質點運動學速度與加速度

運動學：動力學：靜力學：研究物體在力系作用下的平衡規(guī)律，同時也研究力的一般性質和力系的簡化方法等。（平衡方程的應用和受力分析）研究物體運動的幾何性質，而不研究引起物體運動的原因。（位移，速度，加速度，軌跡等的描述和計算）研究受力物體的運動變化與作用力之間的關系。（運動微分方程的建立和求解）§1.1引言第一章質點運動學經典力學適用范圍：弱引力場中宏觀物體的低速運動。

力學的研究對象時間：空間：時間用以表述事物之間的順序

空間用以表述事件相互之間的位形

第一章質點運動學在牛頓力學中，時間間隔和空間間隔（長度）被認為是絕對量，是獨立于所研究對象（物體）和運動而存在的客觀實在。時間的流逝與空間位置無關，空間為歐幾里德幾何空間。時間、空間和牛頓力學的絕對量時間的測量：第一章質點運動學任何具有重復性的周期過程或現(xiàn)象，都可以作為測量時間的一種鐘（例如，太陽的升沒表示天；四季的循環(huán)稱作年；月亮的盈虧是農歷的月。其他的循環(huán)過程，如雙星的旋轉、人體的脈搏、吊燈的擺動、分子的振動等等，也都可以用作測時的工具）

時間的測量：第一章質點運動學1967年10月在第十三屆國際度量衡會議上規(guī)定：位于海平面上的銫原子的基態(tài)的兩個超精細能級在零磁場中躍遷輻射的周期T與1秒的關系為

1秒=9,192,631,770T這樣的時間標準稱為原子時

用銫鐘作為計時標準，誤差若按一個周期計算，測量精度要比秒表作時計提高倍，即誤差下降到秒表的之一時間是測量得最準確的一個基本量

空間的測量：第一章質點運動學長度是空間的一個基本性質

對長度的測量，在日常的范圍中，是用各種各樣的尺，如米尺、千分尺、螺旋測微計等等。空間的測量：第一章質點運動學米：規(guī)定為通過巴黎的自北極至赤道的子午線長度 的1/10,000,000

1875年起，決定改用米原器（截面呈“X”形的鉑銥合金尺）作為長度標準。由于這樣規(guī)定的標準米不易復制，精度又不高

1960年在第十一屆國際計量大會上規(guī)定：1米等于氪86原子的兩個特定能級之間躍遷時所對應的輻射（橙色譜線）在真空中的波長λ的1,650,763.73倍。這樣規(guī)定的米叫原子米

1983年10月在第十七屆國際計量大會上規(guī)定：米是光在真空中在1/299,792,458秒的時間間隔內所傳播的路程長度光速：c=299,792,458米／秒

第一章質點運動學目前物理學中涉及的最小的時間是10-43秒，稱為普朗克時間。普朗克時間被認為是最小的時間，比普朗克時間還要小的范圍內，時間的概念可能就不再適用了。最短的時間第一章質點運動學目前，物理學中涉及的普朗克長度約為10-35米，被認為是最小的長度，意思是說，在比普朗克長度更小的范圍內，長度的概念可能就不再適用了。最小的長度牛頓力學適用范圍：微米尺度—天體尺度質點：參考物：參考坐標系：固定在參考物上的坐標架（簡稱參考系）突出了“物體具有質量”、“物體占有位置”

為了研究運動，固定坐標系的物體

§1.2質點和參考系

第一章質點運動學參考系=參考物+坐標架+鐘

質點和參考系質點近似的相對性對于某個物體，如果其大小和自轉對于所研究的具體問題可以忽略，則該物體可以近似為質點。第一章質點運動學質點和參考系

質點的位置矢量r（簡稱位矢）的大小為OP的長度，而方向從O指向P。用這個矢量就完全確定了質點P的位置其中i，j，k分別分別表示空間的三個坐標方向（軸）上的單位矢量，稱為坐標基矢。參考系的選擇是任意的，對于同一個質點的位置，用不同參考系來描寫時，則具有不同的位置矢量。就這一點，我們可以說，位置是具有相對性的物理量。第一章質點運動學質點在運動中所經過的各點在空間連成一條曲線，這條曲線我們稱之為軌跡。一般曲線方程可以表示成：軌跡可以利用曲線方程來描寫。譬如，曲線方程：就描寫了在oxy平面上半徑為R的圓周運動的軌跡。軌跡和運動學方程第一章質點運動學軌跡和運動方程我們知道，可以利用矢量方法來描寫質點M的位置。質點的位置關于時間的函數(shù)稱為運動方程，知道了這個方程等于知道了此質點運動的一切情況。質點的運動方程可以表示成：當然，也可以用坐標系中三個坐標分量來描述運動并有關系式從運動方程中消去時間t即得到軌跡的方程瞬時速度（簡稱速度）定義為：1.直線運動

§1.3速度與加速度

第一章質點運動學通常稱平均速度的絕對值為平均速率。類似地，瞬時速度的絕對值被稱為速率。質點在t1到t2時間間隔內的平均速度

位移、路程與速度這個平均速度的定義表明，平均速度是矢量。

2.三維曲線運動

第一章質點運動學位移、路程與速度質點在t1=t到t2=t+△t時間間隔內的平均速度

是在時間間隔△t內質點位置矢量的改變量，稱為位移矢量（簡稱位移）2.三維曲線運動

第一章質點運動學位移、路程與速度在△t→0的極限情況下，△r的方向趨于軌跡曲線在點1的切線方向，且位移與路程兩者的大小近似相等。這樣，我們就得到一個結論：瞬時速度的方向，就是軌跡曲線在相應點的切線方向；瞬時速度的大小，就是△t→0時平均速率的大小。由此可以定義平均速率：2.三維曲線運動

第一章質點運動學位移、路程與速度質點從

t1=t到t2=t+△t時間間隔內所走過的路程路程函數(shù)s(t)：質點從t1=0到t2=t時刻所走過的軌跡長度（標量）瞬時速度（簡稱速度）定義為：2.三維曲線運動

第一章質點運動學在國際單位制中，速度的單位是米/秒，常用的單位還有厘米/秒、千米/小時等

位移、路程與速度速度的數(shù)值大小（絕對值）稱為速率，由上式知：瞬時加速度（簡稱加速度）定義為：1.直線運動

第一章質點運動學質點在t1=t到t2=t+△t時間間隔內的平均加速度

加速度瞬時加速度（簡稱加速度）定義為：2.曲線運動

第一章質點運動學加速度質點在t1=t到t2=t+△t時間間隔內的平均加速度

在國際單位制中，加速度的單位是米/秒2，常用的單位還有厘米/秒2

等。質點做變速運動中各個時刻的速度、加速度不一定相同，它具有瞬時性第一章質點運動學速度、加速度是矢量，它具有矢量性§1.3速度與加速度

選取不同的參考系，質點的速度和加速度是不同的，它具有相對性小結：人體能承受的最大加速度為10g左右。未受專業(yè)訓練的一般人只能承受2-3g左右?！?.4直角坐標系中運動的描述

第一章質點運動學運動方程：平均速度：右圖表示的是質點做直線運動時的位置、速度和加速度關于時間的圖形。由圖上可見，當位置最大時，速度為零（此時曲線的斜率為零），同樣當速度最大時，其加速度為零。瞬時速度：直線運動第一章質點運動學直線運動平均加速度：瞬時加速度：瞬時速率：由此可見，如知道運動方程x=x(t)，則速度、加速度等皆可求得。第一章質點運動學直線運動若再知道t=0時刻質點的速度和位置：利用：如果已知質點運動的加速度：可以解得：

運動學的反問題

可以完全描述運動。第一章質點運動學1.運動方程2.速度分量式：速率：其中：曲線運動第一章質點運動學3.加速度

曲線運動分量式：第一章質點運動學運動的重要性質：運動的獨立性

運動的獨立性的實驗演示曲線運動由速度、加速度的分量表達式可以看到，描寫一個質點的復雜的曲線運動時，其某方向的坐標、速度和加速度與其它方向的坐標、速度和加速度無關，即三個方向相互無關。這種性質稱為運動的獨立性。（空間獨立性根源）第一章質點運動學如果已知：路程：

運動學的反問題

曲線運動可以完全描述運動。分量式：速度：位矢：§1.5自然坐標系中運動的描述

第一章質點運動學有時直角坐標系不是最好的坐標系，這是因為：若我們研究的運動是受約束的運動，比如火車的行駛（它不能離開鐵軌），或穿在彎曲鋼絲上的小環(huán)的運動等。這類運動往往軌跡的形狀是給定的，沿軌跡的曲線坐標系有可能是更好的坐標系。

即使我們研究運動的獨立性有效的運動，使用直角坐標系使得數(shù)學計算簡單了，但我們對其中的一些物理細節(jié)卻并不很清楚。比如，我們知道速度的方向是沿著軌跡上質點所在位置的切線方向，但加速度的方向如何？加速度的方向對速度又有何影響？于是，我們需要引入一種新的坐標系：自然坐標系。§1.5自然坐標系中運動的描述

第一章質點運動學切向加速度和法向加速度我們現(xiàn)在考慮加速度的方向。對于沿直線的運動，只有一個方向，故速度與加速度的方向都與軌跡的方向平行（對于減速運動，加速度的方向與運動方向相反，我們仍視加速度與速度方向平行，有時也稱其為反平行），如圖(a)；對于勻速圓周運動，加速度與速度方向垂直，如圖(b)；而對于一般的曲線運動，加速度的方向比較復雜，它往往與速度的方向即不平行又不垂直，如圖(c)。

由于一維的直線運動非常簡單，我們下面的討論認為質點的運動不是直線運動。

第一章質點運動學切向加速度和法向加速度速度矢量：其中是沿著軌道切向，指向運動方向的單位矢量。v(t)沒有法向分量。加速度：第一章質點運動學切向加速度和法向加速度該項沿軌跡的切向，也即是速度的方向，我們稱這一項為切向加速度。

第一章質點運動學切向加速度和法向加速度如圖知，求瞬時加速度至少需要在軌跡上取三個點。在求加速度的過程中，每次只取三個點，而不在一條直線上的三個點可以唯一確定一個平面（我們已假定了質點的運動不是直線運動），在取極限的過程中，這三個點所確定的平面也會隨之變化，最后會趨于一個極限的平面。我們認為這個極限平面與P點附近的軌跡的關系最為密切，故稱該極限平面為密切平面（簡稱密切面）。不僅如此，不在一條直線上的三個點還可以唯一確定一個圓，于是，在我們的密切面上還有一個極限圓，我們認為這個極限圓與點附近的軌跡的彎曲情況最為密切，故稱該極限圓為密切圓，又稱曲率圓，這個圓的半經稱為曲率半徑。

設我們取三個點P、Q、Q1來求加速度。第一章質點運動學切向加速度和法向加速度其中：切向加速度，表示速度大小的變化法向加速度，表示速度方向的變化于是：曲率半徑第一章質點運動學切向加速度和法向加速度加速度的大小（絕對值）：加速度：如果運動方程已知：可以求得：可得軌跡上任意一點的曲率半徑為：第一章質點運動學切向加速度和法向加速度如果以弧長s為坐標，則：可得：質點的運動在形式上與直線運動相仿，所不同的是，質點走的實際上是曲線。第一章質點運動學自然坐標系這樣構成的正交坐標系稱為自然坐標系（有的書上稱為內稟坐標系、本性坐標系、路徑坐標系等）當質點作空間運動時，它的速度向量位于軌跡上的切線方向，而加速度向量位于該點的密切平面上。第一章質點運動學圓周運動2.軌道在一個平面上則稱為勻速圓周運動。稱這樣的運動為圓周運動。若同時有常數(shù)第一章質點運動學圓周運動圓周運動的另一種描述法：

定義：角速度矢量，大小為，方向按右手系指向平行于轉軸方向。有了上述定義，則當坐標原點選在轉軸上時，如圖，有：圓周運動角量與線量的關系