高中數(shù)學(xué)高考二輪復(fù)習(xí) 一等獎(jiǎng)

第一部分一11一、選擇題1．(2023·河北衡水中學(xué)三調(diào))如圖正方形OABC的邊長為1cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，A．8B．6C．2(1＋eq\r(3))cmD．2(1＋eq\r(2))cm[答案]A[解析]由直觀圖得，原圖形是如圖所示的平行四邊形O′A′B′C′，其中A′O′⊥O′B′，可得O′A′＝1，O′B′＝2OB＝2eq\r(2)，故A′B′＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3，∴原圖形的周長為：2×(3＋1)＝8.[方法點(diǎn)撥]空間幾何體的直觀圖畫法規(guī)則空間幾何體直觀圖的畫法常采用斜二測(cè)畫法．用斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖規(guī)則為“軸夾角45°(或135°)，平行長不變，垂直長減半”．2．(文)某四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積等于()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]由三視圖知，該幾何體底面是正方形，對(duì)角線長為2，故邊長為eq\r(2)，幾何體是四棱錐，有一條側(cè)棱與底面垂直，其直觀圖如圖，由條件知PC＝eq\r(13)，AC＝2，∴PA＝3，體積V＝eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×3＝2.(理)(2023·新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側(cè)棱PC上的一點(diǎn)，它的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則下列命題正確的是()A．AD⊥平面PBC，且三棱錐D－ABC的體積為eq\f(8,3)B．BD⊥平面PAC，且三棱錐D－ABC的體積為eq\f(8,3)C．AD⊥平面PBC，且三棱錐D－ABC的體積為eq\f(16,3)D．AD⊥平面PAC，且三棱錐D－ABC的體積為eq\f(16,3)[答案]C[解析]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又∵AD?平面PAC，∴BC⊥AD，由正視圖可知，AD⊥PC，又PC∩BC＝C，∴AD⊥平面PBC，且VD－ABC＝eq\f(1,2)VP－ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×4×(eq\f(1,2)×4×4)＝eq\f(16,3).[方法點(diǎn)撥]1.空間幾何體的三視圖畫法規(guī)則三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形，三視圖的畫法規(guī)則為“長對(duì)正、高平齊、寬相等”．2．識(shí)讀三視圖時(shí)，要特別注意觀察者的方位與三視圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系和虛實(shí)線．3．(文)(2023·洛陽市期末)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與側(cè)視圖均為半徑是1的圓，則這個(gè)幾何體的體積是()\f(π,3) \f(2π,3)C．π \f(4π,3)[答案]C[解析]由三視圖知，該幾何體是一個(gè)球切去eq\f(1,4)后所得的幾何體，故其體積為：V＝eq\f(3,4)×eq\f(4,3)π×13＝π，選C.(理)(2023·河南八市質(zhì)檢)已知某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)幾何體的外接球的表面積為()A．4π B．12πC．2eq\r(3)π D．4eq\r(3)π[答案]B[解析]根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐D1－ABCD，它是由正方體ABCD－A1B1C1D1切割出來的，所以外接球的直徑2R＝BD1＝eq\r(4＋4＋4)＝2eq\r(3)，所以R＝eq\r(3)，所以S＝4πR2＝12π.[方法點(diǎn)撥]在分析空間幾何體的三視圖問題時(shí)，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，特別注意由各視圖中觀察者與幾何體的相對(duì)位置與圖中的虛實(shí)線來確定幾何體的形狀．4．(2023·唐山市一模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()\f(2π,3) \f(4π,3)C．8－eq\f(2π,3) D．8－eq\f(4π,3)[答案]C[解析]由三視圖知原幾何體是棱長為2的正方體中挖掉一個(gè)圓錐，∴V＝V正方體－V圓錐＝2×2×2－eq\f(1,3)×(π×12)×2＝8－eq\f(2π,3).[方法點(diǎn)撥]1.求幾何體的表面積與體積問題，熟記公式是關(guān)鍵，應(yīng)多角度全方位的考慮．(1)給出幾何體的形狀、幾何量求體積或表面積，直接套用公式．(2)用三視圖給出幾何體，先依據(jù)三視圖規(guī)則想象幾何體的形狀特征，必要時(shí)畫出直觀圖，找出其幾何量代入相應(yīng)公式計(jì)算．(3)用直觀圖給出幾何體，先依據(jù)線、面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理討論分析幾何體的形狀特征，再求體積或表面積．(4)求幾何體的體積常用等積轉(zhuǎn)化的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面在幾何體的某一面上，求不規(guī)則幾何體的體積，主要用割補(bǔ)法．2．涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系．3．若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的線段PA、PB、PC兩兩垂直，一般先將四棱錐P－ABCD補(bǔ)成球的內(nèi)接長方體，利用4R2＝PA2＋PB2＋PC2解決問題．5．(文)(2023·山東文，9)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()\f(2\r(2)π,3) \f(4\r(2)π,3)C．2eq\r(2)π D．4eq\r(2)π[答案]B[解析]考查1.旋轉(zhuǎn)體的幾何特征；2.幾何體的體積．由題意知，該等腰直角三角形的斜邊長為2eq\r(2)，斜邊上的高為eq\r(2)，所得旋轉(zhuǎn)體為同底等高的兩個(gè)全等圓錐，所以，其體積為2×eq\f(1,3)π×(eq\r(2))2×eq\r(2)＝eq\f(4\r(2)π,3)，故選B.(理)(2023·山東理，7)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面圍成的幾何體的體積為()\f(2π,3)\f(4π,3)\f(5π,3) D．2π[答案]C[解析]梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面圍成的幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱挖去一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓錐所得的組合體；所以該組合體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).故選C.6．(文)(2023·安徽理，7)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為()A．21＋eq\r(3) B．18＋eq\r(3)C．21 D．18[答案]A[解析]如圖，還原直觀圖為棱長為2的正方體截去兩個(gè)角，其6個(gè)面都被截去了一個(gè)直角邊長為1的等腰直角三角形，表面增加了兩個(gè)邊長為eq\r(2)的正三角形，故其表面積S＝6×(2×2－eq\f(1,2)×1×1)＋eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×2＝21＋eq\r(3).(理)一個(gè)半徑為1的球體經(jīng)過切割后，剩下部分幾何體的三視圖如圖所示，則剩下部分幾何體的表面積為()\f(13π,3) \f(15π,4)C．4π \f(9π,2)[答案]D[解析]由三視圖知該幾何體是一個(gè)球體，保留了下半球，上半球分為四份，去掉了對(duì)頂?shù)膬煞荩时砻娣e為球的表面積，去掉eq\f(1,4)球表面積加上6個(gè)eq\f(1,4)的圓面積．∴S＝4πR2－eq\f(1,4)(4πR2)＋6×eq\f(1,4)πR2＝eq\f(9,2)πR2，又R＝1，∴S＝eq\f(9,2)π.[方法點(diǎn)撥]注意復(fù)合體的表面積計(jì)算，特別是一個(gè)幾何體切割去一部分后剩余部分的表面積計(jì)算．要弄清增加和減少的部分．7．(文)(2023·福建文，9)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于()A．8＋2eq\r(2) B．11＋2eq\r(2)C．14＋2eq\r(2) D．15[答案]B[解析]考查三視圖和表面積．由三視圖還原幾何體，該幾何體是底面為直角梯形，高為2的直四棱柱，且底面直角梯形的兩底長分別為1,2，直角腰長為1，斜腰為eq\r(2).底面積為2×eq\f(1,2)×3＝3，側(cè)面積為2＋2＋4＋2eq\r(2)＝8＋2eq\r(2)，所以該幾何體的表面積為11＋2eq\r(2)，故選B.(理)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A．16π－16 B．8π－8C．16π－8 \f(2\r(7)π,3)[答案]A[解析]由三視圖可知，幾何體為圓柱中挖去一個(gè)正四棱柱，所以體積V＝π×22×4－2×2×4＝16π－16.8．(文)已知一個(gè)三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖面積為()\f(\r(3),2) \f(\r(3),4)C．1 \f(1,2)[答案]B[解析]由題意知，此三棱錐的底面為有一個(gè)角為30°的直角三角形，其斜邊長AC＝2，一個(gè)側(cè)面DAC為等腰直角三角形，∴DE＝1，BF＝eq\f(\r(3),2)，其側(cè)視圖為直角三角形，其兩直角邊與DE、BF的長度相等，面積S＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4).(理)某幾何體的三視圖(單位：m)如圖所示，則其表面積為()A．(96＋32eq\r(2))m2B．(64＋32eq\r(3))m2C．(114＋16eq\r(2)＋16eq\r(3))m2D．(80＋16eq\r(2)＋16eq\r(3))m2[答案]D[解析]由三視圖知該幾何體是一個(gè)組合體，中間是一個(gè)棱長為4的正方體(由正、側(cè)視圖中間部分和俯視圖知)，上部是一個(gè)有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐，下部是一個(gè)正四棱錐，表面積S＝2(eq\f(1,2)×4×4＋eq\f(1,2)×4×eq\r(42＋42))＋4×42＋4×(eq\f(1,2)×4×2eq\r(3))＝80＋16eq\r(2)＋16eq\r(3)(m2)．二、填空題9．(文)某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為________．[答案]eq\f(π,3)[解析]由三視圖可知，此幾何體是底面半徑為1，高為2的半個(gè)圓錐．∴V＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)(π×12×2)＝eq\f(π,3).(理)(2023·天津文，10)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.[答案]eq\f(20π,3)[解析]本題考查三視圖及簡單幾何體的體積計(jì)算，考查空間想象能力和簡單的計(jì)算能力．由三視圖知，該幾何體下面是圓柱、上面是圓錐．∴V＝π×12×4＋eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(20π,3).10．(文)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為________．[答案]48[解析]由三視圖知，該幾何體是一個(gè)組合體，其上部為長方體，下部為橫放的四棱柱，其底面是上底長2，下底長6，高為2的等腰梯形，柱高為4，其體積V＝2×4×2＋eq\f(1,2)(2＋6)×2×4＝48.(理)某幾何體的三視圖(單位：cm)如下圖，則這個(gè)幾何體的表面積為________cm2.[答案]12＋2eq\r(3)[解析]由三視圖知，該幾何體為正三棱柱，底面積S1＝2×(eq\f(1,2)×2×eq\r(3))＝2eq\r(3)，側(cè)面積S2＝3×(2×2)＝12，∴表面積S＝S1＋S2＝12＋2eq\r(三、解答題11．(文)(2023·北京文，18)如圖，在三棱錐V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)．(1)求證：VB∥平面MOC；(2)求證：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱錐V－ABC的體積．[分析]本題主要考查線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，在三角形ABV中，利用中位線的性質(zhì)得OM∥VB，最后直接利用線面平行的判定得到結(jié)論；第二問，先在三角形ABC中得到OC⊥AB，再利用面面垂直的性質(zhì)得OC⊥平面VAB，最后利用面面垂直的判定得出結(jié)論；第三問，將三棱錐進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)化，利用VC－VAB＝VV－ABC，先求出三角形VAB的面積，由于OC⊥平面VAB，所以O(shè)C為錐體的高，利用錐體的體積公式計(jì)算出體積即可．[解析](1)因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥VB.又因?yàn)閂B?平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)因?yàn)锳C＝BC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB.又因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC，且OC?平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB所以O(shè)C⊥平面VAB.又因?yàn)镺C?平面MOC所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq\r(2)，所以AB＝2，OC＝1.所以等邊三角形VAB的面積S△VAB＝eq\r(3).又因?yàn)镺C⊥平面VAB，所以三棱錐C－VAB的體積等于eq\f(1,3)×OC×S△VAB＝eq\f(\r(3),3).又因?yàn)槿忮FV－ABC的體積與三棱錐C－VAB的體積相等，所以三棱錐V－ABC的體積為eq\f(\r(3),3).(理)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD、PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.[解析](1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四邊形ABED為平行四邊形．所以BE∥AD.又因?yàn)锽E?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因?yàn)锳B⊥AD，而且ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PD∥EF.所以CD⊥EF，又因?yàn)镃D⊥BE，BE∩EF＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.12．(文)在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC＝eq\r(3)，AB＝2BC＝2，AC⊥FB.(1)求證：AC⊥平面FBC；(2)求四面體FBCD的體積；(3)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使得EA∥平面FDM？證明你的結(jié)論．[解析](1)證明：在△ABC中，∵AC＝eq\r(3)，AB＝2，BC＝1，∴AC⊥BC.又∵AC⊥FB，∴AC⊥平面FBC.(2)解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC.∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得∠BCD＝120°，CB＝DC＝1，∴FC＝1.∴S△BCD＝eq\f(\r(3),4)，∴四面體FBCD的體積為：VF－BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·FC＝eq\f(\r(3),12).(3)線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA∥平面FDM，證明如下：連接CE，與DF交于點(diǎn)N，連接MN.因?yàn)镃DEF為正方形，所以N為CE中點(diǎn)．所以EA∥MN.因?yàn)镸N?平面FDM，EA?平面FDM，所以EA∥平面FDM.所以線段AC上存在點(diǎn)M，使得EA∥平面FDM成立．(理)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長是eq\r(3)，D是AC的中點(diǎn)．(1)求證：B1C∥平面A1BD(2)求二面角A1－BD－A的大??；(3)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值．[解析]解法一：(1)設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)P，則P為AB1中點(diǎn)，連接PD，∵D為AC中點(diǎn)，∴PD∥B1C又∵PD?平面A1BD，B1C?平面A1BD∴B1C∥平面A1BD(2)∵正三棱柱ABC－A1B1C1∴AA1⊥底面ABC.又∵BD⊥AC，∴A1D⊥BD∴∠A1DA就是二面角A1－BD－A的平面角．∵AA1＝eq\r(3)，AD＝eq\f(1,2)AC＝1，∴tan∠A1DA＝eq\f(A1A,AD)＝eq\r(3).∴∠A1DA＝eq\f(π,3)，即二面角A1－BD－A的大小是eq\f(π,3).(3)由(2)作AM⊥A1D，M為垂足．∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，∴BD⊥平面A1ACC1，∵AM?平面A1ACC1，∴BD⊥AM，∵A1D∩BD＝D，∴AM⊥平面A1DB，連接MP，則∠APM就是直線AB1與平面A1BD所成的角．∵AA1＝eq\r(3)，AD＝1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA＝eq\f(π,3)，∴AM＝1×sin60°＝eq\f(\r(3),2)，AP＝eq\f(1,2)AB1＝eq\f(\r(7),2).∴sin∠APM＝eq\f(AM,AP)＝eq\f(\f(\r(3),2),\f(\r(7),2))＝eq\f(\r(21),7).∴直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為eq\f(\r(21),7).解法二：(1)同解法一(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0，eq\r(3))，B(0，eq\r(3)，0)，B1(0，eq\r(3)，eq\r(3))，∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，－eq\r(3))，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－1,0，－eq\r(3))設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)．則n·eq\o(A1B,\s\up6(→))＝－x＋eq\r(3)y－eq\r(3)z＝0，n·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝－x－eq\r(3)z＝0，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)z,y＝0))，得n＝(－eq\r(3)，0,1)．由題意，知eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,0，eq\r(3))是平面ABD的一個(gè)法向量．設(shè)n與eq\o(AA1,\s\up6(→))所成角為θ，則cosθ＝eq\f(n·\o(AA1,\s\up6(→)),|n|·|\o(AA1,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，∴θ＝eq\f(π,3).∴二面角A1－BD－A的大小是eq\f(π,3).(3)由已知，得eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，eq\r(3))，n＝(－eq\r(3)，0,1)，設(shè)直線AB1與平面A1BD所成角為α，則sinα＝eq\f(|\o(AB1,\s\up6(→))·n|,|\o(AB1,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(\r(21),7).∴直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為eq\f(\r(21),7).13．(文)(2023·鄭州市質(zhì)檢)如圖，已知三棱柱ABC－A′B′C′的側(cè)棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面AA′C′C；(2)設(shè)AB＝λAA′，當(dāng)λ為何值時(shí)，CN⊥平面A′MN，試證明你的結(jié)論．[解析](1)取A′B′的中點(diǎn)E，連接ME，NE，因?yàn)镸，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)，所以NE∥A′C′，ME∥AA′又因?yàn)锳′C′?平面AA′C′C，A′A?平面AA′C′C，所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，所以平面MNE∥平面AA′C′C，因?yàn)镸N?平面EMN，所以MN∥平面AA′C′C；(2)連接BN，設(shè)AA′＝a，則AB＝λAA′＝λa，由題意知BC＝eq\r(2)λa，NC＝BN＝eq\r(a2＋\f(1,2)λ2a2)，因?yàn)槿庵鵄BC－A′B′C′側(cè)棱垂直于底面，所以A′B′C′⊥平面BB′C′C，因?yàn)锳B＝AC，點(diǎn)N是B′C′的中點(diǎn)，所以A′N⊥平面BB′C′C，∴CN⊥A′N，要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥NB即可，所以CN2＋NB2＝BC2，即2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,2)λ2a2))＝2λ2a2，∴λ＝eq\r(2)，則λ＝eq\r(2)時(shí)，CN⊥平面A′MN.(理)(2023·天津文，17)如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq\r(5)，AA1＝eq\r(7)，BB1＝2eq\r(7)，點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面A1B1BA；(2)求證：平面AEA1⊥平面BCB1；(3)求直線A1B1與平面BCB1所成角的大?。甗分析]考查1.空間中線面位置關(guān)系的證明；2.直線與平面所成的角．(1)要證明EF∥平面A1B1BA，需在平面A1B1BA內(nèi)找到一條直線與EF平行，結(jié)合條件用中位線定理先證線線平行，再用判定定理證明；(2)先證明線面垂直，再利用面面垂直的判定定理證明；(3)先結(jié)合上面證明過程和題設(shè)條件找出線面角，再利用斜三角形知識(shí)求解；也可利用圖形特征，建立坐標(biāo)系用空間向量求解．[解析](1)如圖，連接A1B，在△A1BC中，因?yàn)镋和F分別是BC，A1C所以EF∥BA1，又因?yàn)镋F?平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.(2)因?yàn)锳B＝AC，E為BC中點(diǎn)，所以AE⊥BC，因?yàn)锳A1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，從而BB1⊥AE，又BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，又因?yàn)锳E?平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1.(3)取BB1中點(diǎn)M和B1C中點(diǎn)N，連接A1M，A1N，因?yàn)镹和E分別為B1C、BC所以NE∥BB1，NE＝eq\f(1,2)BB1，故NE∥AA1，NE＝AA1，所以A1N∥AE，A1N＝AE.又因?yàn)锳E⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，從而∠A1B1N就是直線A1B1與平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2，因?yàn)锽M∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝又由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝eq\r(B1M2＋A1M2)＝4，在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝eq\f(A1N,A1B1)＝eq\f(1,2)，因此∠A1B1N＝30°，所以，直線A1B1與平面BCB1所成角為30°.14．(文)(2023·陜西文，18)如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠BAD＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE沿BE折起到圖2中△A1BE的位置，得到四棱錐A1－BCDE.圖1圖2(1)證明：CD⊥平面A1OC；(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí)，四棱錐A1－BCDE的體積為36eq\r(2)，求a的值．[分析]考查1.線面垂直的判定；2.面面垂直的性質(zhì)定理；3.空間幾何體的體積．(1)利用轉(zhuǎn)化思想及BE∥CD，先證BE⊥平面A1OC.(2)利用平面A1BE⊥平面BCDE找出棱錐的高，利用方程思想和棱錐的體積公式，列出關(guān)于a的方程求解．[解析](1)在題圖1中，因?yàn)锳B＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點(diǎn)，∠BAD＝eq\f(π,2)，所以BE⊥AC，故在題圖2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，從而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC；(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)知，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱錐A1－BCDE的高，由題圖1可知，A1O＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)a，平行四邊形BCDE面積S＝BC·AB＝a2，從而四棱錐A1－BCDE的體積為V＝eq\f(1,3)×S×A