高中數(shù)學(xué)人教A版第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）冪函數(shù)

第二章A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．設(shè)a＝，b＝，c＝1.50.6，則a、b、c的大小關(guān)系是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174858)(C)A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．b<a<c D．b<c<a[解析]∵∈(0,1)，∴y＝是減函數(shù)，∴，又y＝在(0，＋∞)是增函數(shù)，∴1.50.6>，∴c>a>b，故選2．下列冪函數(shù)在(－∞，0)上為減函數(shù)的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174859)(B)A．y＝xeq\s\up7(\f(1,3)) B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝xeq\s\up7(\f(1,2))[解析]函數(shù)y＝xeq\s\up7(\f(1,3))，y＝x3，y＝xeq\s\up7(\f(1,2))在各自定義域上均是增函數(shù)，y＝x2在(－∞，0)上是減函數(shù)．3．使(3－2x－x2)－eq\s\up10(\f(3,4))有意義，x的取值范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174860)(C)A．R B．x≠1且x≠3C．－3<x<1 D．x<－3或x>1[解析](3－2x－x2)－eq\s\up10(\f(3,4))＝eq\f(1,\r(4,3－2x－x23)).∴要使上式有意義，需3－2x－x2>0.解之得－3<x<1.4．(2023·廣東實(shí)驗(yàn)高一模考)下列函數(shù)中是偶函數(shù)且在(0,1)上單調(diào)遞減的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174861)(D)A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝xeq\f(1,2) D．y＝x－2[解析]y＝x3為R上的奇函數(shù)，排除A．y＝x2在(0,1)上單調(diào)遞增，排除B．y＝xeq\s\up7(\f(1,2))在(0,1)上單調(diào)遞增，排除C，故選D．5．函數(shù)y＝xα與y＝αx(α∈{－1，eq\f(1,2)，2,3})的圖象只可能是下面中的哪一個(gè)eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174862)(C)[解析]直線對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝x，曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)為y＝x－1,1≠－1.故A錯(cuò)；直線對(duì)應(yīng)函數(shù)為y＝2x，曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)為y＝xeq\s\up7(\f(1,2))，2≠eq\f(1,2).故B錯(cuò)；直線對(duì)應(yīng)函數(shù)為y＝2x，曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)為y＝x2,2＝2.故C對(duì)；直線對(duì)應(yīng)函數(shù)為y＝－x，曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)為y＝x3，－1≠3.故D錯(cuò)．6．(2023·全國(guó)卷Ⅲ文，7)已知a＝2eq\s\up7(\f(4,3))，b＝3eq\s\up7(\f(2,3))，c＝25eq\s\up7(\f(1,3))則eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174863)(A)A．b<a<c B．a(chǎn)<b<c C．b<c<a D．c<a<b[解析]a＝2eq\s\up7(\f(4,3))＝4eq\s\up7(\f(2,3))，c＝25eq\s\up7(\f(1,3))＝5eq\s\up7(\f(2,3))，又函數(shù)y＝xeq\s\up7(\f(2,3))在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以b<a<c.故選A．二、填空題7．已知冪函數(shù)f(x)＝xm2－1(m∈Z)的圖象與x軸，y軸都無(wú)交點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)的解析式是__f(x)＝x－\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174864)[解析]∵函數(shù)的圖象與x軸，y軸都無(wú)交點(diǎn)，∴m2－1≤0，解得－1≤m≤1；∵圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且m∈Z，∴m＝0，∴f(x)＝x－1.8．下列函數(shù)中，在(0,1)上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)的是__③\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174865)①y＝xeq\s\up7(\f(1,2))；②y＝x4；③y＝x－eq\s\up7(\f(2,3))；④y＝－xeq\s\up7(\f(1,3)).[解析]①中函數(shù)y＝xeq\s\up7(\f(1,2))不具有奇偶性；②中函數(shù)y＝x4是偶函數(shù)，但在[0，＋∞)上為增函數(shù)；③中函數(shù)y＝x－eq\s\up7(\f(2,3))是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上為減函數(shù)；④中函數(shù)y＝－xeq\s\up7(\f(1,3))是奇函數(shù)．故填③.三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m為何值時(shí)，f(x)：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174866)(1)是冪函數(shù)；(2)是正比例函數(shù)；(3)是反比例函數(shù)；(4)是二次函數(shù)．[解析](1)∵f(x)是冪函數(shù)，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)若f(x)是正比例函數(shù)，則－5m－3＝1，解得m＝－eq\f(4,5).此時(shí)m2－m－1≠0，故m＝－eq\f(4,5).(3)若f(x)是反比例函數(shù)，則－5m則m＝－eq\f(2,5)，此時(shí)m2－m－1≠0，故m＝－eq\f(2,5).(4)若f(x)是二次函數(shù)，則－5m即m＝－1，此時(shí)m2－m－1≠0，故m＝－1.10．已知函數(shù)f(x)＝xm－eq\f(2,x)且f(4)＝eq\f(7,2).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174867)(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判斷f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性，并給予證明．[解析](1)因?yàn)閒(4)＝eq\f(7,2)，所以4m－eq\f(2,4)＝eq\f(7,2)，所以m＝1.(2)由(1)知f(x)＝x－eq\f(2,x)，因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，又f(－x)＝－x－eq\f(2,－x)＝－(x－eq\f(2,x))＝－f(x)．所以f(x)是奇函數(shù)．(3)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，設(shè)x1＞x2＞0，則f(x1)－f(x2)＝x1－eq\f(2,x1)－(x2－eq\f(2,x2))＝(x1－x2)(1＋eq\f(2,x1x2))，因?yàn)閤1＞x2＞0，所以x1－x2＞0,1＋eq\f(2,x1x2)＞0，所以f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)．B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝(m2－m＋1)xm2＋2m－3是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174868)(A)A．0 B．1 C．2 D．[解析]由m2－m＋1＝1，得m＝0或m＝1，再把m＝0和m＝1分別代入m2＋2m－3＜0檢驗(yàn)，得m＝0，故選2．a(chǎn)＝eq\s\up7(\f(1,2))，b＝－eq\s\up7(\f(1,2))，c＝eq\s\up7(\f(1,2))的大小關(guān)系是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174869)(D)A．c<a<b B．a(chǎn)<c<b C．b<a<c D．c<b<a[解析]∵y＝xeq\s\up7(\f(1,2))是增函數(shù)，∴eq\s\up7(\f(1,2))>(eq\f(1,)eq\s\up7(\f(1,2))>eq\s\up7(\f(1,2))，即a>b>c.3.如圖所示，曲線C1與C2分別是函數(shù)y＝xm和y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則下列結(jié)論正確的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174870)(A)A．n＜m＜0 B．m＜n＜0 C．n＞m＞0 D．m＞n＞[解析]由圖象可知，兩個(gè)函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，所以m＜0，n＜0.4．當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，冪函數(shù)y＝xα的圖象在直線y＝x的下方，則α的取值范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174871)(C)A．(0,1) B．(－∞，0)C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)[解析]冪函數(shù)y＝xeq\f(1,2)，y＝x－1在(1，＋∞)上時(shí)圖象在直線y＝x的下面，即α＜0或0＜α＜1，故選C．二、填空題5．已知冪函數(shù)f(x)＝x－eq\s\up10(\f(1,4))，若f(a＋1)＜f(10－2a)，則a的取值范圍是__(3,5)\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174872)[解析]∵f(x)＝x－eq\s\up10(\f(1,4))＝eq\f(1,\r(4,x))(x＞0)，易知f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，又f(a＋1)＜f(10－2a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＞0，,10－2a＞0，,a＋1＞10－2a))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞－1，,a＜5，,a＞3.))∴3＜a＜5.6．若a＝(eq\f(1,2))eq\s\up7(\f(2,3))，b＝(eq\f(1,5))eq\s\up7(\f(2,3))，c＝(eq\f(1,2))eq\s\up7(\f(1,3))，則a、b、c的大小關(guān)系是__b＜a＜\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174873)[解析]設(shè)f1(x)＝xeq\s\up7(\f(2,3))，則f1(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∵eq\f(1,2)＞eq\f(1,5)，∴a＞b.又f2(x)＝(eq\f(1,2))x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，∴a<c.C級(jí)能力拔高1．已知冪函數(shù)f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，求函數(shù)f(x)的解析式.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)69174874)[解析]∵f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，而m＝0,2時(shí)，f(x)＝x3不是偶函數(shù)，m＝1時(shí)，f(x)＝x4∴f(x)＝x4.2．冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(eq\r(2)，2)，點(diǎn)(－2，eq\f(1,4))在冪函數(shù)g(x)的圖象上.eq\x(導(dǎo)