高中數(shù)學(xué)北師大版2第一章統(tǒng)計(jì)案例 第1章23

第一章§2第1課時(shí)一、選擇題1．兩人打靶，甲擊中的概率為，乙擊中的概率為，若兩人同時(shí)射擊一目標(biāo)，則它們都中靶的概率是()A． B．0.48C． D．[答案]A[解析]設(shè)甲擊中為事件A，乙擊中為事件B．∵A、B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.2.如圖，A、B、C表示3種開關(guān)，若在某段時(shí)間內(nèi)它們正常工作的概率分別為、、，那么系統(tǒng)的可靠性是()A． B．C． D．[答案]B[解析]系統(tǒng)可靠即A、B、C3種開關(guān)至少有一個(gè)能正常工作，則P＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－(1－(1－(1－＝1－××＝.3．盒中有5個(gè)紅球、11個(gè)藍(lán)球、紅球中有2個(gè)玻璃球、3個(gè)塑料球、藍(lán)球中有4個(gè)玻璃球、7個(gè)塑料球，現(xiàn)從中任取一球，假設(shè)每個(gè)球被摸到的可能性相同，若已知取到的球是玻璃球，則它是藍(lán)球的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)[答案]B[解析]設(shè)摸到玻璃球?yàn)槭录嗀，摸到藍(lán)球?yàn)槭录﨎，則P(A)＝eq\f(6,16)，P(AB)＝eq\f(4,16)，∴所求概率P＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(4,16)×eq\f(16,6)＝eq\f(2,3).簡解：6個(gè)玻璃球中有4個(gè)藍(lán)球，故所求概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).4．某機(jī)械零件加工由兩道工序組成，第一道工序的廢品率為a，第二道工序的廢品率為b，假定這兩道工序出廢品是彼此無關(guān)的，那么產(chǎn)品的合格率是()A．a(chǎn)b－a－b＋1 B．1－a－bC．1－ab D．1－2ab[答案]A[解析]設(shè)第一道工序出現(xiàn)廢品為事件A，第二道工序出現(xiàn)廢品為事件B，則P(A)＝a，P(B)＝b，且A與B相互獨(dú)立．則產(chǎn)品合格率為P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－a)(1－b)＝1－a－b＋ab.5．甲袋中裝有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙袋中裝有2個(gè)白球，4個(gè)黑球，從甲、乙兩袋中各取一球均為白球的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(2,5)C．eq\f(2,15) D．eq\f(5,6)[答案]A[解析]記“從甲袋中任取一球?yàn)榘浊颉睘槭录嗀，“從乙袋中任取一球?yàn)榘浊颉睘槭录﨎，則事件A、B是相互獨(dú)立事件．P(A∩B)＝P(A)·P(B)＝eq\f(2,4)×eq\f(2,6)＝eq\f(1,6).6．甲口袋內(nèi)裝有大小相等的8個(gè)紅球和4個(gè)白球，乙口袋內(nèi)裝有大小相等的9個(gè)紅球和3個(gè)白球，從兩個(gè)口袋內(nèi)各摸出一球，那么eq\f(5,12)等于()A．2個(gè)球都是白球的概率B．2個(gè)球中恰好有1個(gè)是白球的概率C．2個(gè)球都不是白球的概率D．2個(gè)球不都是紅球的概率[答案]B[解析]兩個(gè)球都是白球的概率為eq\f(4,12)×eq\f(3,12)＝eq\f(1,12)；兩個(gè)球恰好有一個(gè)是白球的概率為eq\f(4,12)×eq\f(9,12)＋eq\f(8,12)×eq\f(3,12)＝eq\f(5,12).二、填空題7．?dāng)S兩枚均勻的骰子，已知點(diǎn)數(shù)不同，則至少有一個(gè)是6點(diǎn)的概率為____________.[答案]eq\f(1,3)[解析]設(shè)擲兩枚骰子點(diǎn)數(shù)不同記為事件A，至少有一個(gè)是6點(diǎn)記為事件B．則P(B|A)＝eq\f(2×5,30)＝eq\f(1,3).8．明天上午李明要參加奧運(yùn)志愿者活動(dòng)，為了準(zhǔn)時(shí)起床，他用甲、乙兩個(gè)鬧鐘叫醒自己，假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是，乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是，則兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率是________.[答案][解析]設(shè)A＝“兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響”，∴P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－(1－×(1－＝1－×＝.三、解答題9．在由12道選擇題和4道填空題組成的考題中，如果不放回地依次抽取2道題．求：(1)第一次抽到填空題的概率；(2)第一次和第二次都抽到填空題的概率；(3)在第一次抽到填空題的前提下，第二次抽到填空題的概率．[答案](1)eq\f(1,4)(2)eq\f(1,20)(3)eq\f(1,5)[解析]設(shè)第一次抽到填空題為事件A，第二次抽到填空題為事件B，則第一次和第二次都抽到填空題為事件AB．(1)P(A)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).(2)P(AB)＝eq\f(4×3,16×15)＝eq\f(1,20).(3)P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,20),\f(1,4))＝eq\f(1,5).10．集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙兩人各從A中任取一個(gè)數(shù)，若甲先取，乙后取，在甲抽到奇數(shù)的條件下，求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率．[答案]eq\f(3,5)[解析]將甲抽到數(shù)字a，乙抽到數(shù)字b，記作(a，b)，則所有可能的抽取結(jié)果為：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共30個(gè)．其中甲抽到奇數(shù)的情形有15個(gè)，在這15個(gè)中，乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的有9個(gè)，∴所求概率P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).解法2：設(shè)甲抽到奇數(shù)的事件為A，甲抽到奇數(shù)且乙抽到的數(shù)比甲大為事件B，則P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).P(AB)＝eq\f(5＋3＋1,6×5)＝eq\f(9,30)＝eq\f(3,10).∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,5).一、選擇題11．已知某產(chǎn)品的次品率為4%，其合格品中75%為一級(jí)品，則任選一件為一級(jí)品的概率為()A．75% B．96%C．72% D．%[答案]C[解析]記“任選一件產(chǎn)品是合格品”為事件A，則P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－4%＝96%.記“任選一件產(chǎn)品是一級(jí)品”為事件B．由于一級(jí)品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)．由合格品中75%為一級(jí)品知P(B|A)＝75%；故P(B)＝P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝96%×75%＝72%.12．從甲口袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率是eq\f(1,3)，從乙口袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率是eq\f(1,2)，從兩個(gè)口袋內(nèi)各摸出1個(gè)球，那么eq\f(5,6)等于()A．2個(gè)球都是白球的概率 B．2個(gè)球都不是白球的概率C．2個(gè)球不都是白球的概率 D．2個(gè)球中恰有1個(gè)是白球的概率[答案]C[解析]記從甲口袋內(nèi)摸出1個(gè)白球?yàn)槭录嗀，從乙口袋內(nèi)摸出1個(gè)白球?yàn)槭录﨎，則A，B是獨(dú)立事件，于是P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，它表示從甲、乙口袋中摸出來的都是白球，故eq\f(5,6)為2個(gè)球不都是白球的概率．13．如圖，已知電路中4個(gè)開關(guān)閉合的概率都是eq\f(1,2)且互相獨(dú)立，燈亮的概率為()A．eq\f(3,16) B．eq\f(3,4)C．eq\f(13,16) D．eq\f(1,4)[答案]C[解析]因?yàn)闊舨涣恋母怕蕿閑q\f(1,2)×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2))＝eq\f(3,16)，所以燈亮的概率為1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).二、填空題14．從一副不含大小王的52張撲克牌中不放回地抽取2次，每次抽1張，已知第1次抽到A，則第2次也抽到A的概率________.[答案]eq\f(1,17)[解析]設(shè)第1次抽到A為事件M，第2次也抽到A為事件N，則MN表示兩次都抽到A，P(M)＝eq\f(4,52)＝eq\f(1,13)，P(MN)＝eq\f(4×3,52×51)＝eq\f(1,13×17)，P(N|M)＝eq\f(PMN,PM)＝eq\f(1,17).15．一道數(shù)學(xué)競賽試題，甲生解出它的概率為eq\f(1,2)，乙生解出它的概率為eq\f(1,3)，丙生解出它的概率為eq\f(1,4)，由甲、乙、丙三人獨(dú)立解答此題只有一人解出的概率為________.[答案]eq\f(11,24)[解析]P＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24).三、解答題16．某班有兩個(gè)課外活動(dòng)小組，其中第一小組有足球票6張，排球票4張；第二小組有足球票4張，排球票6張．甲從第一小組的10張票中任抽1張，乙從第二小組的10張票中任抽1張．(1)兩人都抽到足球票的概率是多少？(2)兩人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？[答案](1)eq\f(6,25)(2)eq\f(19,25)[解析]記“甲從第一小組的10張票中任抽1張，抽到足球票”為事件A，“乙從第二小組的10張票中任抽1張，抽到足球票”為事件B，則“甲從第一小組的10張票中任抽1張，抽到排球票”為事件eq\x\to(A)，“乙從第二小組的10張票中任抽1張，抽到排球票”為事件eq\x\to(B)，于是P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,5)；P(B)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(3,5).由于甲(或乙)是否抽到排球票，對(duì)乙(或甲)是否抽到足球票沒有影響，因此A與B是相互獨(dú)立事件．(1)兩人都抽到足球票的概率為P＝P(A)·P(B)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(6,25).(2)兩人都抽到排球票的概率為P＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,25).故兩人至少有1人抽到足球票的概率為P＝1－eq\f(6,25)＝eq\f(19,25).17．一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假設(shè)生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)＝{一個(gè)家庭中有男孩，又有女孩}，B＝{一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}，對(duì)下述兩種情形，討論A與B的獨(dú)立性：(1)家庭中有兩個(gè)小孩；(2)家庭中有三個(gè)小孩．[答案](1)A、B不獨(dú)立(2)A、B相互獨(dú)立[解析](1)有兩個(gè)小孩的家庭，這時(shí)樣本空間為：Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，女)}，它有3個(gè)基本事件，由等可能性知概率各為eq\f(1,3)，這時(shí)A＝{(男，女)}，B＝{(男，男)，(男，女)}，AB＝{(男，女)}，于是P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(2,3)，P(AB)＝eq\f(1,3)，由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A、B不相互獨(dú)立．(2)有三個(gè)小孩的家庭，樣本空間為：Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，女)，(女，女，女)}，由等可能性知這4個(gè)基本事件的概率均為eq\f(1,4)，這時(shí)A中含有2個(gè)基本事件，B中含有2個(gè)基本事件，AB中含有1個(gè)基本事件，于是P(A)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,4).顯然有P(AB)＝eq\f(1,4)＝P(A)P(B)成立，從而事件A與B是相互獨(dú)立的．18．甲、乙兩個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出密碼的概率分別為eq\f(1,3)和eq\f(1,4)，求：(1)2個(gè)人都譯出密碼的概率；(2)2個(gè)人都譯不出密碼的概率；(3)恰有1個(gè)人譯出密碼的概率；(4)至多1個(gè)人譯出密碼的概率；(5)至少1個(gè)人譯出密碼的概率．[答案](1)eq\f(1,12)(2)eq\f(1,2)(3)eq\f(5,12)(4)eq\f(11,12)(5)eq\f(1,2)[分析]我們把“甲獨(dú)立地譯出密碼”記為事件A，把“乙獨(dú)立地譯出密碼”記為事件B，顯然，A、B為相互獨(dú)立事件，問題(1)相當(dāng)于事件A、B同時(shí)發(fā)生，即事件A·B．問題(2)相當(dāng)于事件eq\x\to(A)·eq\x\to(B).問題(3)相當(dāng)于事件A·eq\x\to(B)＋eq\x\to(A)·B．問題(4)“至多1個(gè)人譯出密碼”的對(duì)立事件是2個(gè)人都譯出密碼(即事件AB)．問題(5)“至少1個(gè)人譯出密碼”的對(duì)立事件是2個(gè)人都未譯出密碼(即事件eq\x\to(A)·eq\x\to(B))．由于A，B是獨(dú)立事件，上述問題中，eq\x\to(A)與B，A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)都是相互獨(dú)立事件，可以用公式計(jì)算相關(guān)概率．[解析]記“甲獨(dú)立地譯出密碼”為事件A，“乙獨(dú)立地譯出密碼”為事件B，A，B為相互獨(dú)立事件，P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4).(1)2個(gè)人都譯出密碼的概率為P(A·B)＝P(A)×P(B)＝eq\f(1,3)×eq