高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線(xiàn)與方程 第2章2

2．2橢圓2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.能用標(biāo)準(zhǔn)方程判斷曲線(xiàn)是不是橢圓．[知識(shí)鏈接]命題甲：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離之和PA＋PB＝2a(a>0且a為常數(shù))；命題乙：點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且A、B是橢圓的焦點(diǎn)，則命題甲是命題乙的________條件．答案必要不充分解析若P點(diǎn)的軌跡是橢圓，則一定有PA＋PB＝2a(a>0且a為常數(shù))，所以命題甲是命題乙的必要條件．若PA＋PB＝2a(a>0且a為常數(shù))，不能推出P點(diǎn)的軌跡是橢圓．這是因?yàn)椋簝H當(dāng)2a>AB時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是橢圓；而當(dāng)2a＝AB時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段AB；當(dāng)2a<AB時(shí)，P點(diǎn)無(wú)軌跡．所以命題甲不是命題乙的充分條件．綜上可知，命題甲是命題乙的必要不充分條件．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．橢圓的定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)焦點(diǎn)(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a、b、c的關(guān)系c2＝a2－b2c2＝a2－b2

要點(diǎn)一用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(3,2)))，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2,0)和(0,1)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解(1)方法一∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由橢圓的定義知2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)－0))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)－0))2)＝2eq\r(10)，∴a＝eq\r(10).又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1.方法二設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(25,4a2)＋\f(9,4b2)＝1，,a2－b2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝10，,b2＝6.))∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1.(2)方法一當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2,0)，(0,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．∵橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2,0)，(0,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0,a2)＋\f(4,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(0,b2)＝1，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，))與a>b矛盾，故舍去．綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.方法二設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．∵橢圓過(guò)(2,0)和(0,1)兩點(diǎn)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4m＝1，,n＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝1.))綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.規(guī)律方法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要“先定型，再定量”，即要先判斷焦點(diǎn)位置，再用待定系數(shù)法設(shè)出適合題意的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后由條件確定待定系數(shù)即可．當(dāng)所求橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定時(shí)，應(yīng)按焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上進(jìn)行分類(lèi)討論，但要注意a>b>0這一條件．當(dāng)已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，把橢圓的方程設(shè)成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：①列出的方程組中分母不含字母；②不用討論焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，從而簡(jiǎn)化求解過(guò)程．跟蹤演練1求適合下列條件的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－3,0)，(3,0)，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,0)；(2)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,5)，(0，－5)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和為26.解(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．因?yàn)?a＝eq\r(5＋32＋02)＋eq\r(5－32＋02)＝10,2c＝6，所以a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝52－32＝16.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．因?yàn)?a＝26,2c＝10，所以a＝13，c＝5.所以b2＝a2－c2＝144.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,169)＋eq\f(x2,144)＝1.要點(diǎn)二由方程確定曲線(xiàn)的類(lèi)型例2當(dāng)3<k<9時(shí)，指出方程eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1所表示的曲線(xiàn)．解∵3<k<9，∴9－k>0且k－3>0.(1)若9－k>k－3，即3<k<6時(shí)，則方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；(2)若9－k＝k－3，即k＝6時(shí)，則方程表示圓x2＋y2＝3；(3)若9－k<k－3，即6<k<9時(shí)，則方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．規(guī)律方法本題易錯(cuò)點(diǎn)是沒(méi)有討論“k＝6”以及焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上．跟蹤演練2方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,m－12)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2>0，,m－12>0，,m－12>m2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠0，,m≠1，,m<\f(1,2)，))故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).要點(diǎn)三與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題例3已知B、C是兩個(gè)定點(diǎn)，BC＝8，且△ABC的周長(zhǎng)等于18.求這個(gè)三角形的頂點(diǎn)A的軌跡方程．解以過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.如圖所示．由BC＝8，可知點(diǎn)B(－4,0)，C(4,0)．由AB＋AC＋BC＝18，得AB＋AC＝10＞BC＝8，因此，點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，這個(gè)橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之和2a＝10；但點(diǎn)A不在x軸上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以點(diǎn)A的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．規(guī)律方法利用橢圓的定義求軌跡方程，是先由條件找到動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的條件，看其是否符合橢圓的定義，再確定橢圓的方程．特別注意點(diǎn)A不在x軸上，因此y≠0.跟蹤演練3已知圓A：(x＋3)2＋y2＝100，圓A內(nèi)一定點(diǎn)B(3,0)，圓P過(guò)B且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程．解如圖，設(shè)圓P的半徑為r，又圓P過(guò)點(diǎn)B，∴PB＝r.又∵圓P與圓A內(nèi)切，圓A的半徑為10，∴兩圓的圓心距PA＝10－r，即PA＋PB＝10(大于AB)．∴點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓．∴2a＝10,2c＝AB＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴點(diǎn)P的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.1．設(shè)F1，F(xiàn)2為定點(diǎn)，F(xiàn)1F2＝6，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足MF1＋MF2＝6，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是________．答案線(xiàn)段解析∵M(jìn)F1＋MF2＝6＝F1F2，∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是線(xiàn)段．2．若方程eq\f(x2,25－m)＋eq\f(y2,m＋9)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案8<m<25解析依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25－m>0，,m＋9>0，,m＋9>25－m，))解得8<m<25，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是8<m<25.3．“1<m<3”是“方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1表示橢圓”的________________條件．答案即不充分又不必要解析當(dāng)方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1表示橢圓時(shí)，必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1>0，,3－m>0，,m－1≠3－m，))所以1<m<3且m≠2；當(dāng)1<m<3時(shí)，該方程不一定表示橢圓，例如當(dāng)m＝2時(shí)，方程變?yōu)閤2＋y2＝1，它表示一個(gè)圓．4．已知橢圓eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一點(diǎn)P與橢圓兩焦點(diǎn)F1、F2的連線(xiàn)夾角為直角，則PF1·PF2＝________.答案48解析依題意a＝7，b＝2eq\r(6)，c＝eq\r(49－24)＝5，F(xiàn)1F2＝2c＝10，由于PF1⊥PF2，∴由勾股定理得PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)，即PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝100.又由橢圓定義知PF1＋PF2＝2a＝14，∴(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝100，即196－2PF1·PF2＝100.解得PF1·PF2＝48.1.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)，即MF1＋MF2＝2a，當(dāng)2a>F1F2時(shí)，軌跡是橢圓；當(dāng)2a＝F1F2時(shí)，軌跡是一條線(xiàn)段F1F2；當(dāng)2a<F1F2時(shí)，軌跡不存在．2．求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般有兩種方法：可以通過(guò)待定系數(shù)法求解，也可以通過(guò)橢圓的定義進(jìn)行求解．3．用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，若已知焦點(diǎn)的位置，可直接設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程；若焦點(diǎn)位置不確定，可分兩種情況求解；也可設(shè)Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分類(lèi)討論，達(dá)到了簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則△PF1F2的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案18解析△PF1F2的周長(zhǎng)為PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c.因?yàn)?a＝10，c＝eq\r(25－9)＝4，所以周長(zhǎng)為10＋8＝18.2．橢圓eq\f(x2,25)＋y2＝1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_______．答案8解析由橢圓定義知點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是10－2＝8.3．以?xún)蓷l坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3))，則此橢圓的方程是________．答案x2＋eq\f(y2,25)＝1解析設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,25).))∴橢圓方程為x2＋eq\f(y2,25)＝1.4．設(shè)P是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上一點(diǎn)，P到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差為2，則△PF1F2是________三角形．答案直角解析由橢圓定義知PF1＋PF2＝2a＝8.又PF1－PF2＝2，∴PF1＝5，PF2＝3.又F1F2＝2c＝2eq\r(16－12)＝4，∴△PF1F2為直角三角形．5．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為_(kāi)_______．答案eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1解析設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1))運(yùn)用點(diǎn)差法，所以直線(xiàn)AB的斜率為k＝eq\f(b2,a2)，設(shè)直線(xiàn)方程為y＝eq\f(b2,a2)(x－3)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，所以x1＋x2＝eq\f(6b2,a2＋b2)＝2；又因?yàn)閍2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.6．已知P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的點(diǎn)，它到左焦點(diǎn)的距離等于它到右焦點(diǎn)距離的2倍，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是________．答案(eq\f(25,9)，±eq\f(8,9)eq\r(14))解析c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，橢圓的左焦點(diǎn)為(－3,0)、右焦點(diǎn)為(3,0)．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,25)＋\f(y2,16)＝1，,\r(x＋32＋y2)＝2\r(x－32＋y2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(25,9)，,y＝±\f(8,9)\r(14).))7．已知橢圓兩焦點(diǎn)為F1、F2，a＝eq\f(3,2)，過(guò)F1作直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的周長(zhǎng)．解如圖所示，設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，又∵a＝eq\f(3,2).∴△ABF2的周長(zhǎng)為AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝6.二、能力提升8．如果方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a＋6)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________．答案(－6，－2)∪(3，＋∞)解析∵橢圓焦點(diǎn)在x軸上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2>a＋6，,a＋6>0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2a－3>0，,a>－6，))?a>3或－6<a<－2.9．設(shè)定點(diǎn)F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足條件PF1＋PF2＝a＋eq\f(9,a)(a>0)，則點(diǎn)P的軌跡是________．答案橢圓或線(xiàn)段解析∵a＋eq\f(9,a)≥2eq\r(a·\f(9,a))＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(9,a)，即a＝3時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)a＝3時(shí)，PF1＋PF2＝6＝F1F2，點(diǎn)P的軌跡是線(xiàn)段F1F2；當(dāng)a>0，且a≠3時(shí)，PF1＋PF2>6＝F1F2，點(diǎn)P的軌跡是橢圓．10．F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且∠AF1F2＝45°，則△AF1F2的面積為_(kāi)_______．答案eq\f(7,2)解析∵eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1，∴a2＝9，b2＝7，c2＝2.∴a＝3，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(2).∴F1F2＝2eq\r(2).設(shè)AF1＝x，則AF2＝6－x，∵∠AF1F2＝45°，∴(6－x)2＝x2＋8－4eq\r(2)x·eq\f(\r(2),2).∴x＝eq\f(7,2).∴S△AF1F2＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(7,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7,2).11．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，且過(guò)點(diǎn)A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．設(shè)焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)．∵F1A⊥F2A，∴eq\o(F1A,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))＝0，而eq\o(F1A,\s\up6(→))＝(－4＋c,3)，eq\o(F2A,\s\up6(→))＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F(xiàn)2(5