高中數(shù)學(xué)北師大版3第一章計(jì)數(shù)原理 優(yōu)秀作品

學(xué)業(yè)分層測評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．(2023·南寧高二檢測)圓上有10個(gè)點(diǎn)，過每三個(gè)點(diǎn)畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形，則一共可以畫的三角形個(gè)數(shù)為()A．720 B．360C．240 D．120【解析】確定三角形的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(3,10)＝120.【答案】D2．某電視臺(tái)連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中有3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的奧運(yùn)廣告．要求最后必須播放奧運(yùn)廣告，且2個(gè)奧運(yùn)廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有()A．120種 B．48種C．36種 D．18種【解析】最后必須播放奧運(yùn)廣告有Ceq\o\al(1,2)種，2個(gè)奧運(yùn)廣告不能連續(xù)播放，倒數(shù)第2個(gè)廣告有Ceq\o\al(1,3)種，故共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝36種不同的播放方式．【答案】C3．以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有()A．70個(gè) B．64個(gè)C．58個(gè) D．52個(gè)【解析】∵四個(gè)頂點(diǎn)共面的情況有6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面共12個(gè)，∴共有四面體Ceq\o\al(4,8)－12＝58個(gè)．故選C.【答案】C4．(2023·柳州高二檢測)將標(biāo)號(hào)為1,2，…，10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1,2，…，10的10個(gè)盒子里，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，恰好3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法種數(shù)為()A．120 B．240C．360 D．720【解析】先選出3個(gè)球有Ceq\o\al(3,10)＝120種方法，不妨設(shè)為1,2,3號(hào)球，則1,2,3號(hào)盒中能放的球?yàn)?,3,1或3,1,2兩種．這3個(gè)號(hào)碼放入標(biāo)號(hào)不一致的盒子中有2種不同的方法，故共有120×2＝240種方法．【答案】B5．(2023·桂林高二檢測)從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A．28 B．49C．56 D．85【解析】依題意，滿足條件的不同選法的種數(shù)為Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＝49種．【答案】B二、填空題6．某單位有15名成員，其中男性10人，女性5人，現(xiàn)需要從中選出6名成員組成考察團(tuán)外出參觀學(xué)習(xí)，如果按性別分層，并在各層按比例隨機(jī)抽樣，則此考察團(tuán)的組成方法種數(shù)是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62690016】【解析】按性別分層，并在各層按比例隨機(jī)抽樣，則需從10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,5)＝2100種抽法．【答案】21007．有6名學(xué)生，其中有3名會(huì)唱歌，2名會(huì)跳舞，1名既會(huì)唱歌也會(huì)跳舞．現(xiàn)在從中選出2名會(huì)唱歌的，1名會(huì)跳舞的去參加文藝演出，則共有選法________種．【解析】Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,3)＝15種．【答案】158．某球隊(duì)有2名隊(duì)長和10名隊(duì)員，現(xiàn)選派6人上場參加比賽，如果場上最少有1名隊(duì)長，那么共有________種不同的選法．【解析】若只有1名隊(duì)長入選，則選法種數(shù)為Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(5,10)；若兩名隊(duì)長均入選，則選法種數(shù)為Ceq\o\al(4,10)，故不同選法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(5,10)＋Ceq\o\al(4,10)＝714(種)．【答案】714三、解答題9．空間有10個(gè)點(diǎn)，其中有5個(gè)點(diǎn)共面(除此之外再無4點(diǎn)共面)，以每4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)四面體，問一共可作多少個(gè)四面體？【解】不考慮任何限制，10個(gè)點(diǎn)可得Ceq\o\al(4,10)個(gè)四面體．由于有5個(gè)點(diǎn)共面，這5個(gè)點(diǎn)中的任意4個(gè)點(diǎn)都不能構(gòu)成四面體，共有Ceq\o\al(4,5)種情形．所以構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,5)＝210－5＝205.10．假設(shè)在10件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少種？(1)沒有次品；(2)恰有兩件是次品；(3)至少有兩件是次品．【解】(1)沒有次品的抽法就是從7件正品中抽取5件的抽法，共有Ceq\o\al(5,7)＝21(種)．(2)恰有2件次品的抽法就是從7件正品中抽取3件，并從3件次品中抽取2件的抽法，共有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,3)＝105(種)．(3)至少有2件次品的抽法，按次品件數(shù)來分有兩類：第一類，從7件正品中抽取3件，并從3件次品中抽取2件，有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,3)種；第二類，從7件正品中抽取2件，并將3件次品全部抽取，有Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(3,3)種．按分類加法計(jì)數(shù)原理，有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(3,3)＝126(種)．能力提升]1．某單位擬安排6位員工在2023年勞動(dòng)節(jié)3天假期值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位員工中的甲不值第一日，乙不值最后一日，則不同的安排方法共有()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62690017】A．30種 B．36種C．42種 D．48種【解析】所有排法減去甲值第一日或乙值最后一日，再加上甲值第一日且乙值最后一日的排法，即有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)－2×Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＝42(種)排法．【答案】C2．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為()A．232 B．252C．472 D．484【解析】顯然該問題是一個(gè)組合問題，什么條件也不考慮共有Ceq\o\al(3,16)種取法，同一種顏色共有4Ceq\o\al(3,4)種取法，兩張紅色卡片共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,12)種取法，不同的取法有：Ceq\o\al(3,16)－4Ceq\o\al(3,4)－Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,12)＝eq\f(16×15×14,6)－16－72＝472.【答案】C3．如圖1-3-1，A，B，C，D為海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)小島連接起來，則不同的建橋方案共有________種．圖1-3-1【解析】四個(gè)小島中每兩島建一座橋共建六座橋，其中建三座橋連接四個(gè)小島符合要求的建橋方案是只要三座橋不圍成封閉的三角形區(qū)域符合要求，如橋AC，BC，BD符合要求，而圍成封閉三角形不符合要求，如橋AC，CD，DA，不符合要求，故共有Ceq\o\al(3,6)－4＝16種不同的建橋方案．【答案】164．已知一組曲線y＝eq\f(1,3)ax3＋bx＋1，其中a為2,4,6,8中的任意一個(gè)，b為1,3,5,7中的任意一個(gè)．現(xiàn)從這些曲線中任取兩條．求它們在x＝1處的切線相互平行的組數(shù)．【解】y′＝ax2＋b，曲線在x＝1處切線的斜率k＝a＋b.切線相互平行，則需它們的斜率相等，因此按照在x＝1處切線的斜率的可能取值可分為五類完成．第一類：a＋b＝5，則a＝2，b＝3；a＝4，b＝1.故可構(gòu)成2條曲線，有Ceq\o\al(2,2)組．第二類：a＋b＝7，則a＝2，b＝5；a＝4，b＝3；a＝6，b＝1.可構(gòu)成三條曲線，有Ceq\o\al(2,3)組．第三類：a＋b＝9，則a＝2，b＝7；a＝4，b＝5；a＝6，b＝3；a＝8，b＝1.可構(gòu)成四條曲線，有Ceq\o\al(2,4)組．第四類：a＋b＝11，則a＝4，b＝7；a＝6，b