2021年3月 北京市朝陽區(qū)高三一模數(shù)學(xué)

京市陽高年級(jí)二期量檢一數(shù)學(xué)（考試時(shí)間120鐘滿分150）本試卷分為選擇（共40分和非選擇題共110分）兩分

2021.0考生務(wù)必將答案在答題卡，在試卷上作答無效?？荚囀?，將試卷和題卡一并回。第部（選擇題

共40分一、擇題共10小，每小分，共40分在每小列出的個(gè)選項(xiàng)中選出符題目要求一項(xiàng)。（）知合（）

，（）

，則（）（）（）果數(shù)

（）實(shí)部與虛部相等，那么（）

（）

（）

（）（）知差數(shù)列

的前項(xiàng)和為

，，

，則（）

（）

（）

（）截直線（）知（）（）

所得弦的長(zhǎng)度為（）

，則實(shí)數(shù)

（）（）知曲線（，）離心率為2，則雙曲線的近線方程（）

（）

（）（）（）

中，若

，則（）（）（）（）高三數(shù)學(xué)試卷第1頁（共16頁）

（）三錐的三視如圖所，已知網(wǎng)紙上小正形的邊長(zhǎng)為，則該三棱錐最長(zhǎng)的長(zhǎng)為（）（）（）（）（）

中”“

為鈍角三角形”（）充分而必要條件（）分必要條件

（）要而不充條件（）既不充分也不必要條件（）知物線，則

的焦點(diǎn)為，線，是直線上動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)在拋物上且（為坐標(biāo)原點(diǎn)的最小值（）（在棱長(zhǎng)為的方

（）（）中，是線段

上的點(diǎn)，過

（）的平面與線

垂直．當(dāng)在線段

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面截方

所得的截面面積最小值是（）（）（）（）高三數(shù)學(xué)試卷第2頁（共16頁）

第部二、空題共5小題，每題分共25分。

（非選擇題

共分）（）

的展開式中，

的系數(shù)________數(shù)字作）（已知函數(shù)（已知向量

，

則（

；，

的值域_．，則向量的標(biāo)可以是________．（寫出一個(gè)即可（李明自主業(yè)，經(jīng)營家網(wǎng)店每售出一A商獲利8．現(xiàn)計(jì)劃“”間對(duì)A商品進(jìn)廣告促銷，假設(shè)售A商的件數(shù)（單位：萬件）與廣費(fèi)用（單位：元）符合數(shù)模型．若要使這次促活動(dòng)獲利多，則廣告費(fèi)用應(yīng)投入萬元．（華人數(shù)學(xué)李天巖和國數(shù)學(xué)約克給出混沌”的學(xué)定義，由發(fā)展的沌理論在物學(xué)、濟(jì)學(xué)和社會(huì)學(xué)領(lǐng)都有重要用．在沌理論中函數(shù)的期點(diǎn)是一關(guān)鍵概念定義如下：設(shè)是定義在

上的函數(shù)，對(duì)于

，令

（若存正整數(shù)

使得，且當(dāng)

時(shí)，，稱

是

的一個(gè)周期為的周期點(diǎn)．給出下列四個(gè)結(jié)論①若②若

，則，則

存在唯一一個(gè)周為1的期點(diǎn)；存在周期為2周期點(diǎn)；③若

則

不存在周期為的周期點(diǎn)④若，對(duì)任意正數(shù)，都不是其中所有正確結(jié)的序號(hào)________．

的周期為的期點(diǎn)．高三數(shù)學(xué)試卷第3頁（共16頁）

三、答題共6小題，共85分解答應(yīng)出文字明，演算驟或證過程。（小13分）已知函數(shù)（，，）由下四個(gè)條件的三個(gè)來定：①最正周期為；②最值為；③

；④

．（Ⅰ）寫出能確

的三個(gè)條件，并

的解析式；（Ⅱ）求

的單調(diào)遞增區(qū)間（小13分）如圖，在四棱錐

中，是

邊的中點(diǎn)，

底面，．底面

中，，

，

，

．（Ⅰ）求證：（Ⅱ）求二面角

平面；的余弦值．高三數(shù)學(xué)試卷第4頁（共16頁）

（小14分）我國脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)得全面勝，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下農(nóng)村貧困人口部脫貧，除了絕貧困．為解脫貧家庭人均年純收入況，某扶工作組對(duì)A，兩個(gè)區(qū)2019年貧庭進(jìn)行簡(jiǎn)隨機(jī)抽樣，共抽取500戶家庭作為樣本，得數(shù)據(jù)如表：2019年均年純收超過10000元2019年均年純收未超過10000元

A地區(qū)100戶200戶

B地150戶50戶假設(shè)所有脫貧家的人均年收入是否超過10000元互立．（）從A地區(qū)2019年貧家庭中隨機(jī)抽取1戶，估計(jì)家庭2019年均年純?nèi)氤^元概率；（）在樣本，分別從A地區(qū)和B地區(qū)2019年貧家庭中各機(jī)抽取1戶，記

為這戶庭2019年人均年純收入過元的戶數(shù)求

的分布列和數(shù)學(xué)望；（Ⅲ）從樣本中A地區(qū)的戶貧庭中隨機(jī)取戶，現(xiàn)這戶家庭2020年均年純收入都超過10000元根這個(gè)結(jié)果能否認(rèn)為樣本中A區(qū)2020年均純收入超過元戶相比2019年變化？請(qǐng)說明理由（小15分）已知橢圓的軸的兩個(gè)端分別為（Ⅰ）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)

，，心率為．（Ⅱ）若點(diǎn)

為橢圓

上異于

的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)且與直

平行的直線與直

交于點(diǎn)，直線

與直線

交于點(diǎn)

，試判斷以線段

為直徑的圓是否定點(diǎn)？若定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的高三數(shù)學(xué)試卷第5頁（共16頁）

坐標(biāo)；若不過定，請(qǐng)說明由．（小15分）已知函數(shù)

（（Ⅰ）求（）若直線

的單調(diào)區(qū)間；與曲線

相切，求證：．（小15分）數(shù)

（

存公為的等比數(shù)列

，使得，其中

，則稱數(shù)列

為數(shù)列

的“等比分割數(shù)（）寫出數(shù)列（Ⅱ）若數(shù)

的一個(gè)“等比分?jǐn)?shù)列”的通項(xiàng)公式為

；，其“等比分割列”

的首項(xiàng)為，數(shù)列

的公比的值范圍；高三數(shù)學(xué)試卷第6頁（共16頁）

（Ⅲ

存在“等比分割列

．高三數(shù)學(xué)試卷第7頁（共16頁）

京市陽高年級(jí)二期量檢一數(shù)考案一、擇題（10題，每題4分共40分

2021．3（）B（）D

（）A（）

（）A（）

（）D（）B

（）A（10二、空題（5題，每題，共25分）（11）（）；（13）（答案不唯一）（）（）①④三、答題（6題，共分（分解確定

的三個(gè)條件①②，③當(dāng)若函數(shù)與

且

時(shí)，滿足條④，則矛盾，所以

．，不能滿足條件．所以能確定

的三個(gè)條件①，②，③由條件①，得由條件②，得由條件③，得所以

，又，又．

，所以，所以

．．，又，以．經(jīng)驗(yàn)證，（）函數(shù)

符合題意．..............................................................................7分的單調(diào)遞增區(qū)間（高三數(shù)學(xué)試卷第8頁（共16頁）

由（得（所以（分解）四邊形

的單調(diào)遞增區(qū)間（分中，因?yàn)?/p>

，

是

的中點(diǎn)，則，．所以四邊形

是平行四邊形．所以又因?yàn)?/p>

．平面

，

平面，所以（Ⅱ）連結(jié)

平面．

．.............................................................................................................5分因?yàn)樗?/p>

平面，．又因?yàn)辄c(diǎn)

是

的中點(diǎn)，且，所以

．因?yàn)樗运倪呅?/p>

，是正方形．所以

．如圖，建立空間角坐標(biāo)系

，則所以

,．

．設(shè)則令，則

是平面即

的一個(gè)法向量，．高三數(shù)學(xué)試卷第9頁（共16頁）

因?yàn)樗运?/p>

平面，是平面

的一個(gè)法向量．．由圖可知，二面所以二面角

為銳角，的余弦值為．.............................................................................13分高三數(shù)學(xué)試卷第10頁16頁）

（分解設(shè)事件：從A地年脫貧庭中隨機(jī)抽取1戶該家庭2019年均年純收超過10000元從表格數(shù)據(jù)可知A地抽出的300戶庭中年人均收入超過10000元有戶，因此

可以估計(jì)為．.............................................................................................3分（）設(shè)事件：從樣中A地2019年脫貧家庭隨機(jī)抽取戶，該家2019年均年純收入超過元，則

．設(shè)事件

：從樣本中B地年脫貧家中隨機(jī)抽1戶該家庭年均年純收入超過元，則

．由題可知

的可能取值為0，1，．；；．所以

的分布列為所以（Ⅲ設(shè)事件

的數(shù)學(xué)期望．..........................................................10分為“從樣本中A地的戶貧庭中隨抽取4戶這4戶庭年人均年純收入都超過元假設(shè)樣本中A區(qū)2020年均年純收入超過10000元戶相比2019年有變化，高三數(shù)學(xué)試卷第11頁16頁）

則由年樣本數(shù)據(jù)得答案示例：以認(rèn)為有變化．理由下：

．比較小，概率比小的事件般不容易發(fā)生．一旦發(fā)生，有理由認(rèn)樣本中A地2020年均年純收超過10000的戶數(shù)相2019年生了變化．所以可以認(rèn)為有化．答案示例：法確定有沒有變化．由如下：事件

是隨機(jī)事件，

比較小，一般不易發(fā)生，還是有能發(fā)生的所以無法確定有有變化．....................................................................................................14分（分解）題意可設(shè)橢圓

的方程為，則解得，．所以橢圓的程為（）方法1：

，焦點(diǎn)坐標(biāo)為

和．.................................5分設(shè)點(diǎn)

的坐標(biāo)為（．過原點(diǎn)且與直線

平行的直線方程．令，得．直線

的方程為，令，得．高三數(shù)學(xué)試卷第12頁16頁）

假設(shè)以線段則

為直徑的圓過定，由橢圓對(duì)稱性可設(shè)定點(diǎn)為．

．因?yàn)椋裕驗(yàn)?/p>

，所以

．則

或

．所以以線段方法2：

為直徑的圓過定，且定點(diǎn)標(biāo)為

和．…………15分設(shè)點(diǎn)

的坐標(biāo)為（．過原點(diǎn)且與直線

平行的直線方程．令，得．直線令所以以

的方程為，，得．為直徑的圓的半為．圓心的橫坐標(biāo)為

．所以以線段

為直徑的圓的方為．因?yàn)椋?/p>

．高三數(shù)學(xué)試卷第13頁16頁）

以線段方程所以解得

為直徑的圓過定等價(jià)于對(duì)意的點(diǎn)，恒成立．或所以以線段（分

為直徑的圓過定，且定點(diǎn)標(biāo)為

和．…………15分解）

．令

，得

．當(dāng)

時(shí)，

，

在

上單調(diào)遞減；當(dāng)

時(shí)，

和

在

上的變化情況如：極小值當(dāng)

時(shí)，

和

在

上的變化情況如：極大值綜上，當(dāng)當(dāng)

時(shí)，時(shí)，

在上單調(diào)遞減，的單調(diào)遞減區(qū)間

，單調(diào)遞增區(qū)間

，當(dāng)

時(shí)，

的單調(diào)遞增區(qū)間

，單調(diào)遞減區(qū)間

．………………高三數(shù)學(xué)試卷第14頁頁）

（Ⅱ）由題得

．設(shè)直線則由①-②得

與曲線，即

相切于點(diǎn)，．若直線所以

，則與曲線．

，

，不相切，不符合意，所以．令

，則

，所以

單調(diào)遞增．因?yàn)?，，所以存在唯?/p>

使得

．將③代入①得

．所以．易知在所以

內(nèi)在

單調(diào)遞減，且，內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)椋ǚ纸猓?/p>

，所以，所以．................................................分案唯）（）

．高三數(shù)學(xué)試卷第15頁16頁）

所以

單調(diào)遞減．（）的最小值為

．

．