高中數(shù)學人教B版第三章不等式 微課

第三章第2課時基礎鞏固一、選擇題1．已知a、b、c、d均為實數(shù)，有下列命題①若ab＜0，bc－ad＞0，則eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0；②若ab＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，則bc－ad＞0；③若bc－ad＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，則ab＞0.其中正確命題的個數(shù)是eq\x(導學號27542631)(C)A．0 B．1C．2 D．3[解析]①∵ab＜0，∴eq\f(1,ab)＜0，又∵bc－ad＞0，∴eq\f(1,ab)·(bc－ad)＜0即eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＜0，∴①錯；②∵ab＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，∴ab(eq\f(c,a)－eq\f(d,b))＞0，即：bc－ad＞0，∴②正確；③∵eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0∴eq\f(bc－ad,ab)＞0，又∵bc－ad＞0，∴ab＞0，∴③正確．2．已知函數(shù)f(x)(0≤x≤1)的圖象為一段圓弧(如圖)，若0<x1<x2<1，則eq\x(導學號27542632)(C)A．eq\f(fx1,x1)<eq\f(fx2,x2) B．eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)C．eq\f(fx1,x1)>eq\f(fx2,x2) D．eq\f(fx1,x1)≤eq\f(fx2,x2)[解析]直線的斜率是解題的開竅點．顯然，構造點A(x1，f(x1))、B(x2，f(x2))，則線段OA、OB的斜率是kOA＝eq\f(fx1,x1)，kOB＝eq\f(fx2,x2).由圖形可以看出kOA>kOB，即eq\f(fx1,x1)>eq\f(fx2,x2).3．若a<b<0，則下列不等式不能成立的是eq\x(導學號27542633)(B)A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．2a>2bC．|a|>|b| D．(eq\f(1,2))a>(eq\f(1,2))b[解析]∵a<b，∴2a<2b，故選4．設a＋b<0，且a>0，則eq\x(導學號27542634)(A)A．a(chǎn)2<－ab<b2 B．b2<－ab<a2C．a(chǎn)2<b2<－ab D．a(chǎn)b<b2<a2[解析]∵a＋b<0，且a>0，∴0<a<－b，∴a2<－ab<b2.5．已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小關系是eq\x(導學號27542635)(B)A．a(chǎn)2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2 D．a(chǎn)2＞－a＞a＞－a2[解析]∵a2＋a<0，∴0<a2<－a，∴0>－a2>a，∴a<－a2<a2<－a，故選B．[點評]可取特值檢驗，∵a2＋a<0，即－1<a<0，令a＝－eq\f(1,2)，則a2＝eq\f(1,4)，－a2＝－eq\f(1,4)，－a＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)>eq\f(1,4)>－eq\f(1,4)>－eq\f(1,2)，即－a>a2>－a2>a，排除A、C、D，選B．6．若a>b>0，則下列不等式中總成立的是eq\x(導學號27542636)(C)A．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1) B．a(chǎn)＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)C．a(chǎn)＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)[解析]解法一：由a>b>0?0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)?a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)，故選C．解法二：(特值法)令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，排除B．二、填空題7．已知三個不等式：①ab>0；②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)；③bc>ad.以其中兩個作條件，余下一個為結論，寫出兩個能成立的不等式命題eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(①,②))?③，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(①,③))?②，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(②,③))?①中任選兩個即可.eq\x(導學號27542637)[解析]eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)>\f(d,b)))?eq\f(bc－ad,ab)＞0.若③成立，則①成立∴②③?①；若③成立即bc＞ad，若①成立，則eq\f(bc,ab)＞eq\f(ad,ab)，∴eq\f(c,a)＞eq\f(d,b)，∴①③?②；若①與②成立顯然有③成立．8．實數(shù)a、b、c、d滿足下列兩個條件：①d>c；②a＋d<b＋c.則a、b的大小關系為a<\x(導學號27542638)[解析]∵d>c，∴d－c>0，又∵a＋d<b＋c，∴b－a>d－c>0，∴b>a.三、解答題9．(1)已知c＞a＞b＞0.求證：eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b).eq\x(導學號27542639)(2)已知a、b、m均為正數(shù)，且a＜b，求證：eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).[解析](1)∵c＞a＞b＞0∴c－a＞0，c－b＞0，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(由a＞b＞0?\f(1,a)＜\f(1,b),c＞0))?eq\f(c,a)＜eq\f(c,b)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(?\f(c－a,a)＜\f(c－b,b),c－a＞0,c－b＞0))?eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b).(2)證法一：eq\f(a＋m,b＋m)－eq\f(a,b)＝eq\f(mb－a,bb＋m)，∵0＜a＜b，m＞0，∴eq\f(mb－a,bb＋m)＞0，∴eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).證法二：eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(a＋b＋m－b,b＋m)＝1＋eq\f(a－b,b＋m)＝1－eq\f(b－a,b＋m)＞1－eq\f(b－a,b)＝eq\f(a,b).證法三：∵a、b、m均為正數(shù)，∴要證eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)，只需證(a＋m)b＞a(b＋m)，只需證ab＋bm＞ab＋am，只要證bm＞am，要證bm＞am，只需證b＞a，又已知b＞a，∴原不等式成立．10．已知2<m<4,3<n<5，求下列各式的取值范圍.eq\x(導學號27542640)(1)m＋2n；(2)m－n；(3)mn；(4)eq\f(m,n).[解析](1)∵3<n<5，∴6<2n<10.又∵2<m<4，∴8<m＋2n<14.(2)∵3<n<5，∴－5<－n<－3.又∵2<m<4，∴－3<m－n<1.(3)∵2<m<4,3<n<5，∴6<mn<20.(4)∵3<n<5，∴eq\f(1,5)<eq\f(1,n)<eq\f(1,3).由2<m<4，可得eq\f(2,5)<eq\f(m,n)<eq\f(4,3).能力提升一、選擇題1．已知a、b為非零實數(shù)，且a<b，則下列命題成立的是eq\x(導學號27542641)(C)A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b2<a2bC．eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D．eq\f(b,a)<eq\f(a,b)[解析]對于A可舉反例，如－2<1，可得(－2)2>12故A錯，對于B要使ab2<a2b成立，即ab(b－a)<0成立，而此時ab的符號不確定，故B錯．對于D要使eq\f(b,a)<eq\f(a,b)成立，即eq\f(b2－a2,ab)<0成立，ab的符號也不確定．故D錯．2．某新區(qū)新建有5個住宅小區(qū)(A、B、C、D、E)，現(xiàn)要鋪設連通各小區(qū)的自來水管道，如果它們兩兩之間的線路長如下表：地名距離(km)地名ABCDEA5785B352C54D4E請問最短的管線長為eq\x(導學號27542642)(B)A．13kmC．15km[解析]因為A?B：5，B?E：2，B?C：3，E?D：4，所以最短的管線總長為5＋2＋3＋4＝14.3．若－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則α－β的取值范圍是eq\x(導學號27542643)(C)A．(－π，π) B．(0，π)C．(－π，0) D．{0}[解析]∵－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，又－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，∴－π<α－β<π，又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0.4．已知函數(shù)f(x)＝x3，x1、x2、x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值eq\x(導學號27542644)(B)A．一定大于0 B．一定小于0C．等于0 D．正負都有可能[解析]∵f(x)＝x3是單調(diào)遞增函數(shù)，x1<－x2，x2<－x3，x3<－x1，∴f(x1)<f(－x2)，f(x2)<f(－x3)，f(x3)<f(－x1)，又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x1)<－f(x2)，f(x2)<－f(x3)，f(x3)<－f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)<0，f(x2)＋f(x3)<0，f(x3)＋f(x1)<0，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.二、填空題5．設a＞b＞0，m＞0，n＞0，則p＝eq\f(b,a)，q＝eq\f(a,b)，r＝eq\f(b＋m,a＋m)，s＝eq\f(a＋n,b＋n)的大小順序是p＜r＜s＜\x(導學號27542645)[解析]取a＝4，b＝2，m＝3，n＝1，則p＝eq\f(1,2)，q＝2，r＝eq\f(5,7)，s＝eq\f(5,3)則p＜r＜s＜q(特值探路)．具體比較如下：p－r＝eq\f(b,a)－eq\f(b＋m,a＋m)＝eq\f(b－am,aa＋m)＜0，∴p＜r.∵a＞b＞0，m＞0，n＞0，∴a＋m＞b＋m＞＋n＞b＋n＞0，∴eq\f(b＋m,a＋m)＜1，eq\f(a＋n,b＋n)＞1，∴r＜s.或r－s＝eq\f(b＋m,a＋m)－eq\f(a＋n,b＋n)＝eq\f(b－ab＋a＋m＋n,a＋mb＋n)＜0.∴r＜－q＝eq\f(a＋n,b＋n)－eq\f(a,b)＝eq\f(b－a·n,bb＋n)＜0，∴s＜q.∴p＜r＜s＜q.6．若規(guī)定eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc(a、b∈R，a≠b)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))與eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb))的大小關系為>.(填“>”“＝”“<”)eq\x(導學號27542646)[解析]∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))＝a2＋b2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb))＝ab－(－ab)＝2ab，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb))＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.∵a≠b，∴(a－b)2>0，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb)).三、解答題7．如果30＜x＜42,16＜y＜24.分別求x＋y、x－2y及eq\f(x,y)的取值范圍.eq\x(導學號27542647)[解析]46＜x＋y＜66；－48＜－2y＜－32；∴－18＜x－2y＜10；∵30<x<42，eq\f(1,24)＜eq\f(1,y)＜eq\f(1,16)，∴eq\f(30,24)＜eq\f(x,y)＜eq\f(42,16)，即eq\f(5,4)＜eq\f(x,y)＜eq\f(21,8).8．已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比較an＋bn與an－1b＋abn－1的大小.eq\x(導學號27542648)[解析](an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝an－1(a－b)＋bn－1(b－a)＝(a－b)(an－1－bn－1)，(1)當a＞b＞0時，an－1＞bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，(2)當0＜a＜b時，an－1＜bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，∴對任意a＞0，b＞0，a≠b，總有(a－b)(an－1－bn－1)＞0.∴an＋bn＞an－1b＋abn－1.9．某單位組織職工去某地參觀學習，需包車前往．甲車隊說：“如領隊買全票一張，其余人可享受折優(yōu)惠．”乙車隊說：“你們屬團體票，按原價的8折優(yōu)惠．”這兩車隊的收費標準、車型都是一樣的，試根據(jù)此單位去的人數(shù)，比較兩車隊的收費哪家更優(yōu)惠.eq\x(導學號2754264