概率論(61~62及例題講解)

第6章

大數(shù)定理和中心極限定理6.1大數(shù)定理學(xué)校有10000個(gè)學(xué)生，平均身高為a；若隨意觀察1個(gè)學(xué)生的身高X1，則X1與a可能相差較大。若隨意觀察10個(gè)學(xué)生的身高X1,

X2,…,

X10，則10個(gè)數(shù)據(jù)的均值(X1+X2+…+X10)/10與a較接近；若隨意觀察100個(gè)學(xué)生的身高X1,

X2,…,

X100，則100個(gè)數(shù)據(jù)的均值(X1+X2+…+X100)/100與a更接近；若隨意觀察n個(gè)學(xué)生的身高X1,

X2,…,

Xn，則n個(gè)數(shù)據(jù)的均值(X1+X2+…+Xn)/n與a隨著n的增大而接近；定理1設(shè)X1,

X2,…,

Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，記它們的公共均值為a，又設(shè)它們的方差存在，并記為2，則對(duì)任意給定的>0，有意義：隨著n的增大，依概率意義講，越來(lái)越接近a而不接近a的可能性越來(lái)越小。證明需要用契比雪夫不等式。6.1.1馬爾科夫不等式

若Y是只取非負(fù)值的隨機(jī)變量，則對(duì)任意常數(shù)>0，有證明：

6.1.2契比雪夫不等式

若D(Y)存在，則對(duì)任意常數(shù)>0，有證明：

定理1的證明：6.1.3伯努利大數(shù)定理(頻率收斂于概率)設(shè)pn是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的頻率，在每次試驗(yàn)中P(A)=p是常數(shù)，則對(duì)任意正數(shù)>0，有意義：隨著n的增大，依概率意義講，頻率pn越來(lái)越接近概率p，而pn不接近p的可能性越來(lái)越小。不能說(shuō)：因?yàn)榭赡苡衟np情形(雖然這些例外情形出現(xiàn)的概率趨于0)。證明：6.2中心極限定理設(shè)X1,

X2,…,

Xn是一系列隨機(jī)變量，通常把論證

和函數(shù)X1+X2+…+Xn的分布收斂于正態(tài)分布的這類定理叫做“中心極限定理”.定理2(林德伯格定理)設(shè)X1,

X2,…,

Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，它們有相同均值為E(Xi)=a，它們有相同方差為D(Xi)=2(0<<+),則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有(證明略)說(shuō)明：和函數(shù)Yn=X1+X2+…+Xn

E(Yn)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)=naD(Yn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)=n2

將Yn“標(biāo)準(zhǔn)化”：“標(biāo)準(zhǔn)化”后的和函數(shù)的分布函數(shù)Fn(x):和函數(shù)X1+X2+…+Xn在“標(biāo)準(zhǔn)化”后的分布函數(shù)Fn(x)，隨著n的增大，F(xiàn)n(x)逐漸趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。值得注意的是，每個(gè)Xi的概率分布可以是未知的，不

一定是正態(tài)分布。

意義：若有無(wú)數(shù)多種因素X1,

X2,…,

Xn相互影響，每個(gè)因素的影響都很小，則所有這些因素的綜合影響可認(rèn)為是Y=X1+X2+…+Xn+…,則這些綜合影響的結(jié)果呈現(xiàn)出正態(tài)分布。

所以在自然界中很多問(wèn)題都可用正態(tài)分布研究。定理3(棣莫弗-拉普拉斯定理)設(shè)X1,

X2,…,

Xn是獨(dú)立同分布(0-1分布)的隨機(jī)變量，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p(0<p<1)i=1,2,…

則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有

證明：由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)i=1,2,….

代入定理2的公式，a=p,=有設(shè)Yn是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，在每次試驗(yàn)中P(A)=p是常數(shù)(0<p<1),Yn~B(n,p).設(shè)Xi是第i次試驗(yàn)時(shí)A出現(xiàn)的次數(shù)，則Xi服從0-1分布，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p(0<p<1)i=1,2,…

Yn=X1+X2+…+Xn

所以定理3的另一種描述方式：定理3的另一說(shuō)法(棣莫弗-拉普拉斯定理)

設(shè)Yn是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，在每次試驗(yàn)中P(A)=p是常數(shù)(0<p<1),Yn~B(n,p).

則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有這說(shuō)明：若Yn服從二項(xiàng)分布B(n,p)，計(jì)算P(t1≤Yn≤t2)可用正態(tài)分布近似計(jì)算。若X1,

X2,…,

Xn是獨(dú)立的0-1分布的隨機(jī)變量，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p(0<p<1)i=1,2,…

計(jì)算P(t1≤X1+X2+…+Xn≤t2)可用正態(tài)分布近似計(jì)算。當(dāng)n較小時(shí)，誤差較大，公式可修正為例6-2設(shè)某地區(qū)原有一家小電影院，現(xiàn)擬籌建一所較大的電影院。根據(jù)分析，該地區(qū)每天平均看電影者約有n=1600人，預(yù)計(jì)新電影院開(kāi)業(yè)后，平均約有3/4的觀眾將去新電影院。現(xiàn)計(jì)劃其座位數(shù)，要求座位數(shù)盡可能多，但“空座達(dá)到200或更多”的概率不能超過(guò)0.1，問(wèn)設(shè)多少座位為好？解：設(shè)每天看電影的人編號(hào)1,2,3,…,1600,且令

假設(shè)各觀眾去不去電影院是獨(dú)立選擇的。則X1,

X2,…,

X1600是獨(dú)立的0-1分布的隨機(jī)變量。設(shè)座位數(shù)是m，按要求有

P(X1+X2+…+X1600≤m-200)≤0.1要在此條件下m最大，就是在上式取等號(hào)時(shí)。解法2：設(shè)n=1600人中去新影院的人數(shù)為X，每個(gè)觀眾選擇去新影院的概率為3/4，則X~B(1600,3/4)設(shè)座位數(shù)是m，按要求有:P(X≤m-200)≤0.1要在此條件下m最大，就是在上式取等號(hào)時(shí)。例（合作問(wèn)題）設(shè)有同類設(shè)備200臺(tái)，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，并且一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來(lái)處理，試求由4個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修200臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率。解：設(shè)Y為200臺(tái)設(shè)備中在同一小時(shí)內(nèi)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則Y~B(200,0.01)np=2000.01=2,npq=20.99=1.98設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率=P(Y≥5)

例題講解一、設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，其分布列分別為則下列各式正確的是

。X=Y(2)P(X=Y)=1/2(3)P(X=Y)=0(4)P(X=Y)=1解：雖然X和Y是相同的分布，但不寫成X=Y；P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1)=P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)=0.50.5+0.50.5=0.5選答案(2)二、設(shè)X,Y滿足D(X+Y)=D(X-Y),則X,Y必有

.解：因?yàn)镈(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)

由于D(X+Y)=D(X-Y)得2cov(X,Y)=-2cov(X,Y)cov(X,Y)=0

X,Y不相關(guān)。三、設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布,且P(X=k)=1/3,k=1,2,3

又設(shè)X=max(X,Y),Y=min(X,Y).試(1)寫出(X,Y)的聯(lián)合分布律；(2)求E(X)解:(1)由于X=1,2,3,Y=1,2,3所以，X=1,2,3;Y=1,2,3當(dāng)i>j時(shí)，P(X=i,Y=j)=P(max(X,Y)=i,min(X,Y)=j)=P(X=i,Y=j)+P(X=j,Y=i)=P(X=i)P(Y=j)+P(X=j)P(Y=i)=(1/3)(1/3)+(1/3)(1/3)=2/9當(dāng)i=j時(shí)，P(X=i,Y=j)=P(max(X,Y)=i,min(X,Y)=j)=P(X=i,Y=i)=P(X=i)P(Y=i)=(1/3)(1/3)=1/9當(dāng)i<j時(shí)，P(X=i,Y=j)=P(max(X,Y)=i,min(X,Y)=j)=0(X,Y)的聯(lián)合概率分布律：(2)XY12311/90022/91/9032/92/91/9四、對(duì)隨機(jī)變量X和Y，已知E(X)=-2,E(Y)=2,D(X)=1,D(Y)=4,X與Y的相關(guān)系數(shù)r=-0.5由契比雪夫不等式所能確定的最小正數(shù)c為何值(其中c滿足不等式P{|X+Y|≥6}≤c)解：E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2r=1+4+2(-0.5)12=3P{|(X+Y)-E(X+Y)|≥6}≤D(X+Y)/62P{|X+Y|≥6}≤3/62=1/12c=1/12五、設(shè)某班車起點(diǎn)站上人數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布，且中途不再有人上車。而車上每位乘客在中途下車的概率為p(0<p<1)，且中途下車與否相互獨(dú)立，以Y表示在中途下車的人數(shù)。試求(1)(X,Y)的聯(lián)合分布律；(2)求Y的分布律解:(1)X~P(),當(dāng)X=n時(shí)，Y~B(n,p)P(Y=k|X=n)=Cnkpk(1-p)n-kk=0,1,2,…,n

當(dāng)n<k時(shí)，P(X=n,Y=k)=0當(dāng)n≥k時(shí)，P(X=n,Y=k)=P(X=n)P(Y=k|X=n)

(X,Y)的聯(lián)合分布律為：X=n=0,1,2,3,…Y=k=0,1,2,3,…(2)六、設(shè)Xn~B(n,p).(0<p<1,n=1,2,…)則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有解：七、(習(xí)題5-2)設(shè)X服從幾何分布

P(X=k)=pqk(k=0,1,2,…0<p<1,q=1-p)

求EX,DX解：八、(習(xí)題5-5)證明：當(dāng)t=EX時(shí)，g(t)=E(X-t)2最小，這個(gè)最小值是DX解：g(t)=E(X-t)2

=E(X2-2Xt+t2)=EX2-2tEX+E(t2)=EX2-2tEX+t2=EX2-(EX)2+(EX)2-2tEX+t2=DX+(t-EX)2≥DX當(dāng)t=EX時(shí)，g(t)=DX是最小值.九、(習(xí)題5-6)證明：在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)X的方差DX≤1/4解：X~B(1,p)