材料力學(xué)第5章-圓軸扭轉(zhuǎn)

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材料力學(xué)(5)Sunday,February5,2023返回總目錄范欽珊FANQin-ShansEducation&TeachingStudio

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算基礎(chǔ)篇之五材料力學(xué)下一章上一章返回總目錄(Chapter4

DesignofStrengthandRigidityforcircularshaftundertorsion

)

桿的兩端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于桿件軸線的兩個(gè)力偶，桿的任意兩橫截面將繞軸線相對轉(zhuǎn)動(dòng)，這種受力與變形形式稱為扭轉(zhuǎn)（torsion）。第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算本章主要分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力以及兩相鄰橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角，同時(shí)介紹圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)方法。MeMe圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度計(jì)算工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸外加扭力矩、扭矩與扭矩圖結(jié)論與討論第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算剪應(yīng)力成對定理剪切胡克定律工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算返回返回總目錄工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算請判斷哪一桿件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)？連接汽輪機(jī)和發(fā)電機(jī)的傳動(dòng)軸將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算傳動(dòng)軸請判斷哪些零件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)？傳動(dòng)軸將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算請判斷哪一桿件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)？當(dāng)兩只手用力相等時(shí)，擰緊螺母的工具桿將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算受扭圓軸的力學(xué)模型MeMe外加扭力矩、扭矩與扭矩圖返回返回總目錄第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算■

外加扭力矩與功率和轉(zhuǎn)速的關(guān)系

外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算作用于構(gòu)件的外扭矩與機(jī)器的轉(zhuǎn)速、功率有關(guān)。在傳動(dòng)軸計(jì)算中，通常給出傳動(dòng)功率P和轉(zhuǎn)遞n，則傳動(dòng)軸所受的外加扭力矩Me可用下式計(jì)算：

其中P為功率，單位為千瓦（kW）；n為軸的轉(zhuǎn)速，單位為轉(zhuǎn)/分（r/min）。

如果功率P的單位用馬力（1馬力=735.5N?m/s），則外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算■

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力分量

——扭矩

外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算外加扭力矩Me確定后，應(yīng)用截面法可以確定橫截面上的內(nèi)力——扭矩，圓軸兩端受外加扭力矩Me作用時(shí)，橫截面上將產(chǎn)生分布剪應(yīng)力，這些剪應(yīng)力將組成對橫截面中心的合力矩,稱為扭矩（twistmoment），用Mx表示。

MeMeMeMx外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則+MeMxnMx扭矩矢量與所在橫截面的外法線方向一致時(shí)，扭矩為正。

外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則－MeMxnMx扭矩矢量與所在橫截面的外法線方向相反時(shí)，扭矩為負(fù)。

外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則+MeMxnMxMxMeMxnMeMe同一截面兩側(cè)的扭矩同為正。

外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則MeMe－MeMxnMxMxMeMxn同一截面兩側(cè)的扭矩同為負(fù)。

■

扭矩圖

外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算如果只在軸的兩個(gè)端截面作用有外力偶矩，則沿軸線方向所有橫截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在軸上的外力偶矩。外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算MeMe外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算當(dāng)在軸的長度方向上有兩個(gè)以上的外力偶矩作用時(shí)，軸各段橫截面上的扭矩將是不相等的，這時(shí)需用截面法確定各段橫截面上的扭矩。Me1Me2Me3Me4Me5扭矩沿桿軸線方向變化的圖形，稱為扭矩圖(diagramoftorsionmoment)。外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算繪制扭矩圖的方法與繪制軸力圖的方法相似。外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算確定約束力偶（必要時(shí)）；

根據(jù)圓軸上作用的外加力偶以及約束力偶，確定控制面，也就是扭矩圖的分段點(diǎn)；應(yīng)用截面法，用假想截面從控制面處將圓軸截開，在截開的截面上，畫出未知扭矩，并假設(shè)為正方向；對截開的部分圓軸建立平衡方程，確定控制面上的扭矩

建立Mx－x坐標(biāo)系，將所求得的扭矩值標(biāo)在坐標(biāo)系中，畫出扭矩圖。

繪制扭矩圖的方法外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算例題1圓軸受有四個(gè)繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于圖中，其中力偶矩的單位為N.m，尺寸單位為mm。

試：畫出圓軸的扭矩圖。

BACD3153151116486150015002000外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算解：1．確定控制面

外加力偶處截面A、B、C、D均為控制面。

2．應(yīng)用截面法，由平衡方程確定各段圓軸內(nèi)的扭矩

。

486nBACD3153151116486150015002000n315Mx1=-315Mx3=486n315315Mx2=-630外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算

3．建立Mx－x坐標(biāo)系，畫出扭矩圖建立Mx－x坐標(biāo)系，其中x軸平行于圓軸的軸線，Mx軸垂直于圓軸的軸線。將所求得的各段的扭矩值，標(biāo)在Mx－x坐標(biāo)系中，得到相應(yīng)的點(diǎn)，過這些點(diǎn)作x軸的平行線，即得到所需要的扭矩圖。

315630Mx/N.mOx486630486BACD3153151116486150015002000315剪應(yīng)力成對定理第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算返回返回總目錄第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算剪應(yīng)力成對定理剪切胡克定律

zyxdxdydz微元能不能平衡？

作用在左右兩側(cè)面上的剪應(yīng)力乘以它們作用的面積，形成一對大小相等方向相反的力，這一對力組成一力偶，因而微元不能平衡。

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算剪應(yīng)力成對定理剪切胡克定律

怎樣才能平衡？zyxdxdydz

根據(jù)力偶只能與力偶平衡的理論，微元的上下表面也必然有剪應(yīng)力存在，而且這一對剪應(yīng)力乘以它們作用的面積，同樣形成一對大小相等方向相反的力，組成一力偶，從而使微元保持平衡。

τ和τ′之間存在什么關(guān)系？第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算剪應(yīng)力成對定理剪切胡克定律

哪些力互相平衡？zyxdxdydz

應(yīng)力是內(nèi)力在一點(diǎn)的集度，應(yīng)力只有乘以它的的作用面積形成力，才能參與平衡。

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算剪應(yīng)力成對定理剪切胡克定律

剪應(yīng)力成對定理在兩個(gè)互相垂直的平面上，剪應(yīng)力必然成對存在，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩個(gè)平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線，這就是剪應(yīng)力成對定理（pairingprincipleofshearstresses）。zyxdxdydz圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算返回返回總目錄應(yīng)用平衡方法可以確定圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力分量——扭矩，但是不能確定橫截面上各點(diǎn)剪應(yīng)力的大小。為了確定橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力，在確定了扭矩后，還必須知道橫截面上的剪應(yīng)力是怎樣分布的。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算應(yīng)力分布應(yīng)力公式變形應(yīng)變分布平面假定物性關(guān)系靜力方程確定橫截面上剪應(yīng)力的方法與過程圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算

平面假定

變形協(xié)調(diào)方程

物性關(guān)系——剪切胡克定律

靜力學(xué)方程

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算

平面假定

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算假定：圓軸受扭發(fā)生變形后，其橫截面依然保持平面，兩相鄰橫截面剛性地相互轉(zhuǎn)過一角度。這一假定稱為平面假定。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算BAMeMe圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算

變形協(xié)調(diào)方程圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算dxrOBACDC'D'Mx圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算BAC'dxCDD'cdOdxcdabOc'd'dxrOBACDC'D'Mx圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算O若將圓軸用同軸柱面分割成許多半徑不等的圓柱，根據(jù)上述結(jié)論，在dx長度上，雖然所有圓柱的兩端面均轉(zhuǎn)過相同的角度d，但半徑不等的圓柱上產(chǎn)生的剪應(yīng)變各不相同，半徑越小者剪應(yīng)變越小。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算BAC'dxCDD'cdOdxcdabOc'd'O設(shè)到軸線任意遠(yuǎn)處的剪應(yīng)變?yōu)椋ǎ?，則從圖中可得到如下幾何關(guān)系：

BAC'dxCDD'cdOdxcdabOc'd'O圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算

物性關(guān)系——剪切胡克定律圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算O剪切胡克定律當(dāng)在彈性范圍內(nèi)加載時(shí)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比:這種線性關(guān)系稱為剪切胡克定律。比例常數(shù)G稱為材料的切變模量。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算rOOMx圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算

靜力學(xué)方程圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算MxO圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算式中

GIP—扭轉(zhuǎn)剛度；

IP—橫截面的極慣性矩。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算rOMx圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算最大剪應(yīng)力Wp——

扭轉(zhuǎn)截面模量。rOMx圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算截面的極慣性矩與扭轉(zhuǎn)截面模量=d/D

對于直徑為d

的實(shí)心圓截面

對于內(nèi)、外直徑分別為d

和

D

的圓環(huán)截面圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算返回返回總目錄受扭圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算與抗壓桿的強(qiáng)度設(shè)計(jì)相似，為了保證圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)安全可靠地工作，必須將圓軸橫截面上的最大剪應(yīng)力max限制在一定的數(shù)值以下，即：

這一關(guān)系式稱為受扭圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，或稱圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件。

受扭圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

[

]為許用剪應(yīng)力；

max是指圓軸所有橫截面上最大剪應(yīng)力中的最大者，對于等截面圓軸，最大剪應(yīng)力發(fā)生在扭矩最大的橫截面上的邊緣各點(diǎn)；對于變截面圓軸，如階梯軸，最大剪應(yīng)力不一定發(fā)生在扭矩最大的截面，這時(shí)需要根據(jù)扭矩Mx和相應(yīng)扭轉(zhuǎn)截面模量WP的數(shù)值綜合考慮才能確定。

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,

z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:

各軸橫截面上的最大剪應(yīng)力。例題

2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min解：計(jì)算各軸的功率與轉(zhuǎn)速圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算Mx1=T1=1114N.mMx2=T2=557N.mMx3=T3=185.7N.m解：計(jì)算各軸的扭矩圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算解：計(jì)算各軸的橫截面上的最大剪應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大剪應(yīng)力不得超過40MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比=0.5。二軸長度相同。例題

3求:

實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算解：首先根據(jù)軸所傳遞的功率計(jì)算作用在軸上的扭矩實(shí)心軸圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算解：對于空心軸，則有算得d2＝0.5D2=23mm圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算解：確定實(shí)心軸與空心軸的重量之比空心軸D2＝46mmd2＝23mm實(shí)心軸d1=45mm在長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度計(jì)算

返回返回總目錄第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算受扭圓軸的相對扭轉(zhuǎn)角

圓桿受扭矩作用時(shí)，dx

微段的兩截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為相對扭轉(zhuǎn)角沿軸線方向積分，得到dxrOBACDC'D'MxBlA圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算受扭圓軸的相對扭轉(zhuǎn)角對于兩端承受集中扭矩的等截面圓軸，兩端面的相對扭轉(zhuǎn)角為：MeMe圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算BACDl1l2l3Me1Me2Me3Me4對于各段扭矩不等或截面極慣性矩不等的階梯狀圓軸，軸兩端面的相對扭轉(zhuǎn)角為：AxMe圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算AlBMemx=Me/l對于承受沿軸線方向均勻分布扭轉(zhuǎn)力偶的圓軸，兩端面的相對扭轉(zhuǎn)角為：xOxMx

(x)Me圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算單位長度的相對扭轉(zhuǎn)角在很多情形下，兩端面的相對扭矩角不能反映圓軸扭轉(zhuǎn)變形的程度，因而更多采用單位長度扭轉(zhuǎn)角表示圓軸的扭轉(zhuǎn)變形，單位長度扭轉(zhuǎn)角即扭轉(zhuǎn)角的變化率。單位長度相對扭轉(zhuǎn)角為：圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算受扭圓軸的剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則為了機(jī)械運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定和工作精度，機(jī)械設(shè)計(jì)中要根據(jù)不同要求，對受扭圓軸的變形加以限制，亦即進(jìn)行剛度設(shè)計(jì)。扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計(jì)是將單位長度上的相對扭轉(zhuǎn)角限制在允許的范圍內(nèi)，即必須使構(gòu)件滿足剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則或稱剛度條件：

對于兩端承受集中扭矩的等截面圓軸，剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則又可以寫成：

圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算受扭圓軸的剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則其中，[]

為單位長度上的許用相對扭轉(zhuǎn)角，其數(shù)值根據(jù)軸的工作要求而定。例如，精密機(jī)械的軸

[]

＝(0.25~0.5)()／m；一般傳動(dòng)軸[]

＝(0.5~1.0)()／m；剛度要求不高的軸[]

＝2（）／m。

圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算受扭圓軸的剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

需要注意的是：剛度設(shè)計(jì)中要注意單位的一致性。上式不等號(hào)左邊的單位為rad/m；而右邊通常所用的單位為()／m。因此，在實(shí)際設(shè)計(jì)中，若不等式兩邊均采用rad／m，則必須在不等式右邊乘以（π／180）；若兩邊均采用()／m，則必須在左邊乘以（180／π）。鋼制空心圓軸的外直徑D＝100mm，內(nèi)直徑d＝50mm。若要求軸在2m長度內(nèi)的最大相對扭轉(zhuǎn)角不超過1.5，材料的剪切彈性模量G＝80.4GPa。圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算例題

5

解：1．確定軸所能承受的最大扭矩根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，有

1.求該軸所能承受的最大扭矩；

2.確定此時(shí)軸橫截面上的最大剪應(yīng)力。BlAMeMedD圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算例題

5

解：1．確定軸所能承受的最大扭矩根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，有

由已知條件，許用的單位長度上相對扭轉(zhuǎn)角為空心圓軸截面的極慣性矩軸所能承受的最大扭矩為圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算例題

5軸所能承受的最大扭矩為＝9.688×103

N·m＝9.688kN·m

結(jié)論與討論返回返回總目錄第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算

圓軸強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)的一般過程

關(guān)于公式的應(yīng)用條件結(jié)論與討論第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算

矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力圓軸強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)的一般過程

結(jié)論與討論第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算

根據(jù)軸傳遞的功率以及軸每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)，確定作用在軸上的外加力偶的力偶矩。

應(yīng)用截面法確定軸的橫截面上的扭矩，當(dāng)軸上同時(shí)作用有兩個(gè)以上的繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的外加扭力矩時(shí)，需要畫出扭矩圖。

根據(jù)軸的扭矩圖，確定可能的危險(xiǎn)面以及危險(xiǎn)面上的扭矩?cái)?shù)值。校核、設(shè)計(jì)軸的直徑以及確定許用載荷。

計(jì)算危險(xiǎn)截面上的最大剪應(yīng)力或單位長度上的相對扭轉(zhuǎn)角。

根據(jù)需要，應(yīng)用強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則與剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則對圓軸進(jìn)行強(qiáng)度與剛度校核，設(shè)計(jì)軸的直徑以及確定許用載荷。結(jié)論與討論第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算需要指出的是，工程結(jié)構(gòu)與機(jī)械中有些傳動(dòng)軸都是通過與之連接的零件或部件承受外力作用的。這時(shí)需要首先將作用在零件或部件上的力向軸線簡化，得到軸的受力圖。在這種情形下，圓軸將同時(shí)承受扭轉(zhuǎn)與彎曲，而且彎曲可能是主要的。這一類圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)比較復(fù)雜。圓軸強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)的一般過程

此外，還有一些圓軸所受的外力(大小或方向)隨著時(shí)間的改變而變化。這些問題將在以后的章節(jié)中介紹。關(guān)于公式的應(yīng)用條件結(jié)論與討論第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力公式是圓軸在彈性范圍內(nèi)導(dǎo)出的，其適用條件是：

1.必須是圓軸，否則橫截面將不再保持平面，變形協(xié)調(diào)公式將不再成立。關(guān)于公式的應(yīng)用條件結(jié)論與討論第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算

2.材料必須滿足胡克定律，而且必須在彈性范圍內(nèi)加載，只有這樣，剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的正比關(guān)系才成立：二者結(jié)合才會(huì)得到剪應(yīng)力沿半徑方向線性分布的結(jié)論，才會(huì)得到反映作用力分布的剪應(yīng)力公式，即rOMx1.變形特征——翹曲扭轉(zhuǎn)后，橫截面將不再保持平面。結(jié)論與討論第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力2.由平衡直接得到的結(jié)論角點(diǎn)剪應(yīng)力等于零；邊緣各點(diǎn)剪應(yīng)力沿切線方向。結(jié)論與討論第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力3.剪應(yīng)力分布與剪應(yīng)力公式角點(diǎn)剪應(yīng)力等于零;邊緣各點(diǎn)剪應(yīng)力沿切線方向;最大剪應(yīng)力發(fā)生在長邊中點(diǎn)。結(jié)論與討論第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力長邊中點(diǎn)處短邊中點(diǎn)處結(jié)論與討論第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算3.剪應(yīng)力分布與剪應(yīng)力公式矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力h——厚度4.狹長矩形截面結(jié)論與討論第5章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度計(jì)算矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的切變模量分別為G1和G2，且G1＝2G2。圓軸尺寸如圖所示。圓軸受扭時(shí)，里、外層之間無相對滑動(dòng)。G1=2G2d2dOABOAB(B)OAB(A)OAB(D)OAB(C)Mx關(guān)于橫截面上的剪應(yīng)力分布，有圖中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四種結(jié)論，請判斷哪一種是正確的？

G2G1開放式思維案例

解：圓軸受扭時(shí)，里、外層之間無相對滑動(dòng)，這表明二者形成一個(gè)整體，同時(shí)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。根據(jù)平面假定，二者組成的組合截面，在軸受扭后依然保持平面，即其直徑保持為直線，但要相當(dāng)于原來的位置轉(zhuǎn)過一角度。開放式思維案例OABOABOABOAB(B)(A)(D)(C)G1=2G2d2dOABMxG2G1

解：因此，在里、外層交界處二者具有相同的剪應(yīng)變。由于內(nèi)層（實(shí)心軸）材料的