高中數(shù)學(xué)人教A版第二章數(shù)列數(shù)列的概念與簡單表示法 第二章2

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解數(shù)列的幾種表示方法，能從函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列.2.理解遞推公式的含義，能根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)．知識點(diǎn)一遞推公式思考1(1)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且有an＝3an－1＋2(n>1，n∈N*)，則a4＝________.(2)已知數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，且有an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，則a4＝________.答案(1)53(2)3梳理如果數(shù)列{an}的第1項(xiàng)或前幾項(xiàng)已知，并且數(shù)列{an}的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的遞推公式．遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法．思考2我們已經(jīng)知道通項(xiàng)公式和遞推公式都能表示數(shù)列，那么通項(xiàng)公式和遞推公式有什么不同呢？答案通項(xiàng)公式和遞推公式都是表示數(shù)列的方法．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以直接求出任意一項(xiàng)；已知遞推公式，要求某一項(xiàng)，則必須依次求出該項(xiàng)前面所有的項(xiàng)．知識點(diǎn)二數(shù)列的表示方法思考以數(shù)列2,4,6,8,10,12，…為例，你能用幾種方法表示這個數(shù)列？答案①通項(xiàng)公式法：an＝2n.②遞推公式法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＋1＝an＋2，n∈N*.))③列表法：n123…k…an246…2k…④圖象法：梳理數(shù)列的表示方法有通項(xiàng)公式法、圖象法、列表法、遞推公式法．類型一數(shù)列的函數(shù)特性例1圖中的三角形圖案稱為謝賓斯基三角形，在四個三角形圖案中，著色的小三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項(xiàng)，請寫出這個數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，并在直角坐標(biāo)系中畫出它的圖象．解如題圖，這四個三角形圖案中著色的小三角形的個數(shù)依次為1,3,9,27.則所求數(shù)列的前4項(xiàng)都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號減1.所以，這個數(shù)列的一個通項(xiàng)公式是an＝3n－1.在直角坐標(biāo)系中的圖象為一些孤立的點(diǎn)(如圖所示)．反思與感悟數(shù)列的通項(xiàng)公式不外乎把常見的函數(shù)式中的x換成n，且n∈N*，所以善于利用我們熟知的一些基本函數(shù)，通過合理的聯(lián)想、轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解決問題的目的．跟蹤訓(xùn)練1傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子來表示數(shù)．比如，他們將石子擺成如圖所示的三角形點(diǎn)陣，就將其所對應(yīng)石子的個數(shù)稱為三角形數(shù)，則第10個三角形數(shù)是________．答案55解析三角形數(shù)依次為1,3,6,10,15，…，第10個三角形數(shù)為1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.類型二數(shù)列的遞推公式命題角度1由遞推公式求前若干項(xiàng)例2設(shè)數(shù)列{an}滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,an＝1＋\f(1,an－1)n>1，n∈N*.))寫出這個數(shù)列的前5項(xiàng)．解由題意可知a1＝1，a2＝1＋eq\f(1,a1)＝2，a3＝1＋eq\f(1,a2)＝eq\f(3,2)，a4＝1＋eq\f(1,a3)＝eq\f(5,3)，a5＝1＋eq\f(1,a4)＝1＋eq\f(3,5)＝eq\f(8,5).引申探究數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，求a2016.解a2＝eq\f(1＋a1,1－a1)＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3，a3＝eq\f(1＋a2,1－a2)＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1＋a3,1－a3)＝eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，a5＝eq\f(1＋a4,1－a4)＝eq\f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2＝a1.故{an}是周期為4的數(shù)列．∴a2016＝a4×503＋4＝a4＝eq\f(1,3).反思與感悟遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)(或n項(xiàng))之間的關(guān)系．對于通項(xiàng)公式，已知n的值即可得到相應(yīng)的項(xiàng)；而遞推公式則要已知首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，才可依次求得其他的項(xiàng)．若項(xiàng)數(shù)很大，則應(yīng)考慮數(shù)列是否有規(guī)律性．跟蹤訓(xùn)練2在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，寫出此數(shù)列的前6項(xiàng)．解a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.命題角度2由遞推公式求通項(xiàng)例3(1)對于任意數(shù)列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．試根據(jù)這一結(jié)論，完成問題：已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通項(xiàng)an；(2)若數(shù)列{an}中各項(xiàng)均不為零，則有a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝an(n≥2，n∈N*)成立．試根據(jù)這一結(jié)論，完成問題：已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n)(n≥2，n∈N*)，求通項(xiàng)an.解(1)n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＝2(n－1)＋1＝2n－1.a1＝1也適合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n－1.(2)n≥2時，an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝1·eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·…·eq\f(n－1,n)＝eq\f(1,n).a1＝1也適合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝eq\f(1,n).反思與感悟形如an＋1－an＝f(n)的遞推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通項(xiàng)公式；形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的遞推公式，可以利用a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通項(xiàng)公式．跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，試寫出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}具有怎樣的規(guī)律？你能否求出該數(shù)列中的第2016項(xiàng)？解a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….發(fā)現(xiàn)：an＋6＝an，數(shù)列{an}具有周期性，周期T＝6，證明如下：∵an＋2＝an＋1－an，∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.∴數(shù)列{an}是周期數(shù)列，且T＝6.∴a2016＝a335×6＋6＝a6＝－1.1．?dāng)?shù)列1,3,6,10,15，…的遞推公式是()A．a(chǎn)n＋1＝an＋n，n∈N*B．a(chǎn)n＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．a(chǎn)n＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*D．a(chǎn)n＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2答案B解析由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，n∈N*，n≥2，故選B.2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，則此數(shù)列的通項(xiàng)an等于()A．n2＋1B．n＋1C．1－nD．3－n答案D解析∵an＋1－an＝－1.∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.3．用火柴棒按下圖的方法搭三角形：按圖示的規(guī)律搭下去，則所用火柴棒數(shù)an與所搭三角形的個數(shù)n之間的關(guān)系式可以是______________．答案an＝2n＋1，n∈N*解析a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1，n∈N*.1．{an}與an是不同的兩種表示，{an}表示數(shù)列a1，a2，…，an，…，是數(shù)列的一種簡記形式．而an只表示數(shù)列{an}的第n項(xiàng)，an與{an}是“個體”與“整體”的從屬關(guān)系．2．?dāng)?shù)列的表示方法：(1)圖象法；(2)列表法；(3)通項(xiàng)公式法；(4)遞推公式法．3．通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別：通項(xiàng)公式直接反映an和n之間的關(guān)系，即an是n的函數(shù)，知道任意一個具體的n值，就可以求出該項(xiàng)的值an；而遞推公式則是間接反映數(shù)列的式子，它是數(shù)列任意兩個(或多個)相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系，不能由n直接得出an.40分鐘課時作業(yè)一、選擇題1．已知an＋1－an－3＝0，則數(shù)列{an}是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．不能確定答案A解析an＋1－an＝3＞0，故數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．2．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝1，且滿足an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，則此數(shù)列的第4項(xiàng)是()A．1 \f(1,2)\f(3,4) \f(5,8)答案B解析a2＝eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,2)＝1；a3＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)；a4＝eq\f(1,2)a3＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,2).3．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，對所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5等于()\f(25,9) \f(25,16)\f(61,16) \f(31,15)答案C解析a1a2a3＝32，a1a2＝22，a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，則a3＝eq\f(32,22)＝eq\f(9,4)，a5＝eq\f(52,42)＝eq\f(25,16).故a3＋a5＝eq\f(61,16).4．已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N*)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝3n＋1 B．a(chǎn)n＝3nC．a(chǎn)n＝3n－2 D．a(chǎn)n＝3(n－1)答案C解析∵an＝an－1＋3，∴an－an－1＝3.∴a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式兩邊分別相加，得an－a1＝3(n－1)，∴an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2，故選C.5．若a1＝1，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)，則給出的數(shù)列{an}的第4項(xiàng)是()\f(1,16) \f(1,17)\f(1,10) \f(1,25)答案C解析a2＝eq\f(a1,3a1＋1)＝eq\f(1,3＋1)＝eq\f(1,4)，a3＝eq\f(a2,3a2＋1)＝eq\f(\f(1,4),\f(3,4)＋1)＝eq\f(1,7)，a4＝eq\f(a3,3a3＋1)＝eq\f(\f(1,7),\f(3,7)＋1)＝eq\f(1,10).6．已知數(shù)列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，則數(shù)列中最大項(xiàng)的值是()A．107 B．108C．108eq\f(1,8) D．109答案B解析由已知得an＝－2n2＋29n＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(29,4)))2＋108eq\f(1,8)，由于n∈N*，故當(dāng)n取距離eq\f(29,4)最近的正整數(shù)7時，an取得最大值108.∴數(shù)列{an}中的最大值為a7＝108.二、填空題7．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，0≤an<\f(1,2)，,2an－1，\f(1,2)≤an<1.))若a1＝eq\f(6,7)，則a2017＝________.答案eq\f(6,7)解析計(jì)算得a2＝eq\f(5,7)，a3＝eq\f(3,7)，a4＝eq\f(6,7)，故數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，又知2017除以3余1，所以a2017＝a1＝eq\f(6,7).8．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＋1，n為正奇數(shù)，,4n－1，n為正偶數(shù)，))則它的前4項(xiàng)依次為________．答案4,7,10,15解析a1＝3＋1＝4；a2＝4×2－1＝7；a3＝3×3＋1＝10；a4＝4×4－1＝15.9．已知數(shù)列{an}滿足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，則實(shí)數(shù)λ的最小值是________．答案－3解析an≤an＋1?n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)?λ≥－(2n＋1)，n∈N*?λ≥－3.10．根據(jù)下列5個圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個數(shù)的變化規(guī)律，可以得出第n個圖中有________個點(diǎn)．答案n2－n＋1解析圖(1)只有1個點(diǎn)，無分支；圖(2)除中間1個點(diǎn)外，有2個分支，每個分支有1個點(diǎn)；圖(3)除中間1個點(diǎn)外，有3個分支，每個分支有2個點(diǎn)；圖(4)除中間1個點(diǎn)外，有4個分支，每個分支有3個點(diǎn)；…猜想第n個圖中除中間一個點(diǎn)外，有n個分支，每個分支有(n－1)個點(diǎn)，故第n個圖中點(diǎn)的個數(shù)為1＋n(n－1)＝n2－n＋1.三、解答題11．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝eq\f(2,3)，eq\f(1,an－2)＋eq\f(1,an)＝eq\f(2,an－1)(n∈N*，n≥3)，求a3，a4.解由a1＝1，a2＝eq\f(2,3)且eq\f(1,an－2)＋eq\f(1,an)＝eq\f(2,an－1)，知當(dāng)n＝3時，eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a3)＝eq\f(2,a2)，∴eq\f(1,a3)＝eq\f(2,a2)－eq\f(1,a1)＝3－1＝2，∴a3＝eq\f(1,2).當(dāng)n＝4時，eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a4)＝eq\f(2,a3)，∴eq\f(1,a4)＝eq\f(2,a3)－eq\f(1,a2)＝4－eq\f(3,2)＝eq\f(5,2)，∴a4＝eq\f(2,5).12．根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前4項(xiàng)，并歸納猜想它的通項(xiàng)公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(