高中數(shù)學人教B版2第三章數(shù)系的擴充與復數(shù)復數(shù)的運算 第3章

復數(shù)的運算3．復數(shù)的加法與減法1．掌握復數(shù)的加減法運算法則，能熟練地進行復數(shù)的加減運算．(重點)2．理解復數(shù)加減法運算的幾何意義，能解決相關的問題．(難點、易混點)[基礎·初探]教材整理1復數(shù)代數(shù)形式的加減法閱讀教材P91例1以上部分．1．運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2．加法運算律設z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)復數(shù)與向量一一對應．()(2)復數(shù)與復數(shù)相加減后結果只能是實數(shù)．()(3)因為虛數(shù)不能比較大小，所以虛數(shù)的模也不能比較大?。?)【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2復數(shù)加減法的幾何意義閱讀教材P92練習A以上部分，完成下列問題．若復數(shù)z1，z2對應的向量分別為eq\o(OZ1,\s\up10(→))，eq\o(OZ2,\s\up10(→)).復數(shù)加法的幾何意義復數(shù)z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up10(→))，eq\o(OZ2,\s\up10(→))為鄰邊的平行四邊形的對角線eq\o(OZ,\s\up10(→))所對應的復數(shù)復數(shù)減法的幾何意義復數(shù)z1－z2是從向量eq\o(OZ2,\s\up10(→))的終點指向向量eq\o(OZ1,\s\up10(→))的終點的向量eq\o(Z2Z1,\s\up10(→))所對應的復數(shù)已知向量Oeq\o(Z,\s\up10(→))1對應的復數(shù)為2－3i，向量Oeq\o(Z,\s\up10(→))2對應的復數(shù)為3－4i，則向量eq\o(Z1Z2,\s\up10(→))對應的復數(shù)為__________．【解析】eq\o(Z1Z2,\s\up10(→))＝Oeq\o(Z,\s\up10(→))2－Oeq\o(Z,\s\up10(→))1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.【答案】1－i[質(zhì)疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]復數(shù)的加減法運算(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,2)i))＋(2－i)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(3,2)i))＝________.(2)已知復數(shù)z滿足z＋1－3i＝5－2i，求z.(3)已知復數(shù)z滿足|z|＋z＝1＋3i，求z.【自主解答】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,2)i))＋(2－i)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(3,2)i))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋2－\f(4,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1＋\f(3,2)))i＝1＋i.【答案】1＋i(2)法一：設z＝x＋yi(x，y∈R)，因為z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.法二：因為z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)設z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝eq\r(x2＋y2)，又|z|＋z＝1＋3i，所以eq\r(x2＋y2)＋x＋yi＝1＋3i，由復數(shù)相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＋x＝1，,y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝3，))所以z＝－4＋3i.1．復數(shù)加減運算法則的記憶(1)復數(shù)的實部與實部相加減，虛部與虛部相加減．(2)把i看作一個字母，類比多項式加減運算中的合并同類項．2．當一個等式中同時含有|z|與z時，一般要用待定系數(shù)法，設z＝a＋bi(a，b∈R)．[再練一題]1．復數(shù)(1－i)－(2＋i)＋3i等于()【導學號：05410068】A．－1＋i B．1－iC．i D．－i【解析】(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故選A.【答案】A復數(shù)加減法的幾何意義(1)在復平面內(nèi)，平行四邊形ABCD(頂點順序為ABCD)的三個頂點A，B，C對應的復數(shù)分別是1＋3i，－i,2＋i，則點D對應的復數(shù)為__________．(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq\r(3)，求|z1－z2|.【精彩點撥】(1)先寫出點A，B，C的坐標，利用向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝Deq\o(C,\s\up6(→))列方程求解．(2)由復數(shù)的幾何意義，畫出圖形，利用平行四邊形解決．【自主解答】(1)設D(x，y)，類比向量的運算知Aeq\o(B,\s\up6(→))＝Deq\o(C,\s\up6(→))，所以有復數(shù)－i－(1＋3i)＝2＋i－(x＋yi)，得x＝3，y＝5，所以D對應的復數(shù)為3＋5i.【答案】3＋5i(2)設復數(shù)z1，z2，z1＋z2在復平面上對應的點分別為Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2|＝1知，以OZ1，OZ2為鄰邊的平行四邊形是菱形，在△OZ1Z中，由余弦定理，得cos∠OZ1Z＝eq\f(|z1|2＋|z2|2－|z1＋z2|2,2|z1||z2|)＝－eq\f(1,2)，所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z1OZ2＝60°，因此△OZ1Z2是正三角形，所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1.利用復數(shù)加減運算的幾何意義解題的技巧及常見結論1．技巧(1)形轉化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉化成復數(shù)運算去處理．(2)數(shù)轉化為形：對于一些復數(shù)運算也可以給予幾何解釋，使復數(shù)作為工具運用于幾何之中．2．常見結論在復平面內(nèi)，z1，z2對應的點分別為A，B，z1＋z2對應的點為C，O為坐標原點，則四邊形OACB：(1)為平行四邊形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為矩形；(3)若|z1|＝|z2|，則四邊形OACB為菱形；(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為正方形．[再練一題]2．若把上例(2)中的條件“|z1＋z2|＝eq\r(3)”改為“|z1－z2|＝1”，則|z1＋z2|等于多少？【解】設復數(shù)z1，z2在復平面上對應的點分別為Z1，Z2，由|z1|＝|z2|＝1，|z1－z2|＝1知，以OZ1，OZ2為鄰邊的平行四邊形是菱形OZ1ZZ2，OZ為對角線，△OZ1Z2為正三角形，由余弦定理，得|z1＋z2|2＝|z1|2＋|z2|2－2|z1|·|z2|cos∠OZ1Z，因為∠Z1OZ2＝60°，所以∠OZ1Z＝120°，所以|z1＋z2|＝eq\r(3).[探究共研型]復數(shù)加減法的幾何意義的應用探究1在實數(shù)范圍內(nèi)a－b＞0?a＞b恒成立，在復數(shù)范圍內(nèi)是否有z1－z2＞0?z1＞z2恒成立呢？【提示】若z1，z2∈R，則z1－z2＞0?z1＞z2成立．否則z1－z2＞0?z1＞z2.如果z1＝1＋i，z2＝i，雖然z1－z2＝1＞0，但不能說1＋i大于i.探究2復數(shù)|z1－z2|的幾何意義是什么？【提示】復數(shù)|z1－z2|表示復數(shù)z1，z2對應兩點Z1與Z2間的距離．復平面內(nèi)點A，B，C對應的復數(shù)分別為i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆時針順序作?ABCD，求eq\o(|BD,\s\up10(→))|.【精彩點撥】首先由A，C兩點坐標求解出AC的中點坐標，然后再由點B的坐標求解出點D的坐標．【自主解答】如圖，設D(x，y)，F(xiàn)為?ABCD的對角線的交點，則點F的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝4，,y＋0＝3，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3.))所以點D對應的復數(shù)為z＝3＋3i，所以eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝3＋3i－1＝2＋3i，所以|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝eq\r(13).1．解決此類問題的關鍵是由題意正確地畫出圖形，然后根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則借助復數(shù)相等即可求解．2．復數(shù)的幾何意義包括三個方面：復數(shù)的表示(點和向量)、復數(shù)的模的幾何意義及復數(shù)運算的幾何意義．復數(shù)的幾何意義充分體現(xiàn)了數(shù)形結合這一重要的數(shù)學思想方法，即通過幾何圖形來研究代數(shù)問題．[再練一題]3．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值與最小值．【解】由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在復平面上，復數(shù)z對應的點Z與復數(shù)－3＋4i對應的點C之間的距離等于1，故復數(shù)z對應的點Z的軌跡是以C(－3,4)為圓心，半徑等于1的圓．而|z|表示復數(shù)z對應的點Z到原點O的距離，又|OC|＝5，所以點Z到原點O的最大距離為5＋1＝6，最小距離為5－1＝4.即|z|最大值＝6，|z|最小值＝4.[構建·體系]1．設z1＝2＋i，z2＝1－5i，則|z1＋z2|為()\r(5)＋eq\r(26) B．5C．25 \r(37)【解析】|z1＋z2|＝|(2＋i)＋(1－5i)|＝|3－4i|＝eq\r(32＋－42)＝5.【答案】B2．設復數(shù)z＝a＋bi對應的點在虛軸右側，則()A．a(chǎn)>0，b>0 B．a(chǎn)>0，b<0C．b>0，a∈R D．a(chǎn)>0，b∈R【解析】復數(shù)對應的點在虛軸右側，則該復數(shù)的實部大于零，虛部可為任意實數(shù)．【答案】D3．已知|z|＝3，且z＋3i是純虛數(shù)，則z＝________.【導學號：05410069】【解析】設z＝x＋yi(x，y∈R)，∴eq\r(x2＋y2)＝3①，且z＋3i＝x＋yi＋3i＝x＋(y＋3)i是純虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＋3≠0，))由①可得y＝3.∴z＝3i.【答案】3i4．若|z－2|＝|z＋2|，則|z－1|的最小值是________.【解析】由|z－2|＝|z＋2|，知z對應點的軌跡是到(2,0)與到點(－2,0)距離相等的點即虛軸，|z－1|表示z對應的點到點(1,0)的距離，∴|z－1|最小值＝1.【答案】15．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.(1)指出集合P在復平面內(nèi)所表示的圖形；(2)求集合P中復數(shù)模的最大值和最小值．【解】(1)由|z－1|≤1可知，集合M在復平面內(nèi)所對應的點集是以點E(1,0)為圓心，以1為半徑的圓的內(nèi)部及邊界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在復平面內(nèi)所對應的點集是以點(1,1)和(2,0)為端點的線段的垂直平分線l，因此，集合P在復平面內(nèi)所表示的圖形是圓面截直線l所得的一條線段AB，如圖．(2)由(1)知，圓的方程為x2＋y2－2x＝0，直線l的方程為y＝x－1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＝0，,y＝x－1，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－\r(2),2)，－\f(\r(2),2))).所以|OA|＝eq\r(2＋\r(2))，|OB|＝eq\r(2－\r(2)).因為點O到直線l的距離為eq\f(\r(2),2)，且過點O向l作垂線，垂足在線段BE上，eq\f(\r(2),2)<eq\r(2－\r(2))，所以集合P中復數(shù)模的最大值為eq\r(2＋\r(