2021屆新高考數(shù)學(xué)多題一解篇03 輔助角公式(文理通用解析版)

22，22，屆多一輔角篇【識(shí)備新課標(biāo)人教A版修四第三章習(xí)題3.2B組第6題（1求函數(shù)

y3sinxcosx

的最大值與最小值；（2你能用a,b表示函數(shù)

yasinxx

的最大值和最小值嗎？解析：（）＋cos＝a2

＋b2

（

＋cos，＋＋2因

2

a

2

b

，故令φ

，sin＝2＋b2

＋則＋cos＝

＋b（sinxcos＋cosxsinφ

＋b（sin+φ，（或令sin＝

，＝，＋＝＋b22＋b2

＋b－)溫馨提示：、＋中是一個(gè)角，提取系數(shù)時(shí)，一般提取

a2

b2

，

角所在的象限由a,b的號(hào)確定，值tan

ba

確定，特別是當(dāng)

ba

=

33

時(shí)，殊角，此時(shí)取

4

3

6

。2、對(duì)于形如

xaxx

的函數(shù)，在研究其最值、周期、單調(diào)、對(duì)稱等性質(zhì)時(shí)，都需要化為一個(gè)角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)的手段是利用三角函數(shù)的和、差角、半角公式結(jié)合輔助角公式后再利用三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究

x的性質(zhì)?！具M(jìn)考【2019年考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】在直角坐標(biāo)系Oy，曲線C參數(shù)方程為（t為數(shù)）．以坐4

22標(biāo)原點(diǎn)O為點(diǎn)軸的半軸為極軸建立極坐標(biāo)系l的極坐標(biāo)方程為

3sin

．（1求和l的角坐標(biāo)方程；（）求C上點(diǎn)到l距的最小值．【答案】（1）

4

；

l

的直角坐標(biāo)方程為x3；（）．【解析】（1）因?yàn)?/p>

11

22

，

t

，所以C直角坐標(biāo)方程為

2

4

．

l

的直角坐標(biāo)方程為23y

．（2由（）可設(shè)參數(shù)方程為（y

為參數(shù)，

）．C上點(diǎn)到l距離為

π2cos3sin377

．當(dāng)

時(shí)，

3

取得最小值，故上的點(diǎn)到

l

距離的最小值為

7

．【名師點(diǎn)睛題查參數(shù)方程坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化解圓上的點(diǎn)到直線距離最值問題解題中的最值問題通常用參數(shù)方程來(lái)表示橢圓上的點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求問題．、【年考浙江卷】設(shè)函數(shù)

f)x

.（）知

[0,2

函數(shù)

f(x

)

是偶函數(shù)，求

的值；（）函數(shù)

y(x

)]2f(x)]24

的值域．【答案】（1）

π333或；2）,1]．【解析】（1）因?yàn)閒

是偶函數(shù)，所以，對(duì)任意實(shí)x有x

，即

sincosx

cosxsin

故2sinxcos

，以cos

．又

)

，因此

π3或．

2xsin2sin1241242xsin2sin124124（2

f

π

1x232x222222

2x3

．因此，函數(shù)的值域是

[1

,1]

．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)及其恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能、【年考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】△ABC內(nèi)角，，的邊分別為，，，設(shè)(sinsin

2

sin

2

AsinC

．（）若

2

，求C．【答案）AC

2

.【解析）由已知得2B2sinC，故正弦定理得b22bc．b由余弦定理得cosbc2

．因?yàn)?/p>

，所以A

．（）（）B，題設(shè)及正弦定理得

2sin

C

，即

31CC2sin，得cosC22

．由于0

，所以

，故

sinCsinsin

．

【名師點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及到兩角和差正弦公式、角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對(duì)邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到余弦定理的形式或之間的關(guān)系．(2018全卷)若f(x)cosxx

在[]

是減函數(shù)，則

的最大值是A

π

B

π

C．

3

D．

π【答案】A【解析】解法一f(x)sinx

πcos(

，且函數(shù)y

在區(qū)間[0,

]

上單調(diào)遞減，則由≤x≤≤x≤f(x)4

在[]

上是減函數(shù)a≤4

≤，解法二因?yàn)閤)cos

，所以f

xcosx

，則由題意知fxcosx≤

在[]

上恒成立，即

sinxcosx

，即x

≥0，在[a]

上恒成立，結(jié)合函數(shù)ysin()

≥04的圖象可知有a≤

，解得a≤，以0≤，所以a的大值是

，故選．5新標(biāo)Ⅰ直坐標(biāo)系

中，曲線

C

的參數(shù)方程為

xy

，為數(shù)，線

l

的參數(shù)方程為

xty

(t為數(shù)．

(1)若

C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；

若C的點(diǎn)到l距的最大值為

，求．【解析）曲線

的普通方程為

29

2

．當(dāng)

時(shí)，直線

l

的普通方程為xy

．y由解得或yy

21xy25

，從而

與

l

的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)

，(

)

．（）線

l

的普通方程為0

，故

上的點(diǎn)(3cos

到

l

的距離為d

|

17

．當(dāng)

，的大值為

aa．由題設(shè)得1717

17，以；當(dāng)

時(shí)，

的最大值為

．由題設(shè)得1717

，所以

．綜上，或

．【例析基題：【例】當(dāng)時(shí)函數(shù)5【答案】

f()sin2cosx

取得最大值,則

cos

．【解析】Ⅰ

f(x)

=

sin2cos=5(

5252sinx令cos，555

，則

f()=x

)5

，

當(dāng)

k

kz，即x2

z時(shí)f()

取最大值，此時(shí)=

k

z

，∴

cos

=

=

=

5

.【例】為了得到函數(shù)ysinxcosx

的圖象，可以將函數(shù)x的像A．右移C向左平移【答案】A

個(gè)單位B向右平移個(gè)單位D．向左平移

個(gè)單位個(gè)單位【解析】因?yàn)閥cos3x

cos(3x)x)

，所以將函數(shù)y2

的圖象向右平移

個(gè)單位后，可得到y(tǒng)x)

的圖象，故選．【例】若將函數(shù)f(x)cos2值是

的圖象向右平移個(gè)位，所得圖象關(guān)于y

軸對(duì)稱，則的最小正A．

3B．D484【答案】C【解析】(x

sin(2)

函數(shù))

的圖象向右平移

個(gè)單位得(xsin(2

，由該函數(shù)為偶函數(shù)可知2

k3,Z，，以的小正值是為．228以坐為臺(tái)查助公：【例新標(biāo)Ⅰ直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的坐標(biāo)方程為1

cos

．(1)

M為線1

上的動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)P線段OM上且足OMOP

求點(diǎn)P

的軌跡

C

2

的直角坐

標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,

，點(diǎn)B

在曲線

C上求OAB面的最大值．2【解析）設(shè)

的極坐標(biāo)為

(

0)

，的坐標(biāo)為

(

1

(

1

．由橢圓知OP

，|OM

．由|OM|OP|

得

C

2

的極坐標(biāo)方程

4cos

0)

．因此C的角標(biāo)方程為2

2

2

4(

．（）點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

,B

(

B

0)

．由題設(shè)知OA|

，

B

，于是面S

3|OAAOB4cos)|)B32

23

．當(dāng)

時(shí)，取最大值2．以面的最大值為23．以數(shù)程平考輔角式【例】已知曲線：

x2y2，線l：4

xyt

（t為數(shù)(Ⅰ)寫曲C的參數(shù)方程，直線l的通方程；（Ⅰ曲C上一點(diǎn)作l角為的線，交l于A，的大值與最小值．【解析線程為

xy3sin

(數(shù)).

線通2xy（Ⅰ

C上任意一

l距離為

則

255sin(,其中銳角，tan.3053

(sin＋sin)＝＋[sinB＋A＋)]＝＋sinB＋cosB(sin＋sin)＝＋[sinB＋A＋)]＝＋sinB＋cosB33333233當(dāng)s(得最大，最大值

in(取得最小值最小值為

5

以三形平考輔角式1【例】設(shè)Ⅰ的角A，，所的分別為，，，且acosC－c＝.2求的小；

若a1，求Ⅰ周的取值范圍．11【解析】由aC－c＝得sinAcosCsin＝221又sin＝C)sincosC＋AC，所以sinC－sinC21π因?yàn)閟inC≠0，以cos＝－.又為<，所以A＝.23asinB22(2)由正弦定理得＝＝sin，＝sinC.sinA3l＝＋＋＝＋

22233332＝＋所以sin

2ππππ2sin＋.因＝，以Ⅰ，，所以B＋Ⅰ，33B＋Ⅰ，.所Ⅰ的長(zhǎng)的取值范為，＋.23以面量平考輔角式【例已知向量

a

函

f

的圖像過(guò)點(diǎn)

和點(diǎn)

2

．（Ⅰm

的值；

3131（Ⅰ

yf

的圖像向左平移

到數(shù)

y

的圖像若

y

圖像上各最高點(diǎn)到點(diǎn)

小為1求

yg

的單調(diào)遞增區(qū)間．【解析Ⅰ已知

fx)sinx

，

f(x)過(guò)(

2(

，Ⅰ(

msin

cos

3

，f(

4cos3

，Ⅰ

3mn3222

解得

（Ⅰ（Ⅰf)

sin2xcosx2sin(2

由題意知()2sin(2

，設(shè)

的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為

x0由題意知

20

．所以

x0

，即到點(diǎn)(0,3)

的距離為1的高點(diǎn)為(0,2)

．將其代入

y

，又Ⅰ，因此

2

，2x2kk

，得

z，Ⅰfx

的單調(diào)增區(qū)間為[

kZ

．【例】已知向量x)

，

b(3,3)

，[0,

]

．（）

a

，求

的值）(x)

，求f()

的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的

的值．【解析因?yàn)閤,sinx)

，

3)

，

a

，所以

cosx

．若

cosx，則sinx，sin矛盾，故x

．

44于是

．又x]

，所以x

．（）

f()(cosxx3)3x

π

.因?yàn)?/p>

x[0,]

，所以

x

π7[,]6

π3，從而cos(2

.于是，當(dāng)

x

ππ，即x時(shí)，

f(x

取到最大值；當(dāng)

x

ππx時(shí)，f()

取到最小值3．以角換平考輔角式【例】已知函數(shù)f(xtancoscos(x

.(Ⅰ)(x)

的定義域與最小正周期Ⅰ論f(x)

在區(qū)間

4

上的單調(diào)性．【解析】Ⅰ)

fx

的定義域?yàn)閧|x

}

．3f()tancosxcos(x)4sinxx)34sin(cosx2

32sinxx3sin

xsin23(1cos2x)3sin3cos2x

所以f)

的最小正周期T

2

．

令

x

函數(shù)z

的單調(diào)遞增區(qū)間是

,由

k

得

設(shè)

AkZ

，易知

A,4

．

22所以當(dāng)時(shí),f()在間,444

上單調(diào)遞增在間

上單調(diào)遞減．以線離平考輔角式【例】記

d

為點(diǎn)P

,sin

到直線xmy

的距離，當(dāng)

，

變化時(shí)，

d

的最大值為A．【答案】C

B．C．．【解析】由題意可得

sinm2

msin

m2

2

mm2

sinm2

m2

|

m2（其中

cos

2

，

2

Ⅰsin(

,Ⅰ

|2m

≤d

2m2m

，

2m2

2m

，Ⅰm時(shí)d取最值3故選C【例】在直角坐標(biāo)系

中，曲線C的數(shù)方程為

（為參數(shù)坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為)2．4（Ⅰ出C的通方程和的直角坐標(biāo)方程；12（Ⅰ點(diǎn)P在上點(diǎn)在C上求|PQ|的最小值及此時(shí)P的角坐標(biāo)．【解析Ⅰ

C

1

的普通方程為

3

，

C

2

的直角坐標(biāo)方程為x0

.

（Ⅰ題，可設(shè)點(diǎn)的角坐標(biāo)為(

，因?yàn)镃是線，2所以PQ的小值，即為到的離d)2

的最小值，

2|)

．當(dāng)且僅當(dāng)k

Z)

時(shí)，d()

取得最小值，最小值為2，此時(shí)P

的直角坐標(biāo)為()

．【蹤習(xí)1、函數(shù)()3)(sinx)

的最小正周期是A．

Bπ

C

D．π【答案】B【解析】由題意得f(x)2T．故選．

)x)2sin(23

)

，故該函數(shù)的最小正周期2、設(shè)函數(shù)xsin(2

cos(2)4

，則A．(在Byf(Cyf()在

)

單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線x單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線

對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱D．(

在

(0,

)

單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線

x

對(duì)稱【答案】D【解析】Ⅰ

f()

cos(2)=2sin(2)cos2x42

，

所以x

在(0,)

單調(diào)遞減，對(duì)稱軸為

2x

k，即x(kZ

．3、函數(shù)

2x

2

x

的最小正周期為

.【答案】

【解析】

y

3111sin2x2x=sin2xcos2sin(222

，所以其最小正周期

．4、

中，

BAC

，則+2的大值為____【答案】

7【解析據(jù)

ABACABCsinsinAsinB

C

同

BC

因此

AB4sinAC

4sin3sin(

．5、函數(shù)fxsinx

的最小正周期是，調(diào)減區(qū)間是______．【答案】

、

[

78

(

)【解析】

f(x)

sin(22

，故最小正周期為，調(diào)遞減區(qū)間為

3[(Z

)．6、設(shè)

xx

，若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有f實(shí)數(shù)a的值范圍是．【答案】

a【解析】

f()

sin3xcos32sin(3

得

f(x

故

a

．7、設(shè)f(x)

=

x

，其中a,R，f(x()

對(duì)一切則x恒成，則

11Ⅰ(

)

；Ⅰ

f＜f)

；Ⅰ

f(x)

既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)Ⅰ

f)

的單調(diào)遞增區(qū)間是

k63

；Ⅰ經(jīng)點(diǎn)(a)

的直線與函數(shù)f()

的圖像不相交以上結(jié)論正確的是【答案】ⅠⅠ

(寫出所有正確結(jié)論的編．【解析】

)sincos2xa2x

（其中

因此對(duì)一切

x

，f()f()|恒立以sin(()(xa2)3

．1111而()2)

，所以Ⅰ；|f(

717sin|sin，|f()|asin5

，所以f(

7f)|5

，故Ⅰ；Ⅰ正確；Ⅰ：由函數(shù)f)

2

2

x)

和f()a2sin(2x)

的圖（圖略可知不存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)()

的直線與函數(shù)x

的圖象不相交，故Ⅰ．8、設(shè)常數(shù)

，函數(shù)fxasin2

2

x

．(1)若fx

為偶函數(shù)，求

的值；(2)若f()

，求方程

f(x)2

在區(qū)【解析】f(x)

為偶函數(shù)，則對(duì)任意xR，有(x)f()

；即

asin2cos2xsin2())

簡(jiǎn)

asin2

對(duì)任意

xR

成立

a

；(2)

f()sin(2)2cos2()，以a3，44故

f(x

2xx

．則方程

f(x

，即

32x

，

所以

3sinx

x

，化簡(jiǎn)即為

，即

x)

5，解得x24

，k

若求該方程在[

上有解，則k

],]

，即k或；

或1，對(duì)應(yīng)的x的分別為：

、、．9、設(shè)函數(shù)(x

，中0已知f()26

．（Ⅰ

；（Ⅰ函yf)

的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2（縱坐標(biāo)不變將得到的圖象向左平移

個(gè)單位，得到函數(shù)ygx

的圖象，求gx)[

3]4

上的最小值．【解析Ⅰ因?yàn)閒(x

2

，所以

f(

1331cossincos3(sin22

))因?yàn)閒()

，所以

，

k

，故

，

k

，又

0

，所以

．（Ⅰ（Ⅰ(x)sin(2

，所以()3sin(x

)3x)3

．因?yàn)?/p>

x[

]

，所以

x]33

，當(dāng)

12

，即

x

時(shí)，()

取得最小值

．x10、知函數(shù)()sincos2sin．22(Ⅰ)求f()的最小正周期；(Ⅰ)求fx)在間[上的最小值．

【解析Ⅰ因?yàn)閒x

2sin(1cos2

2sin(x2

，所以f()

的最小正周期為．（Ⅰ為

，所以

3．，即4442

34

時(shí)，f()

取得最小值．所以(x)

在區(qū)間

f(

．、設(shè)向量a

sinx（I）若|a

，求x的；（II）函數(shù)f(求()

的最大值．【解析由

2

3x)

2

x

2

2

x

，b(cos)2x)，a得4sin

x

，又x[0,

],從

，所以x

.（）(x)

x