn)實世界上我們遇到的都是實隨機過程，但在某些處境下，用復隨機過程來分析問題較為便當。復隨機過程的統(tǒng)計特性的分析與實隨機過程類似。

11.5.1復隨機變量1、定義

2、分布函數(shù)),(],[)(yxFyYxXPzFXYZ，即由X,Y的聯(lián)合概率分布描述。

3、數(shù)學期望

4、方差

]))([(][][2ZZZmZmZEmZEZD

][][])()[(22YDXDmYmXEYX

這里||表示取模（與實過程不同），為復隨機過程與它的復共軛相乘，"*'表示復共軛，鮮明，復隨機過程的方差是非負實數(shù)，且等于實部和虛部的方差和。

5、獨立與相關

這里：

21.5.2復隨機過程

1、概率密度函數(shù)復隨機過程Z(t)的統(tǒng)計特性由X(t)和Y(t)的2n維聯(lián)合概率分布描述，其概率密度為：

2、均值

3、方差]))()())(()([(])()([)(2tmtZtmtZEtmtZEtDZZZZ

)()(tDtDYX

4、相關函數(shù)

自協(xié)方差為：

5、平穩(wěn)性

6、彼此關函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)

7、聯(lián)合平穩(wěn)

8、相關和正交

小結(jié)：求復隨機過程的數(shù)字特征時要留神，其均值為復數(shù)，方差等二階矩為非負實數(shù)，因此，求其二階矩時（包括方差，相關函數(shù)和協(xié)方差）采用一個復隨機過程與其共軛相乘，再求數(shù)學期望

的方法，其它性質(zhì)和特性與實隨機過程類似。

1.6離散時間隨機過程

離散時間隨機過程的公式概念好多，但均可以從連續(xù)隨機過程類推出來，一般不要死記公式。

離散時間隨機過程的定義前面談到過隨機過程的分類，隨機過程可以分為連續(xù)型隨機過程、離散型隨機過程、連續(xù)隨機序列和離散隨機序列四種，其中，后兩種統(tǒng)稱為離散時間隨機過程，它們是對連續(xù)隨機過程以等間隔時間采樣得到的，即采樣時間是離散的。

11.6.1離散時間隨機過程的概率分布離散時間的隨機過程的概率分布用隨機變量序列的概率分布來描述。

1、一維處境

2、二維處境

3、n維處境

4、相互獨立

5、嚴平穩(wěn)

推論：

（1）

平穩(wěn)離散隨機過程的一維概率密度與時間無關，即)();(nXnXxFnxF

（2）

平穩(wěn)離散隨機過程的二維分布函數(shù)與時間差有關，即

6、聯(lián)合分布

●定義

●統(tǒng)計獨立

●嚴平穩(wěn)

1.6.2

數(shù)字特征1．均值

●若(.)g為單值函數(shù)，那么dxnxfxgXgEXn);()()]([

●均值的性質(zhì)：

2．線性獨立和統(tǒng)計獨立若，

若，線性獨立的含義是隨機序列Xn和Ym中的任意兩個隨機變量都互不相關。

推論：統(tǒng)計獨立確定線性獨立，反之不確定。

3．均方值和方差

鮮明有：

4．自相關函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)

，也可寫成

5．彼此關函數(shù)和互協(xié)方差彼此關函數(shù)描述兩個不同的隨機過程之間憑借性的一個量度，即

6．平穩(wěn)性●若離散時間隨機過程平穩(wěn)，那么其均值、均方值和方差與n無關，為常數(shù)，即：

●若離散時間隨機過程平穩(wěn)，那么自相關函數(shù)和協(xié)方差只與時間差有關，即

2)()(XXXmmRmK

●判別平穩(wěn)性（寬平穩(wěn)）的方法

7．聯(lián)合平穩(wěn)（前提是兩個隨機過程各自平穩(wěn)）

1.6.3

遍歷性11、遍歷性的定義

●嚴遍歷：

●寬遍歷：

設)(nX是一個平穩(wěn)隨機序列，若

含義：對于遍歷序列，其時間均值和時間自相關（m固定）均為確定量（非隨機量），幾乎全體可能的取樣序列的時間平均量都是一致的，因此，遍歷序列的時間平均可以用任一序列的時間平均來表示，也即可以用遍歷序列的任一取樣序列的時間平均代替對整個序列求統(tǒng)計平均。

對隨機序列的遍歷性的判斷，先假設其遍歷，看其時間平均是否幾乎四處等于統(tǒng)計平均即可。

所以有：（下面的)(nx表示任意一個樣本序列）

實際上一般不求極限，工程上使用它們的估計量，只要N足夠大即可：

11計算機仿真

采用的仿真工具一般為MATLAB語言。在通信中往往需要計算接收機接收端輸入的信噪比（信號功率/噪聲功率）。假設隨機序列是遍歷的，只要對計算機模擬產(chǎn)生的任意一條信號和噪聲的樣本序列中每個樣點值的平方求時間平均，就可以分別得到信號和噪聲的平均功率（估計的統(tǒng)計值），從而求出信噪比。

22平穩(wěn)離散隨機過程相關函數(shù)的性質(zhì)

平穩(wěn)離散隨機過程相關函數(shù)的性質(zhì)與連續(xù)平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)類似，此處只給出相應的結(jié)論。

性質(zhì)77．相關系數(shù)

鮮明，1)0(Xr，1)(mrX；同理，彼此關系數(shù)為：

1.7正態(tài)隨機過程

正態(tài)分布的隨機過程（也叫高斯過程）是實際工作中最常遇到的隨機過程，中心極限定理報告我們，大量獨立的、微小的隨機變量的和近似按照正態(tài)分布。通信信道中的熱噪聲和干擾，多按照正態(tài)分布。后面我們將談到，一個寬帶信號通過一個窄帶濾波器后，按照正態(tài)分布，而通信中廣泛應用濾波器來濾出有用信號帶外的噪聲。因此，研究正態(tài)隨機過程特別必要。

11.7.1正態(tài)隨機過程的一般概念隨機過程可以看成一族樣本函數(shù)的集合，也可看成一族隨機變量

的集合，這些隨機變量可記為：

，也

1、正態(tài)隨機過程的定義假設隨機過程X(t)的任意n維概率分布都是正態(tài)分布，那么稱它為正態(tài)隨機過程或高斯隨機過程，簡稱正態(tài)過程或高斯過程。

2、概率密度函數(shù)正態(tài)隨機過程的概率密度函數(shù)即n維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)，即

其中，kikiXikttKr),(

，（留神下面的上畫線表示均值，即im）

性質(zhì)1：正態(tài)隨機過程的概率密度函數(shù)由它的一、二階矩（均值、方差和相關系數(shù)完全抉擇）。

推論：若復正態(tài)隨機過程Z(t)的n個采樣時刻得到n個復隨機變量，即

21.7.2平穩(wěn)正態(tài)隨機過程1、平穩(wěn)正態(tài)隨機過程的定義若正態(tài)隨機過程得志以下條件，那么它是寬平穩(wěn)（平穩(wěn)）正態(tài)隨機過程。

理解：由平穩(wěn)隨機過程的三大條件（均值為常數(shù)，相關函數(shù)只與時間差有關，均方值有界）可知，那么)0()]([2XRtXE為確定值，而方差＝2)0(XXmR必為常數(shù)，顯然，方差為常數(shù)那么222)]([XXmtXE也為常數(shù)，物理意義是總平均功率等于交

流平均功率與直流平均功率之和。

2、平穩(wěn)正態(tài)過程的n維概率密度根據(jù)前面論述，正態(tài)隨機過程的n維概率密度由它的一、二階矩完全確定，其表達式見2.7.1式。對于平穩(wěn)正態(tài)隨機過程，其概率密度表達式可以簡化。

平穩(wěn)正態(tài)過程一、二維概率密度表達式如下：

平穩(wěn)正態(tài)過程n維概率密度表達式如下：

回想：逆矩陣的求法：，設有一矩陣A，那么

3、平穩(wěn)正態(tài)過程的n維特征函數(shù)

一維和二維特征函數(shù)：

31.7.3正態(tài)隨機過程的性質(zhì)性質(zhì)2：正態(tài)過程的嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價證明：由于嚴平穩(wěn)正態(tài)過程的均方值有界，嚴平穩(wěn)正態(tài)過程確定是寬平穩(wěn)的。現(xiàn)在證明寬平穩(wěn)正態(tài)過程也是嚴平穩(wěn)的。

那么其一維概率密度：

也與時間t無關。對二維概率密度

現(xiàn)在看n維概率密度，即

它由均值，方差和相關系數(shù)唯一確定，而均值和方差是常數(shù)，相關系數(shù)22)()(XikkiikikmRKr只與時間差有關，因

此n維概率密度函數(shù)與時間起點無關，由嚴平穩(wěn)定義，可知寬平穩(wěn)正態(tài)隨機過程是嚴平穩(wěn)的。

因此，正態(tài)過程的嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價。

性質(zhì)3：正態(tài)過程的不相關與相互獨立等價，即

證明：（1）假設Xn（n＝1，2，.）兩兩之間相互獨立，那么kimXEmXEmXmXEttKkkiikkiikiX0)][()][()])([(),(

所以，兩兩互不相關。

（2）假設Xn（n＝1，2，.）兩兩之間互不相關，由式，

＝kikii20所以，2210...0...nK

那么2210...0...1－－－nK，22221nK，帶入式得：

即兩兩相互獨立。

性質(zhì)4：平穩(wěn)正態(tài)過程與確定信號之和仍為正態(tài)分布，但不確定平穩(wěn)。

證明：設X(t)為平穩(wěn)正態(tài)過程，S(t)為確定性信號，Y(t)=X(t)+s(t),那么，對于任意時刻t，Y(t)=X(t)+s(t)為隨機變量，這時，s(t)具有確定值，由隨機變量函數(shù)的概率密度求法，的Y(t)的一維概率密度函數(shù)為：

));(());(();(ttsyfdxdyttsyftyfXXY，即在)(txfX；的表達式變量變換即可（s(t)可以理解為確定值（當t固定）），由于為正態(tài)分布，所以)(tyfY；鮮明是正態(tài)分布。

對于隨機變量Y(t1)，Y(t2)二維概率密度，用二維隨機變量函數(shù)的概率密度求法，由于雅可比行列式的值為1，所以：

為正態(tài)過程。

同理，可證明合成信號的n維概率密度也是正態(tài)過程。

而：

)()]()([)]([tsmtstXEtYEX與t有關，不是常數(shù)，所以不是平穩(wěn)的。

推論：正態(tài)過程的線性變換仍為正態(tài)分布。

性質(zhì)5和性質(zhì)6：

證明略。

性質(zhì)7:正態(tài)隨機過程通過線性系統(tǒng)后的輸出仍為正態(tài)過程。

推論：正態(tài)過程的線性變換仍為正態(tài)過程。

解：可得（2）

1.8馬爾可夫過程

馬爾可夫過程是由前蘇聯(lián)數(shù)學家A.A.Markov首先提出和研究的一類隨機過程，現(xiàn)在已經(jīng)成為內(nèi)容豐富、理論完善、應用廣泛的一門數(shù)學分支，應用領域包括計算機、通信、自動操縱、隨機服務、穩(wěn)當性、生物學、經(jīng)濟、管理、教導、氣象、物理、化學等等。

馬爾可夫過程按時間和狀態(tài)是否連續(xù)可分為四類（同一般隨機過程分類）。生活中，我們所查看到的大量物理過程可以近似看成馬爾可夫過程。這里我們只研究狀態(tài)和時間參數(shù)都離散的馬爾可夫過程――馬爾可夫鏈，且狀態(tài)數(shù)是可列或可數(shù)的。

馬爾可夫過程具有如下特性：當隨機過程在時刻it所處的狀態(tài)為已知的條件下，過程在itt時刻所處的狀態(tài)，與過程在it時刻以前所處狀態(tài)無關，而僅與過程在it時刻的狀態(tài)有關。這個特性稱為隨機過程的無后效性或馬爾可夫性。

例如生物基因遺傳從這一代到下一代的轉(zhuǎn)移中僅憑借與這一代而與以往各代無關。

11.8.1馬爾可夫鏈的定義定義：假定隨機過程X(t)在每一個時刻nt(n=1,2,,..)的采樣為

)(nntXX，nX可能取的狀態(tài)為Naaa,...,2,1中任意一個，而且過程X(t)在kmt時刻變成任一狀態(tài)),...,2,1(Niakmi的概率，只與過程在mt時刻的狀態(tài)有關，而與過程在mt時刻以前的狀態(tài)無關。

1111,...,,iimimikmaXaXaXaXPmmkm＝mkmimikmaXaXP那么稱此隨機序列nX為馬爾可夫鏈，簡稱馬氏鏈。

1.8.2

馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率及其矩陣1．馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率),(kmmPij：在mt時刻展現(xiàn)imaX的條件下，kmt時刻出現(xiàn)jkmaX的條件概率。

即

),(kmmPij＝imjkmaXaXP。式中Nji,...3,2,1,；m，k皆為正整數(shù)。

齊次馬氏鏈：

),(kmmPij與m無關。這里只議論齊次馬氏鏈。

2．一步轉(zhuǎn)移概率及其矩陣一步轉(zhuǎn)移概率：若),(kmmPij中k＝1，簡記為ijP，即：

ijP＝)1,(mmPij＝imjmaXaXP1表示馬氏鏈由狀態(tài)ia經(jīng)過一次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)ja的轉(zhuǎn)移概率，即一步轉(zhuǎn)移概率。

轉(zhuǎn)移概率矩陣：

練習題

1-1兩班半隨機二進過程定義為

()XtA或-A,(n－1)TtnT0,1,2,n

其中值A與-A等概率展現(xiàn)，T為一正常數(shù)，0,1,2,n

（1）畫出典型的樣本函數(shù)圖形；（2）將此過程規(guī)類；（3）該過程是確定性過程么？

1－2離散隨機過程的樣本函數(shù)皆為常數(shù)，即(){}(0,)!ktktPKkPtek()XtC可變常數(shù)，式中C為一隨即變量，其可能值為11,2233ccc及，且他們分別以概率0.6，0.3及0.1展現(xiàn)。（1）X（t）是確定過程么？（2）求：在任意時刻t，X(t)的一維概率密度。

1－3設隨機過程X(t)=Vt，其中V是在（0，1）是平勻分布的隨機變量，求過程X（t）的均值和自相關函數(shù)。

1－4設隨機過程2X(t)=At+Bt，式中A,B為兩個互不相關的隨機變量，且有E[A]=4,E[B]=7,D[A]=0.1,D[B]=2.求過程X（t）的均值，相關函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)和方差。

1－5程X(t)的數(shù)學期望2E[X(t)]=t+4。求另一隨機過程2Y(t)=tX(t)+t的數(shù)學期望。

1－6信號X(t)=Vcos3t，其中V是均值為1，方差為1的隨機變量。設新的隨機信號

t01Y(t)=

X()dt

求Y（t）的均值，相關函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)和方差。

1－7個隨機過程X(t),Y(t)都是非平穩(wěn)過程()()cosXtAtt

,Y(t)=B(t)sint其中()At，B(t)為相互獨立，各自平穩(wěn)的隨機過程，且他們的均值均為0，自相關函數(shù)相等。試證明這兩個過程之和()()ZtXtY(t)是寬平穩(wěn)的。

1－8設隨機信號0()sin()Xtat，式中a,0均為正的常數(shù)；為正態(tài)隨機變量，其概率密度為

2/21()2fe

試議論X(t)的平穩(wěn)行。

1－9已知隨機過程00()cosXtAt+Bsint

，式中0為常數(shù)；而A與B是具有不同概率密度，但有一致方差2，均值為零的不相關的隨機變量。證明X(t)是寬平穩(wěn)而不是嚴平穩(wěn)的隨機過程。

1－10

已知兩個隨機過程

()cossin,()cossinXtAtBtYtBtAt

其中A，B是均值為0，方差為5的不相關的兩個隨機變量，試證過程X（t）、Y（t）各自平穩(wěn)，而且是聯(lián)合平穩(wěn)的；并求出他們的彼此關系數(shù)。

1－11

設隨機信號()cos()Xtat，其中a可以是、也可以不是隨機變量，是在（0，2）上平勻分布的隨機變量；并且

a為隨機變量時，它與統(tǒng)計獨立。求：（1）時間自相關函數(shù)

和集自相關函數(shù)；（2）a具備什么條件時兩種自相關函數(shù)相

等。

1－12

設隨即過程()cosXtAsint+Bt,其中A、B均為零均值的隨機變量。試證：X(t)是均值遍歷的，而方差無遍歷性。

1－13

設隨機過程()cos()XtAQt

,式中A、Q和為統(tǒng)計獨立的隨機變量；而且，A的均值為2、方差為4，在

（－，）上平勻分布，Q在（－5，5）上平勻分