矢量三角形法在力的平衡問題中的妙用

矢量三角形法

在力的平衡問題中的妙用

學生在解靜態(tài)平衡問題時，通常運用平行四邊形定則運算，難度不算大。可一旦轉入多個力的求和問題，對于動態(tài)平衡問題，用正交分解法取代平行四邊形法則，雖然可以使問題簡化，但計算仍顯得繁瑣。如果遇上了動態(tài)平衡的問題，因疑點增多，解破起來頗感棘手，若用矢量三角形法則求解，卻能一改平行四邊形法則和正交分解法繁瑣的計算程序，可謂之柳暗花明。下面讓我們上起來學習矢量三角形法在靜態(tài)平衡、動態(tài)平衡和運動的合成問題中的妙用.

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θ?一、矢量三角形的建立矢量三角形1：兩分力的合力為，構成平行四邊形，如圖1甲，該平行四邊形含有兩個全等的三角形，每一個三角形都包含了三個矢量的大小和方向，因此，如果我們只取其中的一個三角形，如圖1乙，利用三角形知識求力的問題，則很多力學問題就會變的簡單的多了。圖1乙中矢量三角形的數學表達式為：矢量三角形2：三個力使物體處于平衡狀態(tài)，如圖2甲，由力的平衡知識知道，F1、F2合力與力F3等大、反向，如果把F3平移到F3/的位置上，則構成如圖2乙的三角形。圖2乙中矢量三角形的數學表達式為:結論:三力合力為零的條件:1．矢量三角形在力的靜態(tài)平衡問題中的應用二、矢量三角形的解題應用若物體受到三個力（不只三個力時可以先合成三個力）的作用而處于平衡狀態(tài)，則這三個力一定能構成一個力的矢量三角形。三角形三邊的長度對應三個力的大小，夾角確定各力的方向例1.如圖所示，一個物體受到七個力的作用，其中構成一個等六邊形，已知，則求物體受到的合外力的大小。解析：根據矢量三角形1可以知道力F1、F2合力大小等于力F8，力F8與力F3合力大小等于力F7，即合力的大小等于力F7；同理可知F6

、

F5

、

F4合力的大小等于力F7，所以物體受到的合外力的大小等于例2．如圖所示，光滑的小球靜止在斜面和木版之間，已知球重為G，斜面的傾角為θ，求下列情況下小球對斜面和擋板的壓力？（1）、擋板豎直放置（2）、擋板與斜面垂直

分析與解答：小球受力如圖所示，小球在重力、斜面的支持力和擋板的支持力三個力共同的作用下處于平衡狀態(tài)，因其中兩力之和恰好與第三力大小相等方向相反，故這三個力可構成力的三角形：G N1

N2

G N2

N1

由矢量三角形的邊角關系可知：當擋板豎直放置時，N1=GtgθN2=G/cosθ當擋板與斜面垂直放置時，N1=GsinθN2=Gcosθ這樣比我們建立直角坐標，再利用正交分解法來求解就簡單多了。2．矢量三角形在力的動態(tài)平衡問題中的應用例3．如圖所示，光滑的小球靜止在斜面和豎直放置的木板之間，已知球重為G，斜面的傾角為θ，現使木板沿逆時針方向繞O點緩慢移動，求小球對斜面和擋板的壓力怎樣變化？分析與解答：分析小球受力如圖所示，小球受重力、斜面的支持力和擋板的支持力，在者三個力的作用下處于平衡狀態(tài)，這三個力可構成力的三角形（如右圖所示）擋板繞O點緩慢移動，可視為動態(tài)平衡。因擋板對小球的支持力N1的方向與水平方向之間的夾角由900緩慢變小，重力的大小和方向都不變，斜面的支持力N2的方向也不變，由矢量三角形知斜面的支持力N2必將變小，而擋板的支持力N1將先變小后變大G N2

N1

θ G N2

N1

θ G N1

N2

θ

O 例4．如圖4所示，電燈懸掛于O點，三根繩子的拉力分別為TA、TB、TC，保持O點的位置不變，繩子的懸點B也不變，則懸點A向上移動的過程中，下列說法正確的是（）A、TA、TB一直減少；B、TA一直增大，TB一直減少；C、TA先增大后減少，TB先減少后增大；D、TA先減少后增大，TB一直減少；A O B C 圖4 析：對于這道題，若用常規(guī)的正交分解法，先求出TA、TB的表達式，再分析當θ角（TA與水平方向所成的夾角）改變時TA、TB的大小變化，問題自然會變得相當復雜，而且也不能一眼就可看出正確的結果。若利用矢量三角形，可作如下的分析：若O點始終處于平衡狀態(tài)，且只受TA、TB、TC三個力作用，則這三個力構成如下圖所示的矢量三角形。在A點位置向上移動的過程中，因TC的大小和方向始終不變，TB的方向也不變，即在力的三角形中，TC的長度和方向不變，TB與TC的夾角大小不變，A點向上移動，且TA與水平方向的夾角由90度逐漸變小，由矢量三角形圖的變化可知，TA先減少后增大，而TB則一直減少。答案為D。TB

TA

TC=G 圖5 例5．如圖所示，兩個光滑的球體，直徑均為d，置于直徑為D的圓桶內，且d<D<2d，在相互接觸的三點A、B、C受到的作用力分別為F1、F2、F3，如果將桶的直徑加大，但仍小于2d，則F1、F2、F3的變化情況是（）A．F1增大，F2不變，F3增大；B．F1減少，F2不變，F3減少；C．F1減少，F2減少，F3增大；D．F1增大，F2減少，F3減少；分析：由整體法易知F2的大小不變，再隔離分析上面的小球，小球受重力G、桶向左的支持力F和下面小球斜向上的支持力N三個力的作用，且處于平衡狀態(tài)，這三個力構成矢量三角形，G的大小和方向都不變,F的方向始終水平向左，當桶的直徑增大時，N與水平方向的夾角變小，由矢量三角形圖知F增大，所以答案為A。F G N 3．構建矢量三角形，處理最值問題

：例6.

如圖所示，在輕質細線的下端懸掛一個質量為m的物體，若用力F拉物體，使細線偏離豎直方向的夾角為α角，且保持α角不變，求拉力F的最小值。解析：以m物體為研究對象，繩的張力與對m的拉力F的合力F”與物體A的重力等大反向，由于繩的張力的方向不變，根據圖解可以看出，當F垂直于力時，F取最小值。，4.構建矢量三角形，找出幾何三角形，利用三角形相似解題正確作出力的三角形后，如能判定力的三角形與圖形中已知長度的三角形（幾何三角形）相似，則可用相似三角形對應邊成比例求出三角形中力的比例關系，從而達到求未知量的目的。例7、半徑為的球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，滑輪到球面的距離為，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的點，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止，如圖1-1所示，現緩慢地拉繩，在使小球由到的過程中，半球對小球的支持力和繩對小球的拉力的大小變化的情況是（）解析：如圖所示，對小球：受力平衡，由于緩慢地拉繩，所以小球運動緩慢視為始終處于平衡狀態(tài)，其中重力不變，支持力，繩子的拉力一直在改變，但是總形成封閉的動態(tài)三角形（圖中小陰影三角形）。由于在這個三