高中數(shù)學(xué)人教A版2第一章統(tǒng)計(jì)案例 說(shuō)課一等獎(jiǎng)

章末分層突破[自我校對(duì)]①散點(diǎn)圖②eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)③eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(x,\s\up9(－))④殘差分析⑤分類變量⑥等高條形圖⑦K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)線性回歸直線方程在回歸直線方程eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))中，eq\o(b,\s\up9(^))代表x每增加一個(gè)單位，y平均增加的單位數(shù)．一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up9(^))>0時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)變量呈正相關(guān)關(guān)系，它的意義是：當(dāng)x每增加一個(gè)單位時(shí)，y就平均增加eq\o(b,\s\up9(^))個(gè)單位；當(dāng)回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up9(^))<0時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，它的意義是：當(dāng)x每增加一個(gè)單位時(shí)，y就平均減少|(zhì)eq\o(b,\s\up9(^))|個(gè)單位．某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20232023202320232023需求量(萬(wàn)噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))；(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地2023年的糧食需求量．【精彩點(diǎn)撥】正確利用求回歸直線方程的步驟求解，注意數(shù)據(jù)計(jì)算的準(zhǔn)確性．【規(guī)范解答】(1)由所給數(shù)據(jù)看出，把年份看作點(diǎn)的橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的需求量看作點(diǎn)的縱坐標(biāo)，畫出散點(diǎn)圖草圖，通過(guò)觀察知這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，下面求回歸直線方程，為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份—2023－4－2024需求量—257－21－1101929對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得eq\x\to(x)＝0，eq\x\to(y)＝，eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×32,－42＋－22＋22＋42－5×02)＝eq\f(260,40)＝，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(x,\s\up9(－))＝，由上述計(jì)算結(jié)果，知所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up9(^))－257＝eq\o(b,\s\up9(^))(x－2012)＋eq\o(a,\s\up9(^))＝(x－2012)＋，即eq\o(y,\s\up9(^))＝(x－2012)＋.(*)(2)利用直線方程(*)，可預(yù)測(cè)2023年的糧食需求量為×(2018－2012)＋＝×6＋＝(萬(wàn)噸)．[再練一題]1．某企業(yè)的某種產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：月份123456產(chǎn)量(千件)234345單位成本(元/件)737271736968b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)(用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式注：eq\i\su(i＝1,n,x)iyi＝x1y1＋x2y2＋…＋xiyi＋…＋xnyn，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,i)＋…＋xeq\o\al(2,n))．(1)試確定回歸方程；(2)指出產(chǎn)量每增加1件時(shí)，單位成本下降多少？(3)假定產(chǎn)量為6件時(shí)，單位成本是多少？單位成本為70元/件時(shí)，產(chǎn)量應(yīng)為多少件？【解】(1)設(shè)x表示每月產(chǎn)量(單位：千件)，y表示單位成本(單位：元/件)，作散點(diǎn)圖．由圖知y與x間呈線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)線性回歸方程為y＝bx＋a.由公式可求得b≈－，a＝，∴回歸方程為y＝－＋.(2)由回歸方程知，每增加1件產(chǎn)量，單位成本下降元．(3)當(dāng)x＝6時(shí)，y＝－×6＋＝；當(dāng)y＝70時(shí)，70＝－＋，得x≈千件．∴產(chǎn)量為6件時(shí)，單位成本是元/件，單位成本是70元/件時(shí)，產(chǎn)量約為4051件.線性回歸分析回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法，其步驟是先畫出散點(diǎn)圖，并對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上選擇適合的函數(shù)模型去擬合樣本數(shù)據(jù)，從而建立較好的回歸方程，并且用該方程對(duì)變量值進(jìn)行分析；有時(shí)回歸模型可能會(huì)有多種選擇(如非線性回歸模型)，此時(shí)可通過(guò)殘差分析或利用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)檢查模型的擬合效果，從而得到最佳模型．一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如下表：零件數(shù)x/個(gè)102030405060708090100加工時(shí)間y/min627275818595103108112127經(jīng)分析加工時(shí)間y與零件個(gè)數(shù)x線性相關(guān)，并求得回歸直線方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝＋.(1)求出相關(guān)指數(shù)；(2)作出殘差圖；(3)進(jìn)行殘差分析．【精彩點(diǎn)撥】作殘差分析時(shí)，一般從以下幾個(gè)方面予以說(shuō)明：(1)散點(diǎn)圖；(2)相關(guān)系數(shù)；(3)相關(guān)指數(shù)；(4)殘差圖中異常點(diǎn)樣本點(diǎn)的帶狀分布區(qū)域的寬窄．【規(guī)范解答】(1)利用所給回歸直線方程求出下列數(shù)據(jù)．eq\o(y,\s\up9(^))iyi－eq\o(y,\s\up9(^))i－－－yi－eq\x\to(y)－30－20－17－11－7eq\o(y,\s\up9(^))iyi－eq\o(y,\s\up9(^))i－－－yi－eq\x\to(y)311162035∴R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,10,)yi－\o(y,\s\up9(^))i2,\i\su(i＝1,10,)yi－\x\to(y)2)≈.(2)∵eq\o(e,\s\up9(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(y,\s\up9(^))i，利用上表中數(shù)據(jù)作出殘差圖，如圖所示．(3)由R2的值可以看出回歸效果很好．由殘差圖也可以觀察到，第2、5、9、10個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這些樣本點(diǎn)的過(guò)程中是否有人為的錯(cuò)誤．[再練一題]2．已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x13678y12345(1)從x，y中各取一個(gè)數(shù)，求x＋y≥10的概率；(2)針對(duì)表中數(shù)據(jù)，甲、乙兩同學(xué)給出的擬合直線分別為y＝eq\f(1,3)x＋1與y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，試?yán)谩白钚《朔ā迸袛嗄臈l直線擬合程度更好.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：81092023】【解】(1)從x，y中各取一個(gè)數(shù)組成數(shù)對(duì)(x，y)，共有25對(duì)，其中滿足x＋y≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9對(duì)，故所求概率為P＝eq\f(9,25)，所以使x＋y≥10的概率為eq\f(9,25).(2)用y＝eq\f(1,3)x＋1作為擬合直線時(shí)，y的實(shí)際值與所得的y值的差的平方和為s1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,3)))2＋(2－2)2＋(3－3)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(10,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(11,3)))2＝eq\f(7,3).用y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)作為擬合直線時(shí)，y的實(shí)際值與所得的y值的差的平方和為s2＝(1－1)2＋(2－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(7,2)))2＋(4－4)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(9,2)))2＝eq\f(1,2).因?yàn)閟1>s2，故直線y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)的擬合程度更好.獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)是判斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系的一種方法．在判斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系時(shí)，作出等高條形圖只能近似地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗(yàn)可以精確地得到可靠的結(jié)論．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式計(jì)算K2的觀測(cè)值k.(3)比較k與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計(jì)推斷．某防疫站對(duì)屠宰場(chǎng)及肉食零售點(diǎn)的豬肉檢查沙門氏菌帶菌情況，結(jié)果如下表，試檢驗(yàn)屠宰場(chǎng)與零售點(diǎn)豬肉帶菌率有無(wú)差異．帶菌頭數(shù)不帶菌頭數(shù)總計(jì)屠宰場(chǎng)83240零售點(diǎn)141832總計(jì)225072【精彩點(diǎn)撥】這是一個(gè)2×2列聯(lián)表，可以用K2來(lái)檢驗(yàn)屠宰場(chǎng)與零售點(diǎn)豬肉帶菌率有無(wú)差異．【規(guī)范解答】k＝eq\f(72×8×18－14×322,40×32×50×22)≈.因?yàn)?gt;，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為屠宰場(chǎng)與零售點(diǎn)豬肉帶菌率有差異．[再練一題]3．某班主任對(duì)全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多總計(jì)喜歡玩電腦游戲18927不喜歡玩電腦游戲81523總計(jì)262450則認(rèn)為喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)多少有關(guān)系的把握大約為()A．99% B．95%C．90% D．無(wú)充分依據(jù)【解析】由表中數(shù)據(jù)計(jì)算k＝eq\f(50×18×15－8×92,26×24×27×23)≈，而k≈>，所以約有95%的把握認(rèn)為兩變量之間有關(guān)．【答案】B轉(zhuǎn)化與化歸思想非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題求解步驟．(1)確定變量，作出散點(diǎn)圖．(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)．(3)變量置換，通過(guò)變量置換把非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題，并求出線性回歸方程．(4)分析擬合效果：通過(guò)計(jì)算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來(lái)判斷擬合效果．(5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程．某種書每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(元)與印刷冊(cè)數(shù)x(千冊(cè))有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下：x123510203050100200y檢驗(yàn)每?jī)?cè)書的成本費(fèi)y與印刷冊(cè)數(shù)的倒數(shù)eq\f(1,x)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系．如有，求出y對(duì)x的回歸方程．【精彩點(diǎn)撥】令z＝eq\f(1,x)，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為z與y的關(guān)系，然后用回歸分析的方法，求z與y的回歸方程，進(jìn)而得出x與y的回歸方程．【規(guī)范解答】把eq\f(1,x)置換為z，則有z＝eq\f(1,x)，從而z與y的數(shù)據(jù)為z1y可作出散點(diǎn)圖(圖略)，從圖可看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來(lái)擬合．eq\x\to(z)＝eq\f(1,10)×(1＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)×＋＋＋…＋＝，eq\i\su(i＝1,10,z)eq\o\al(2,i)＝12＋＋＋…＋＋≈，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝＋＋…＋＋＝，eq\i\su(i＝1,10,z)iyi＝1×＋×＋…＋×＝02，所以eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,z)iyi－10\a\vs4\al(\x\to(z))\a\vs4\al(\x\to(y)),\i\su(i＝1,10,z)\o\al(2,i)－10\x\to(z)2)≈，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\x\to(z)＝－×1≈，所以所求的z與y的回歸方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝＋.又因?yàn)閦＝eq\f(1,x)，所以eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\f,x)＋.[再練一題]4．在某化學(xué)試驗(yàn)中，測(cè)得如下表所示的6對(duì)數(shù)據(jù)，其中x(單位：min)表示化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行的時(shí)間，y(單位：mg)表示未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量．x/min123456y/mg(1)設(shè)y與x之間具有關(guān)系y＝cdx，試根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)估計(jì)c和d的值(精確到；(2)估計(jì)化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行到10min時(shí)未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量(精確到．【解】(1)在y＝cdx兩邊取自然對(duì)數(shù)，令lny＝z，lnc＝a，lnd＝b，則z＝a＋bx.由已知數(shù)據(jù)，得x123456yz由公式得eq\o(a,\s\up9(^))≈5，eq\o(b,\s\up9(^))≈－9，則線性回歸方程為eq\o(z,\s\up9(^))＝5－9x.而lnc＝5，lnd＝－9，故c≈，d≈，所以c，d的估計(jì)值分別為和.(2)當(dāng)x＝10時(shí)，由(1)所得公式可得y≈(mg)．所以，化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行到10min時(shí)未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量約為mg.1．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入x(萬(wàn)元)支出y(萬(wàn)元)根據(jù)上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))，其中eq\o(b,\s\up9(^))＝，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\x\to(x).據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元家庭的年支出為()A．萬(wàn)元 B．萬(wàn)元C．萬(wàn)元 D．萬(wàn)元【解析】由題意知，eq\x\to(x)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝8，∴eq\o(a,\s\up9(^))＝8－×10＝，∴當(dāng)x＝15時(shí)，eq\o(y,\s\up9(^))＝×15＋＝(萬(wàn)元)．【答案】B2．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y－－－得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝bx＋a，則()A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0C．a(chǎn)＜0，b＞0 D．a(chǎn)＜0，b＜0【解析】作出散點(diǎn)圖如下：觀察圖象可知，回歸直線eq\o(y,\s\up9(^))＝bx＋a的斜率b＜0，當(dāng)x＝0時(shí)，eq\o(y,\s\up9(^))＝a＞0.故a＞0，b＜0.【答案】B3．四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論：①y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up9(^))＝－；②y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up9(^))＝－＋；③y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up9(^))＝＋；④y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up9(^))＝－－.其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是()A．①② B．②③C．③④ D．①④【解析】由正負(fù)相關(guān)性的定義知①④一定不正確．【答案】D4．某人研究中學(xué)生的性別與成績(jī)、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量的關(guān)系，隨機(jī)抽查52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是()表1成績(jī)性別不及格及格總計(jì)男61420女102232總計(jì)163652表2視力性別好差總計(jì)男41620女122032總計(jì)163652表3智商性別偏高正?？傆?jì)男81220女82432總計(jì)163652表4閱讀量性別豐富不豐富總計(jì)男14620女23032總計(jì)163652A．成績(jī) B．視力C．智商 D．閱讀量注：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).【解析】A中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，k＝eq\f(52×6×22－14×102,20×32×16×36)＝eq\f(13,1440).B中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，k＝eq\f(52×4×20－16×122,20×32×16×36)＝eq\f(637,360).C中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，k＝eq\f(52×8×24－12×82,20×32×16×36)＝eq\f(13,10).D中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，k＝eq\f(52×14×30－6×22,20×32×16×36)＝eq\f(3757,160).∵eq\f(13,1440)<eq\f(13,10)<eq\f(637,360)<eq\f(3757,160)，∴與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是閱讀量．【答案】D5．下圖1是我國(guó)2023年至2023年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位：億噸)的折線圖．圖1注：年份代碼1～7分別對(duì)應(yīng)年份2023～2023.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到，預(yù)測(cè)2023年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量．參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up9(7),\s\do14(i＝1))eq\o()yi＝，eq\o(∑,\s\up9(7),\s\do14(i＝1))tiyi＝，eq\r(\o(∑,\s\up9(7))\o(,\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2)＝，eq\r(7)≈.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do14(i＝1))\o()ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up9(n),\s\do14(i＝1))\o()ti－\x\to(t)2\o(∑,\s\up9(n),\s\do14(i＝1))\o()yi－\x\to(y)2))，回歸方程eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(a,\s\up9(^))＋eq\o(b,\s\up9(^))t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do14(i＝1))\o()ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up9(n),\s\do14(i＝1))\o()ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\o(y,\s\up9(－))－eq\o(b,\s\up9(^))eq\a\vs4\al(\x\to(t)).【解】(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得eq\x\to(t)＝4，eq\o(∑,\s\up9(7),\s\do14(i＝1))(ti－eq\x\to(t))2＝28，eq\r(\o(∑,\s\up9(7),\s\do14(i＝1))\o()yi－\x\to(y)2)＝，eq\o(∑,\s\up9(7),\s\do14(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝eq\o(∑,\s\up9(7),\s\do14(i＝1))tiyi－eq\x\to(t)eq\o(∑,\s\up9(7),\s\do14(i＝1))eq\o()yi＝－4×＝，∴r≈eq\f,×2×≈.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為，說(shuō)明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系．(2)由eq\x\to(y)＝eq\f,7)≈及(1)得eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up9(7),\s\do14(i＝1)\o())ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up9(7),\s\do14(i＝1))\o()ti－\x\to(t)2)＝eq\f,28)≈，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\a\vs4\al(\x\to(t))≈－×4≈.所以y關(guān)于t的回歸方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝＋.將2023年對(duì)應(yīng)的t＝9代入回歸方程得eq\o(y,\s\up9(^))＝＋×9＝.所以預(yù)測(cè)2023年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量約為億噸．章末綜合測(cè)評(píng)(一)統(tǒng)計(jì)案例(時(shí)間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1．在下列各量與量的關(guān)系中是相關(guān)關(guān)系的為()①正方體的體積與棱長(zhǎng)之間的關(guān)系；②一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；③人的身高與年齡之間的關(guān)系；④家庭的支出與收入之間的關(guān)系；⑤某戶家庭用電量與電費(fèi)之間的關(guān)系．A．①②③ B．③④C．④⑤ D．②③④【解析】①⑤是一種確定性關(guān)系，屬于函數(shù)關(guān)系．②③④正確．【答案】D2．散點(diǎn)圖在回歸分析過(guò)程中的作用是()A．查找個(gè)體個(gè)數(shù)B．比較個(gè)體數(shù)據(jù)大小關(guān)系C．探究個(gè)體分類D．粗略判斷變量是否線性相關(guān)【解析】由散點(diǎn)圖可以粗略地判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)，故選D.【答案】D3．身高與體重有關(guān)系可以用________來(lái)分析．()A．殘差 B．回歸分析C．等高條形圖 D．獨(dú)立性檢驗(yàn)【解析】因?yàn)樯砀吲c體重是兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量，所以要用回歸分析來(lái)解決．【答案】B4．一位母親記錄了她兒子3歲到9歲的身高，建立了她兒子身高與年齡的回歸模型eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，她用這個(gè)模型預(yù)測(cè)兒子10歲時(shí)的身高，則下面的敘述正確的是()A．她兒子10歲時(shí)的身高一定是145.83cmB．她兒子10歲時(shí)的身高一定是145.83cm以上C．她兒子10歲時(shí)的身高在145.83cm左右D．她兒子10歲時(shí)的身高一定是145.83cm以下【解析】由回歸模型得到的預(yù)測(cè)值是可能取值的平均值，而不是精確值，故選C.【答案】C5．在等高條形圖中，下列哪兩個(gè)比值相差越大，要推斷的論述成立的可能性就越大()\f(a,a＋b)與eq\f(d,c＋d) \f(c,a＋b)與eq\f(a,c＋d)\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d) \f(a,a＋b)與eq\f(c,b＋c)【解析】由等高條形圖的解可知eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)的值相差越大，|ad－bc|就越大，相關(guān)性就越強(qiáng)．【答案】C6．已知一個(gè)線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋45，其中x的取值依次為1,7,5,13,19，則eq\x\to(y)＝()A． B．C．60 D．75【解析】∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，∴eq\o(y,\s\up6(－))＝×9＋45＝.【答案】A7．若兩個(gè)變量的殘差平方和是325，eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝923，則隨機(jī)誤差對(duì)預(yù)報(bào)變量的貢獻(xiàn)率約為()A．% B．60%C．% D．40%【解析】相關(guān)指數(shù)R2表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，故隨機(jī)誤差對(duì)預(yù)報(bào)變量的貢獻(xiàn)率為eq\f(殘差平方和,總偏差平方和)×100%＝eq\f(325,923)×100%≈%，故選C.【答案】C8．在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過(guò)收集數(shù)據(jù)并整理、分析，得到“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且有99%的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()①在100個(gè)吸煙者中至少有99個(gè)人患肺癌；②如果一個(gè)人吸煙，那么這個(gè)人有99%的概率患肺癌；③在100個(gè)吸煙者中一定有患肺癌的人；④在100個(gè)吸煙者中可能一個(gè)患肺癌的人也沒(méi)有.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：81092023】A．4 B．3C．2 D．1【解析】有99%的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”，指的是“吸煙與患肺癌有關(guān)”這個(gè)結(jié)論成立的可能性或者可信程度有99%，并不表明在100個(gè)吸煙者中至少有99個(gè)人患肺癌，也不能說(shuō)如果一個(gè)人吸煙，那么這個(gè)人就有99%的概率患肺癌；更不能說(shuō)在100個(gè)吸煙者中一定有患肺癌的人，反而有可能在100個(gè)吸煙者中，一個(gè)患肺癌的人也沒(méi)有．故正確的說(shuō)法僅有④，選D.【答案】D9．下面是調(diào)查某地區(qū)男女中學(xué)生喜歡理科的等高條形圖，陰影部分表示喜歡理科的百分比，從圖1中可以看出()圖1A．性別與喜歡理科無(wú)關(guān)B．女生中喜歡理科的百分比為80%C．男生比女生喜歡理科的可能性大些D．男生不喜歡理科的百分比為60%【解析】從題圖中可以分析，男生喜歡理科的可能性比女生大一些．【答案】C10．下列關(guān)于K2的說(shuō)法中正確的是()A．K2在任何相互獨(dú)立問(wèn)題中都可以用來(lái)檢驗(yàn)有關(guān)還是無(wú)關(guān)B．K2的值越大，兩個(gè)分類變量相關(guān)的可能性就越小C．K2是用來(lái)判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的隨機(jī)變量，只對(duì)兩個(gè)分類變量適用D．K2的計(jì)算公式為K2＝eq\f(nad－bc,a＋bc＋da＋cb＋d)【解析】K2只適用于2×2列聯(lián)表問(wèn)題，故A錯(cuò)；K2越大兩個(gè)分類變量相關(guān)的可能性越大，故B錯(cuò)；選項(xiàng)D中公式錯(cuò)誤，分子應(yīng)為n(ad－bc)2.【答案】C11．在兩個(gè)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)相當(dāng)?shù)陌嗉?jí)實(shí)行某種教學(xué)措施的試驗(yàn)，測(cè)試結(jié)果見(jiàn)下表，則試驗(yàn)效果與教學(xué)措施()優(yōu)、良、中差總計(jì)實(shí)驗(yàn)班48250對(duì)比班381250總計(jì)8614100A.有關(guān) B．無(wú)關(guān)C．關(guān)系不明確 D．以上都不正確【解析】隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值為k＝eq\f(100×48×12－38×22,50×50×86×14)≈>，則認(rèn)為“試驗(yàn)效果與教學(xué)措施有關(guān)”的概率為.【答案】A12．為預(yù)測(cè)某種產(chǎn)品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8組觀測(cè)值．計(jì)算知eq\i\su(i＝1,8,x)i＝52，eq\i\su(i＝1,8,y)i＝228，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝478，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝1849，則y對(duì)x的回歸方程是()\o(y,\s\up6(^))＝＋ \o(y,\s\up6(^))＝－＋\o(y,\s\up6(^))＝＋ \o(y,\s\up6(^))＝－【解析】由已知數(shù)據(jù)計(jì)算可得eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝，所以回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，故選A.【答案】A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上．)13．若一組觀測(cè)值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之間滿足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒為0，則R2的值為_(kāi)_______．【解析】由ei恒為0，知yi＝eq\o(y,\s\up6(^))i，即yi－eq\o(y,\s\up6(^))i＝0，故R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝1－0＝1.【答案】114．某單位為了了解用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，用電量為_(kāi)_______℃.【解析】根據(jù)題意知eq\x\to(x)＝eq\f(18＋13＋10＋－1,4)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(24＋34＋38＋64,4)＝40，因?yàn)榛貧w直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝40－(－2)×10＝60，所以當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用電量為68度．【答案】6815．為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知P(K2≥≈，P(K2≥≈.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到k＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈，則認(rèn)為“選修文科與性別有關(guān)系”出錯(cuò)的可能性為_(kāi)_______．【解析】k≈>，故判斷出錯(cuò)的概率為.【答案】16．若對(duì)于變量y與x的10組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的回歸模型中，相關(guān)指數(shù)R2＝，又知?dú)埐钇椒胶蜑椋敲磂q\i\su(i＝1,10,)(yi－eq\x\to(y))2的值為_(kāi)_______．【解析】∵R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,10,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,10,)yi－\x\to(y)2)，殘差平方和eq\i\su(i＝1,10,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝，∴＝1－eq\f,\i\su(i＝1,10,)yi－\x\to(y)2)，∴eq\i\su(i＝1,10,)(yi－eq\x\to(y))2＝2.【答案】2三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．)17．(本小題滿分10分)為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽(yáng)性是否有關(guān)系，分別對(duì)病人組和對(duì)照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下：組別陽(yáng)性數(shù)陰性數(shù)總計(jì)鉛中毒病人29736對(duì)照組92837總計(jì)383573試畫出列聯(lián)表的等高條形圖，分析鉛中毒病人和對(duì)照組的尿棕色素陽(yáng)性數(shù)有無(wú)差別，鉛中毒病人與尿棕色素為陽(yáng)性是否有關(guān)系．【解】等高條形圖如圖所示：其中兩個(gè)淺色條的高分別代表鉛中毒病人和對(duì)照組樣本中尿棕色素為陽(yáng)性的頻率．由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對(duì)照組相比較尿棕色素為陽(yáng)性差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽(yáng)性有關(guān)系．18．(本小題滿分12分)吃零食是中學(xué)生中普遍存在的現(xiàn)象，吃零食對(duì)學(xué)生身體發(fā)育有諸多不利影響，影響學(xué)生的健康成長(zhǎng)．下表是性別與吃零食的列聯(lián)表：男女總計(jì)喜歡吃零食51217不喜歡吃零食402868總計(jì)454085請(qǐng)問(wèn)喜歡吃零食與性別是否有關(guān)？【解】k＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，把相關(guān)數(shù)據(jù)代入公式，得k＝eq\f(85×5×28－40×122,17×68×45×40)≈>.因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，可以認(rèn)為“喜歡吃零食與性別有關(guān)”．19．(本小題滿分12分)為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)x(元)89銷量y(件)908483m7568根據(jù)最小二乘法建立的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250.(1)試求表格中m的值；(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從建立的回歸方程，且該產(chǎn)品的成本是5元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤(rùn)＝銷售收入－成本)【導(dǎo)學(xué)號(hào)：81092023】【解】(1)由于eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(8＋＋＋＋＋9)＝，所以eq\x\to(y)＝－20×＋250＝80，故eq\f(1,6)(90＋84＋83＋m＋75＋68)＝80，解得m＝80.(2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，依題意得L＝(x－5)(－20x＋250)＝－20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(35,2)x＋\f(125,2)))(x>0)，所以x＝時(shí)，L取得最大值．故當(dāng)單價(jià)定為元/件時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)．20．(本小題滿分12分)如圖2是對(duì)用藥與不用藥，感冒已好與未好進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的等高條形圖．若此次統(tǒng)計(jì)中，用藥的患者是70人，不用藥的患者是40人，試問(wèn)：能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“感冒已好與用藥有關(guān)”？圖2【解】根據(jù)題中的等高條形圖，可得在用藥的患者中感冒已好的人數(shù)為70×eq\f(8,10)＝56，在不用藥的患者中感冒已好的人數(shù)為40×eq\f(3,10)＝12.2×2列聯(lián)表如下：感冒已好感冒未好總計(jì)用藥561470不用藥122840總計(jì)6842110根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到k＝eq\f(110