農業(yè)工程中的計算機模擬上

農業(yè)工程中的計算機模擬1吉林大學研究生課程第一章緒論

1．1建立數學模型隨著科學技術的迅速發(fā)展，數學模型這個詞匯越來越多地出現在現代人的生產、工作和社會活動中。電氣工程師必須建立所要控制的生產過程的數學模型，用這個模型對控制裝置作出相應的設計和計算，才能實現有效的過程控制。氣象工作者為了得到準確的天氣預報，一刻也離不開根據氣象站、氣象衛(wèi)星匯集的氣壓、雨量、風速等資料建立的數學模型。生理醫(yī)學專家有了藥物濃度在人體內隨時間和空間變化的數學模型，就可以分析藥物的療效，有效地指導臨床用藥。城市規(guī)劃工作者需要建立一個包括人口、經濟、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數學模型，為領導層對城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學根據。廠長經理們要是能夠根據產品的需求狀況、生產條件和成本、貯存費用等信息，籌劃出一個合理安排生產和銷售的數學模型，一定可以獲得更大的經濟效益。就是在日?；顒尤缭L友、采購當中，人們也會談論找一個數學模型，優(yōu)化一下出行的路線。1．1建立數學模型對于廣大的科學技術人員和應用數學工作者來說，建立數學模型是溝通擺在面前的實際問題與他們掌握的數學工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁。利用數學模型研究和解決產品設計問題，開創(chuàng)了數學應用的新領域，使設計向科學化發(fā)展。馬克思曾指出：一種科學只有成功地運用數學時，才算達到真正完善的地步。人們在認識自然界的歷史長河中，并非一次就能揭示其奧秘，即使認識了其規(guī)律和原理，也不一定都能用嚴格的數學來證明和描述，需要幾代甚至長期的研究和探索，此外，還有賴于數學科學的發(fā)展。1．1建立數學模型1．1．1從現實對象到數學模型人類生活在豐富多采、變化萬千的現實世界里，無時無刻不在運用智慧和力量去認識、利用、改造這個世界，從而不斷地創(chuàng)造出日新月異、五彩繽紛的物質文明和精神文明。博覽會常常是集中展示這些成果的場所之一，那些五光十色、精美絕倫的展品給我們留下了深刻的印象。工業(yè)博覽會上，豪華、舒適的新型汽車叫人贊嘆不已；農業(yè)博覽會上，碩大、嬌艷的各種水果令人流連忘返；科技展覽廳里，大型水電站模型雄偉壯觀，人造衛(wèi)星模型高高聳立，清晰的數字和圖表顯示著電力工業(yè)的迅速發(fā)展，與整面墻壁一樣大的地圖上鮮明地標出了新建的鐵路和新辟的航線，核電站工程的彩色巨照前，手持原子結構模型的講解員深入淺出地介紹反應堆的運行機理；電影演播室里，播放著一部現代化煉鋼廠實現生產自動控制的科技影片，其中既有火花四濺的鋼坯澆鑄情景，也有展示計算機管理和控制的框圖、公式和程序。1．1建立數學模型參觀博覽會，像汽車、水果那些原封不動地從現實世界搬到展廳里的物品固然給人以親切真實的感受，可是從開闊眼界、豐富知識的角度看，電站、衛(wèi)星、鐵路、鋼廠……這些在現實世界被人們認識、建造、控制的對象，以它們的各種形式的模型一實物模型、照片、圖表、公式、程序……匯集在人們面前，這些模型在短短幾小時里所起的作用，恐怕是置身現實世界多少天也無法做到的。與形形色色的模型相對應，它們在現實世界里的原始參照物通稱為原型。本節(jié)先討論原型和模型，特別是數學模型的關系，再介紹數學模型的意義。1．1建立數學模型原型和模型原型(Prototype)和模型(Model)是一對對偶體。原型指人們在現實世界里關心、研究或者從事生產、管理的實際對象。在科技領域通常使用系統(tǒng)(System)、過程(Process)等詞匯，如機械系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、生命系統(tǒng)、社會經濟系統(tǒng)，又如鋼鐵冶煉過程、導彈飛行過程、化學反應過程、污染擴散過程、生產銷售過程、計劃決策過程等。本課程所述的現實對象、研究對象、實際問題等均指原型。模型則指為了某個特定目的將原型的某一部分信息簡縮、提煉而構造的原型替代物。1．1建立數學模型這里特別強調構造模型的目的性。模型不是原型原封不動的復制品，原型有各個方面和各種層次的特征，而模型只要求反映與某種目的有關的那些方面和層次。一個原型，為了不同的目的可以有許多不同的模型。如放在展廳里的飛機模型應該在外形上逼真，但是不一定會飛，而參加航模競賽的模型飛機要具有良好的飛行性能，在外觀上不必苛求。至于在飛機設計、試制過程中用到的數學模型和計算機模擬，則只要求在數量規(guī)律上真實反映飛機的飛行動態(tài)特性，毫不涉及飛機的實體。所以模型的基本特征是由構造模型的目的決定的。1．1建立數學模型我們已經看到模型有各種形式，用模型替代原型的方式來分類，模型可以分為物質模型(形象模型)和理想模型（抽象模型)。前者包括直觀模型、物理模型等，后者包括思維模型、符號模型、數學模型等。1）直觀模型指那些供展覽用的實物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例縮小或放大，主要追求外觀上的逼真．這類模型的效果是一目了然的。1．1建立數學模型2）物理模型主要指科技工作者為一定目的根據相似原理構造的模型，它不僅可以顯示原型的外形或某些特征，而且可以用來進行模擬實驗，間接地研究原型的某些規(guī)律．如波浪水箱中的艦艇模型用來模擬波浪沖擊下艦艇的航行性能，風洞中的飛機模型用來試驗飛機在氣流中的空氣動力學特性．有些現象直接用原型研究非常困難，更可借助于這類模型，如地震模擬裝置，核爆炸反應模擬設備等。應注意驗證原型與模型間的相似關系，以確定模擬實驗結果的可靠性。物理模型?？傻玫綄嵱蒙虾苡袃r值的結果，但也存在成本高、時間長、不靈活等缺點。3）符號模型是在一些約定或假設下借助于專門的符號、線條等，按一定形式組合起來描述原型。如地圖、電路圖、化學結構式等，具有簡明、方便、目的性強及非量化等特點。本課程要專門討論的數學模型則是由數字、字母或其他數學符號組成的，描述現實對象數量規(guī)律的數學公式、圖形或算法。1．1建立數學模型什么是數學模型數學模型應該說是每個人都十分熟悉的．早在學習初等代數的時候我們就已經用建立數學模型的方法來解決實際問題了。當然其中許多問題是老師為了教會學生知識而人為設置的．譬如你一定解過這樣的所謂“航行問題”：甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船速、水速各若干?用x、y分別代表船速和水速，可以列出方程(x+y)·30=750，(x-y)50=750實際上，這組方程就是上述航行問題的數學模型．列出方程，原問題已轉化為純粹的數學問題．方程的解x=20(公里/小時)，y=5(公里/小時)，最終給出了航行問題的答案．1．1建立數學模型當然，真正實際問題的數學模型通常要復雜得多，但是數學模型的基本內容已經包含在解這個代數應用題的過程中了。那就是：根據建立數學模型的目的和問題的背景作出必要的簡化假設(航行中設船速和水速為常數)；用字母表示待求的未知量(x、y代表船速和水速)；利用相應的物理或其它規(guī)律(勻速運動的距離等于速度乘以時間)，列出數學式子(二元一次方程)；求出數學上的解答(x=20，y=5)；用這個答案解釋原問題(船速和水速分別為20公里/小時和5公里/小時)；最后還要用實際現象來驗證上述結果。1．1建立數學模型一般地說，數學模型可以描述為，對于現實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據特有的內在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。需要指出，本課程的重點不在于介紹現實對象的數學模型(MathematicalModel)是什么樣子，而是要討論建立數學模型(MathematicalModeling)的全過程．數學模型和建立數學模型下面常簡稱為模型和建模。為什么需要數學模型數學是研究現實世界中的數量關系和空間形式的科學．它的產生和許多重大發(fā)展都是和現實世界的生產活動和其它相應學科的需要密切相關的。同時，數學作為認識和改造世界的強有力的工具，又促進了科學技術和生產建設的發(fā)展．17世紀偉大的科學家牛頓在研究力學的過程中發(fā)明了近代數學最重要的成果之—微積分，并以微積分為工具推導了著名的力學定律—萬有引力定律．這一成就是科學發(fā)展史上成功地建立數學模型的范例。1．1建立數學模型數學的特點不僅在于它的概念的抽象性、邏輯的嚴密性和結論的確定性，而且在于它的應用的廣泛性．進入20世紀以來，數學的應用不僅在它的傳統(tǒng)領域一所謂物理領域(諸如力學、電學等學科及機電、土木、冶金等工程技術)繼續(xù)取得許多重要進展，而且迅速進入了一些新領域一所謂非物理領域(諸如經濟、交通、人口、生態(tài)、醫(yī)學、社會等領域)，產生了如數量經濟學、數學生態(tài)學等邊緣學科?？梢哉J為數學在各門科學中被應用的水平，標志著這門科學發(fā)展的水平．隨著科學技術的進步，特別是電子計算機技術的迅速發(fā)展，數學已經滲透到從自然科學技術到工農業(yè)生產建設，從經濟活動到社會生活的各個領域．一般地說，當實際問題需要我們對所研究的現實對象提供分析、預報、決策、控制等方面的定量結果時，往往都離不開數學的應用，而建立數學模型則是這個過程的關鍵環(huán)節(jié)．1．1建立數學模型分析通常指定量研究現實對象的某種現象，或定量描述某種特性．例如研究不同種群的生物在同一自然環(huán)境下生存時，相互競爭和依存的現象；描述藥物濃度在人體內的變化規(guī)律以分析藥物的療效．預報一般是根據對象的固有特性預測當時間或環(huán)境變化時對象的發(fā)展規(guī)律．人口預報、天氣預報以及傳染病蔓延高潮時刻的預報可以作為這方面的例子．決策其含義很廣，譬如根據對象滿足的規(guī)律作出使某個數量指標達到最優(yōu)的決策．使經濟效益最大的價格策略，使總費用最少的設備維修方案都是這類決策．控制一般指根據對象的特征和某些指標給出盡可能滿意的控制方案．例如化工生產過程中溫度和流量的控制，利用紅綠燈對交通流進行控制等．以上列舉的關于分析、預報、決策、控制的例子，大部分將作為典型的數學模型出現在本課程的各個章節(jié)中。1．1建立數學模型雖然數學模型應用的領域十分廣泛，但是本課程以討論非物理領域中的模型為主。這是因為在一些物理領域特別是與力學、電學等學科相關的工程技術領域中，主要由物理定律所確定的數學模型已經比較成熟，一些比較深入的問題常常需要專門的知識，不可能也不便于在這本課程中討論．而數學在一些非物理領域中的應用則剛剛起步，需要研究的問題很多，并且模型的實際背景往往容易了解．這些領域可以說是應用數學的一塊廣闊的新天地．建立數學模型的全過程前面的航行問題大致描述了用建模方法解決實際問題的途徑．一般說來這一過程可以分為表述、求解、解釋、驗證幾個階段，并且通過這些階段完成從現實對象到數學模型，再從數學模型回到現實對象的循環(huán)，如圖l—1所示。

1．1建立數學模型表述(Formulation)是指根據建模的目的和掌握的信息(如數據、現象)，將實際問題翻譯成數學問題，用數學語言確切地表述出來．求解(Solution)即選擇適當的數學方法求得數學模型的解答．解釋(Interpretation)是指把數學語言表述的解答翻譯回現實對象，給出實際問題的解答．驗證(Verification)是指用現實對象的信息檢驗得到的解答，以確認結果的正確性．表述屬于歸納法，求解屬于演繹法．歸納是依據個別現象推斷一般規(guī)律，演繹則是按照一般原理考察特定對象，導出結論。因為任何事物的本質都要通過現象來反映，必然要透過偶然來表露，所以正確的歸納不是主觀、盲目的，而是有客觀基礎的，但也往往是不精細的，帶感性的，不易直接檢驗其正確性．演繹利用嚴格的邏輯推理，對解釋現象、作出科學預見具有重要意義，但是它要以歸納的結論作為公理化形式的前提，只能在這個前提下保證其正確性．因此歸納與演繹是一個辯證統(tǒng)一的過程：歸納是演繹的基礎，演繹是歸納的指導．1．1建立數學模型圖1—l揭示了現實對象和數學模型的關系．數學模型是將現實對象的信息加以翻譯、歸納的產物，它源于現實，又高于現實，因為它用精確的語言表述了對象的內在特性．數學模型經過求解、演繹，得到數學上的解答，再經過翻譯回到現實對象，給出分析、預報、決策、控制的結果．最后，這些結果必須經受實際的檢驗，完成實踐一理論一實踐這一循環(huán)．如果檢驗結果正確或基本正確，就可以用來指導實際，否則應重復上述過程。1．1建立數學模型1．1．2建立數學模型的方法和步驟

建立數學模型的途徑與方法在很大程度上和如何運用上述信息源有十分密切的關系。通常有三條建模的途徑(或方法)。（1）演繹法：這是基于先驗信息來建立數學模型的方法。即假定對實際系統(tǒng)已經有一些定理和原理可以被利用。因此可通過數學演繹和邏輯演繹來建立該系統(tǒng)的數學模型。顯然，這是一個從一般到特殊的過程，也即是將模型看作為從一組前提下，經過演繹而得出的結果。電路系統(tǒng)，動力學系統(tǒng)，及航空，航天運動系統(tǒng)等大多采用演繹法來建立它們的數學模型。由于是從—般到特殊，所以用演繹法來建立數學模型，有一個存在性問題，即是否一定能獲得一個有效的數學模型的問題。1．1建立數學模型(2)歸納法：這是基于試驗數據來建立數學模型的方法。即是從被觀測到的行為出發(fā)，然后，企圖推導出一個與觀測結果相一致的更高一級的知識，所以，這是一個從特殊到一般的過程。由于試驗數據經常是有限的，而且是不充分的，所以歸納過程中必定會要求對數據進行某種外推，這就產生了一個問題，即如何附加最少量的信息就能完成這種外推。由此，發(fā)展了許多具體的建模方法。另外，由于歸納的過程是從特殊到一般，所以建立的數學模型將不是唯一的。生理、生態(tài)、社會、經濟等系統(tǒng)，由于沒有很多先驗信息可以利用，所以多數采用這類方法。1．1建立數學模型(3)混合方法：這是一種將演繹法與歸納法結合起來使用的方法。即，可能利用一部分先驗信息來進行演繹，同時又通過搜集大量數據進行某種歸納，并對于用這兩種方法所得的模型進行比較，然后不斷完善。一般來說，這種混合方法是比較有效的。1．1建立數學模型具體講，一般說來建立數學模型的方法大體上可分為兩大類，一類是機理分析方法，二類是測試分析方法。機理分析是根據對現實對象特性的認識，分析其因果關系，找出反映內部機理的規(guī)律，建立的模型常有明確的物理或現實意義．測試分析將研究對象視為一個“黑箱”系統(tǒng)，內部機理無法直接尋求，可以測量系統(tǒng)的輸入輸出數據，并以此為基礎運用統(tǒng)計分析方法，按照事先確定的準則在某一類模型中選出一個與數據擬合得最好的模型．這種方法稱為系統(tǒng)辨識(SystemIdentification)．將這兩種方法結合起來也是常用的建模方法，即用機理分析建立模型的結構，用系統(tǒng)辨識確定模型的參數．1．1建立數學模型可以看出；用上面的那一類方法建模主要是根據我們對研究對象的了解程度和建模目的決定的．如果掌握了機理方面的一定知識，模型也要求具有反映內部特性的物理意義，那么應該以機理分析方法為主．當然，若需要模型參數的具體數值；還可以用系統(tǒng)辨識或其他統(tǒng)計，方法得到；如果對象的內部機理基本上不掌握，模型也不用于分析內部特性；譬如僅用來作輸出預報；則可以系統(tǒng)辨識方法為主．系統(tǒng)辨識是一門專門學科，需要一定的控制理論和隨機過程方面的知識。1．1建立數學模型建模要經過哪些步驟并沒有一定的模式，通常與實際問題的性質、建模的目的等有關，下面給出建模的一般步驟，如圖1—2所示。1．1建立數學模型模型準備首先要了解問題的實際背景，明確建模的目的，搜集建模必需的各種信息如現象、數據等，盡量弄清對象的特征，由此初步確定用哪一類模型；總之是做好建模的準備工作，情況明才能方法對，這一步一定不能忽視，碰到問題要虛心向從事實際工作的同志請教；盡量掌握第一手資料。1．1建立數學模型模型假設根據對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設，可以說是建模的關鍵一步．一般地說，一個實際問題不經過簡化假設，就很難翻譯成數學問題，即使可能，也很難求解．不同的簡化假設會得到不同的模型。假設作得不合理或過分簡單，會導致模型失敗或部分失敗，于是應該修改和補充假設；假設作得過分詳細，試圖把復雜對象的各方面因素都考慮進去，可能使你很難甚至無法繼續(xù)下一步的工作。通常，作假設的依據，一是出于對問題內在規(guī)律的認識，二是來自對數據或現象的分析，也可以是二者的綜合，作假設時既要運用與問題相關的物理、化學、生物、經濟等方面的知識，又要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別問題的主次，果斷地抓住主要因素，舍棄次要因素．，盡量將問題線性化、均勻化．經驗在這里也常起重要作用．寫出假設時，語言要精確；就像作習題時寫出已知條件那樣。1．1建立數學模型模型構成根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規(guī)律和適當的數學工具，構造各個量(常量和變量)之間的等式(或不等式)關系或其他數學結構．這里除需要一些相關學科的專門知識外，還常常需要較廣闊的應用數學方面的知識，以開拓思路．，當然不能要求對數學學科門門精通，而是要知道這些學科能解決哪一類問題以及大體上怎樣解決．相似類比法，即根據不同對象的某些相似性，借用已知領域的數學模型，也是構造模型的一種方法．建模時還應遵循的一個原則是，盡量采用簡單的數學工具，因為你建立的模型總是希望能有更多的人了解和使用，而不是只供少數專家欣賞．模型求解可以采用解方程、畫圖形、證明定理，邏輯運算、數值計算等各種傳統(tǒng)的和近代的數學方法，特別是計算機技術。1．1建立數學模型模型分析對模型解答進行數學上的分析，有時要根據問題的性質分析變量間的依賴關系或穩(wěn)定狀況，有時是根據所得結果給出數學上的預報，有時則可能要給出數學上的最優(yōu)決策或控制．不論哪種情況還常常需要進行誤差分析、模型對數據的穩(wěn)定性或靈敏性分析等。模型檢驗把數學上分析的結果翻譯回到實際問題，并用實際的現象、數據與之比較，檢驗模型的合理性和適用性。這一步對于建模的成敗是非常重要的，要以嚴肅認真的態(tài)度來對待．當然，有些模型如核戰(zhàn)爭模型就不可能要求接受實際的檢驗了．模型檢驗的結果如果不符合或者部分不符合實際，問題通常出在模型假設上，應該修改、補充假設，重新建模．有些模型要經過幾次反復，不斷完善，直到檢驗結果獲得某種程度上的滿意。模型應用應用的方式自然取決于問題的性質和建模的目的，這方面的內容不是本課程討論的范圍。應當指出，并不是所有建模過程都要經過這些步驟；有時各步驟之間的界限也不那么分明。建模時不應拘泥于形式上的按部就班，本課程的建模實例就采取了靈活的表述方式．1．1建立數學模型

1．1．3數學模型的特點和建模能力的培養(yǎng)我們已經看到建模是利用數學工具解決實際問題的重要手段．數學模型有許多優(yōu)點，也有弱點．建模需要相當豐富的知識、經驗和各方面的能力，同時應注意掌握分寸．下面歸納出數學模型的若干特點，在學習過程中逐步領會。模型的逼真性和可行性一般說來總是希望模型盡可能逼近研究對象，但是一個非常逼真的模型在數學上常常是難于處理的，因而不容易達到通過建模對現實對象進行分析、預報、決策或者控制的目的，即實用上不可行．另一方面，越逼真的模型常常越復雜，即使數學上能處理，這樣的模型應用時所需要的“費用”也相當高而高“費用”不一定與復雜模型取得的“效益”相匹配：所以建模時往往需要在模型的逼真性與可行性；“費用”與“效益”之間作出折衷和抉擇。1．1建立數學模型

模型的漸進性稍微復雜一些的實際問題的建模通常不可能一次成功，要經過上一節(jié)描述的建模過程的反復迭代，包括由簡到繁，也包括刪繁就簡，以獲得越來越滿意的模型．在科學發(fā)展過程中隨著人們認識和實踐能力的提高，各門學科中的數學模型也存在著一個不斷完善或者推陳出新的過程．從19世紀力學、熱學、電學等許多學科由牛頓力學的模型主宰，到20世紀愛因斯坦相對論模型的建立，是模型漸進性的明顯例證。模型的強健性模型的結構和參數常常是由對象的信息如觀測數據確定的，而觀測數據是允許有誤差的．一個好的模型應該具有下述意義的強健性：當觀測數據(或其他信息)有微小改變時，模型結構和參數只有微小變化，并且一般也應導致模型求解的結果有微小變化。1．1建立數學模型模型的可轉移性模型是現實對象抽象化、理想化的產物，它不為對象的所屬領域所獨有，可以轉移到另外的領域；在生態(tài)、經濟、社會等領域內建模就常常借用物理領域中的模型．模型的這種性質顯示了它的應用的極端廣泛性。

模型的非預制性雖然已經發(fā)展了許多應用廣泛的模型，但是實際問題是各種各樣、變化萬千的，不可能要求把各種模型做成預制品供你在建模時使用．模型的這種非預制性使得建模本身常常是事先沒有答案的問題(Open—endproblem)。在建立新的模型的過程中甚至會伴隨著新的數學方法或數學概念的產生。1．1建立數學模型模型的條理性從建模的角度考慮問題可以促使人們對現實對象的分析更全面、更深入、更具條理性，這樣即使建立的模型由干種種原因尚未達到實用的程度；對問題的研究也是有利的。模型的技藝性建模的方法與其他一些數學方法如方程解法、規(guī)劃解法等是根本不同的，無法歸納出若干條普遍適用的建模準則和技巧．有人說，建模目前與其說是一門技術，不如說是一種藝術，是技藝性很強的技巧、經驗、想象力、洞察力、判斷力以及直覺、靈感等在建模過程中起的作用往往比一些具體的數學知識更大。1．1建立數學模型模型的局限性這里有幾方面的含義．第一，由數學模型得到的結論雖然具有通用性和精確性，但是因為模型是現實對象簡化、理想化的產物，所以一旦將模型的結論應用于實際問題，就回到了現實世界，那些被忽視、簡化的因素必須考慮，于是結論的通用性和精確性只是相對的和近似的．第二，由于人們認識能力和科學技術包括數學本身發(fā)展水平的限制，還有不少實際問題很難得到有著實用價值的數學模型．如一些內部機理復雜、影響因素眾多、測量手段不夠完善、技藝性較強的生產過程，像生鐵冶煉過程，需要開發(fā)專家系統(tǒng)，與建立數學模型相結合才能獲得較滿意的應用效果，專家系統(tǒng)是一種計算機軟件系統(tǒng)，它總結專家的知識和經驗，模擬人類的邏輯思維過程，建立若干規(guī)則和推理途徑，主要是定性地分析各種實際現象并作出判斷．專家系統(tǒng)可以看成計算機模擬的新發(fā)展．第三，還有些領域中的問題今天尚未發(fā)展到用建模方法尋求數量規(guī)律的階段，如中醫(yī)診斷過程，目前所謂計算機輔助診斷也是屬于總結著名中醫(yī)的豐富臨床經驗的專家系統(tǒng)．

1．1建立數學模型在詳細分析了建立數學模型的全過程和數學模型的特點以后，我們看到用建模方法解決實際問題，首先是用數學語言表述問題即構造模型，其次才是用數學工具求解構成的模型．絕大多數數學課程如微積分、線性代數、概率論、計算方法等都是講授某一專門知識和培養(yǎng)數學運算、邏輯推理能力的，這些數學技巧主要用來求解數學模型．用數學語言表述問題，包括模型假設、模型構造等，除了要有廣博的知識(包括數學知識和各種實際知識)和足夠的經驗之外，特別需要豐富的想象力和敏銳的洞察力。想象力指人們在原有知識的基礎上，將新感知的形象與記憶中的形象相互比較、重新組合、加工處理，創(chuàng)造出新的形象，是一種形象思維活動．洞察力指人們在充分占有資料的基礎上，經過初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍棄次要因素，簡化問題的層次，對可以用哪些方法解決面臨的問題，以及不同方法的優(yōu)劣作出判斷。1．1建立數學模型類比方法和理想化方法是建模中常用的方法，它們的運用與想象力、洞察力有密切關系．類比法注意到研究對象與已熟悉的另一對象具有某些共性，比較二者相似之處以獲得對研究對象的新認識．選擇什么對象進行類比，比較哪些相似的屬性，在一定程度上是靠想象進行的．將交通流與水流類比來建立交通流模型是這方面的例子．理想化方法是從觀察和經驗中通過想象和邏輯思維，把對象簡化、純化，使其升華到理想狀態(tài)，以期更本質地揭示對象的固有規(guī)律．在一定條件下把物體看作質點，把實際位置看作數學上的點、線等都是理想化的結果。1．1建立數學模型

建模過程是一種創(chuàng)造性思維過程，除了想象、洞察、判斷這些屬于形象思維、邏輯思維范疇的能力之外。直覺和靈感往往也起著不可忽視的作用．直覺是人們對新事物本質的極敏銳的領悟、理解或推斷．靈感指在人們有意識或下意識思考過程中進發(fā)出來的猜測、思路或判斷．二者都具有突發(fā)性，且思維者本人往往說不清它的來路和道理．當由于各種限制利用已有知識難以對研究對象作出有效的推理和判斷時，憑借相似、類比、猜測、外推等思維方式及不完整、不連續(xù)、不嚴密的，帶啟發(fā)性的直覺和靈感，去“戰(zhàn)略性”地認識對象，是人類創(chuàng)造性思維的特點之一，也是人腦比按程序邏輯工作的計算機、機器人的高明之處：歷史上不乏在科學家的直覺和靈感的火花中誕生的假說、論證和定律．當然，直覺和靈感不是憑空產生的，它要求人們具有豐富的背景知識，對問題進行反復思考和艱苦探索，對各種思維方法運用嫻熟．相互討論和思想交鋒，特別是不同專業(yè)的成員之間的探討，是激發(fā)直覺和靈感的重要因素。所以由各種專門人才組成的所謂團隊工作方式(Team，work)越來越受到重視．1．1建立數學模型前面說過，建?？梢钥闯梢婚T藝術．藝術在某種意義下是無法歸納出幾條準則或方法的；一名出色的藝術家需要大量的觀摩和前輩的指教，更需要親身的實踐．類似地，掌握建模這門藝術，培養(yǎng)想象力和洞察力，一要大量閱讀、思考別人做過的模型，二要親自動手，認真做幾個實際題目．后者是更為重要的．為了這個目的本課程采用實例研究方法(Casestudies)．一方面給出在各個應用領域不同數學方法建模的大量實例，另一方面通過習題提供若干實際題目讓讀者自己練習．實例研究方法雖然不能按照嚴密的邏輯結構去討論問題，不能劃定這些方法的實用范圍，其得到的結果也并非無可置疑，但它卻是我們學習建模以解決實際問題的一種生動、有效的方法。1．1建立數學模型1．1．4數學模型的分類數學模型可以按照不同的方式分類，下面介紹常用的幾種．1)按照模型的應用領域(或所屬學科)分．如人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型等．范疇更大一些則形成許多邊緣學科如生物數學、醫(yī)學數學、地質數學、數量經濟學、數學社會學等。2)按照建立模型的數學方法(或所晨數學分支)分．如初等數學模型、幾何模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、規(guī)劃論模型等。按第一種方法分類的數學模型教科書中，著重于某一專門領域中用不同方法建立模型，而按第二方法分類的書里，是用屬于術同領域的現成的數學模型來解釋某種數學技巧的應用，在本書中我們要兼顧這兩個方面，重點放在如何應用已具備的基本數學知識在各個不同領域中建模。1．1建立數學模型3)按照模型的表現特牲又有幾種分法：確定性模型和隨機性模型取決于是否考慮隨機因素的影響．近年來隨著數學的發(fā)展，又有所謂突變性模型和模糊性模型。靜態(tài)模型和動態(tài)模型取決于是否考慮時間因素引起的變化。線性模型和非線性模型取決于模型的基本關系，如微分方程是否是線性的。離散模型和連續(xù)模型指模型中的變量(主要是時間變量)取為離散還是連續(xù)的。

1．1建立數學模型雖然從本質上講大多數實際問題是隨機性的、動態(tài)的、非線性的，但是由于確定性、靜態(tài)、線性模型容易處理；并且往往可以作為初步的近似來解決問題；所以建摸時常先考慮確定性、靜態(tài)、線性模型．連續(xù)模型便于利用微積分方法求解析解，作理論分析，而離散模型便于在計算機上作數值計算，所以用哪種模型要看具體問題而定．在具體的建模過程中將連續(xù)模型離散化，或將離散變量視作連續(xù)，也是常采用的方法。1．1建立數學模型4）按照建模目的分有描述模型、分析模型、預報模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。5）按照對模型結構的了解程度分．有所謂白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。這是把研究對象比喻成一只箱子里的機關，要通過建模來揭示它的奧妙：白箱主要包括用力學、熱學、電學等一些機理相當清楚的學科描述的現象以及相應的工程技術問題、這方面的模型大多已經基本確定，還需深人研究的主要是優(yōu)化設計和控制等問題了。灰箱主要指生態(tài)、氣象；、經濟、交通等領域中機理尚不十分清楚的現象，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做．至于黑箱則主要指生命科學和社會科學等領域中一些機理(數量關系方面)很不清楚的現象，有些工程技術問雖然主要基于物理、化學原理，但由于因素眾多、關系復雜和觀測困難等原因也常作為灰箱或黑箱模型處理．當然，白、灰；黑之向并沒有明顯的界限，而且隨著科學技術的發(fā)展，箱子的“顏色”必然是逐漸由暗變亮的。1．2計算機仿真技術1．2．1計算機仿真的步驟及其分類“仿真”一詞對應的英文通常是Simulation，它的另一個曾譯名是“模擬”。1961年，G．W．摩根赫持(G.W.Morgenthater)首次對“仿真”一詞作了技術性解釋，他認為，“仿真”意指在實際系統(tǒng)尚不存在的情況下，對系統(tǒng)或活動的復現。多年來，仿真技術的發(fā)展使人的認識與概念得以深化。這種演變過程在A.艾倫（A.Alan)，B.普里斯基（B.Pritsker)撰寫的“仿真定義的匯編”一文中得到了集中反映。1．2計算機仿真技術計算機仿真是近三十年發(fā)展起來的一門綜合性技術科學。有許多人給“仿真”下過定義，但是比較流行的定義是：“仿真就是利用模型對實際系統(tǒng)進行實驗研究的過程”。這里強調的是對模型的實驗研究，所以，通常根據模型的種類將仿真分為兩類：物理仿真與數字仿真。如果采用的是物理模型，則稱為物理仿真。比如，為了研究飛機各部分在飛行過程中受力情況，可以仿照真實飛機的外形，制造出一個比真飛機小很多倍的飛機模型，然后在風洞實驗室中進行風洞實驗。如果采用的是數學模型，則稱作數字仿真。比如，可以設法利用流體力學等學科中的有關原理及一些實驗數據來建立谷物清選時受力的數學模型，然后對這個數學模型進行“解算”，進而分析清選機各部分受力的情況。各種類型的計算機可以方便地用來對數學模型進行“解算”工作，所以，計算機是數字仿真的主要工具。正因為數字仿真離不開計算機，因此，數字仿真又稱為“計算機仿真”。1．2計算機仿真技術計算機仿真的分類方法很多。按仿真對象的信號流來分，可分為連續(xù)系統(tǒng)仿真和離散系統(tǒng)仿真。按描述系統(tǒng)的模型來分，可分為全物理仿真、計算機仿真和半物理仿真。按有無實物參加仿真實驗來分，可分為純計算機仿真(無實物參加)與半實物仿真(有實物參加)。按仿真試驗時的時間標尺τ與實際時間標尺t之間的比例關系來分，可分為實時仿真(τ／t=1)、欠實時仿真(τ/t>1)，以及超實時仿真(τ>t<1)。若按仿真計算機的種類來分，可分為模擬計算機仿真、數字計算機仿真及混合計算機仿真。1．2計算機仿真技術

1．2．1．1計算機仿真的步驟計算機仿真就是建立系統(tǒng)的數學模型并將數學模型放到計算機上進行實驗。因此，進行一次完整的計算機仿真，需要經過以下七步：(1)系統(tǒng)定義：根據仿真的目的確定所研究系統(tǒng)的邊界及約束條件；(2)建立模型：把實際系統(tǒng)抽象成數學公式或流程圖；(3)模型變換：將數學模型轉變成計算機能接受的形式(稱為仿真模型)；(4)設計仿真試驗：包括要輸入哪些信號，改變哪些參數，記錄哪些變量等；(5)模型裝載：將模型輸入給計算機；(6)仿真實驗：對模型進行各種規(guī)定的實驗；(7)仿真報告：對仿真的數據進行分析，整理、列出仿真報告。1．2計算機仿真技術從仿真技術來看，我們可以將以上七步分成三個主要階段：(1)建模階段；(2)模型變換階段；(3)模型試驗階段。在建模階段，主要是根據研究目的，系統(tǒng)的先驗知識以及實驗觀測的數據建立系統(tǒng)的數學模型。我們將這一階段的—技術稱作建模技術或建模方法學。在模型變換階段，主要是根據原始數學模型的形式、計算機的類型以及仿真目的將原始數學模型轉變成適合于計算機處理的形式。我們將這一階段的技術稱為仿真算法。在模型試驗階段，主要是要設計好一個試驗的流程，然后對模型進行裝載，并使它在計算機．上運轉起來。同時要記錄模型運行中各個變量的變化情況，最后，按試驗要求整理成報告并輸出。對于數字計算機仿真來講，因為這些工作都是由軟件完成的，因此，這一階段的技術被稱為仿真軟件技術。1．2計算機仿真技術以上三個主要階段及其技術內容可以用圖1—3來表示。關于建模方法，我們將在第二章中作介紹；關于仿真算法，則將在第三章中介紹，另外，上述七步與仿真時所采用的計算機類型有著密切的關系，關于這一點，我們將在下面各節(jié)中分別加以介紹。

1．2計算機仿真技術1．2．1．2模擬計算機仿真模擬計算機是由許多運算放大器組成的模擬解算裝置。運算放大器的輸入量及輸出量都是隨時間連續(xù)變化的電壓量(稱為模擬量)，所以被稱為“模擬計算機”。另外，由這些運算放大器可方便地構成加法器，積分器等運算部件，所以能快速地解算常微分方程。在模擬計算機上進行仿真有以下特點：(1)由于模擬計算機能快速地解算常微分方程，所以當采用模擬計算機仿真時，應設法將所要研究的問題歸結為解決系統(tǒng)的動態(tài)特性問題。同時，要設法建立描述系統(tǒng)特性的連續(xù)時間模型；1．2計算機仿真技術(2)由于模擬機中的運算放大器有一定的線性工作范圍(一般為±100V或±10V)，所以，在模型變換階段，必須合理地選擇仿真時間比例尺及各變量的幅度比例尺，然后，畫出系統(tǒng)的模擬圖。最后，確定模擬圖中各系數器的系數；(3)由于模擬機能快速解算常微分方程，所以特別適合于重復多次地仿真研究。比如：參數優(yōu)化，統(tǒng)計分析等；(4)由于模擬計算機上的仿真模型是放在排題板上的，所以，模型裝載階段的主要工作是根據模擬圖在模擬機排題板上接線，并調整好各個系數。如果要在仿真實驗過程中修改模型，則必須修改接線及重新調整系數器。這些工作，可以采用手動，也可以自動進行，但是后者將大大提高模擬機的造價。1．2計算機仿真技術1．2．1．3數字計算機仿真雖然早期的仿真工作主要采用模擬計算機，但是六十年代以后，由于數字計算機的飛速發(fā)展，現在已逐漸取代模擬計算機。數字計算機已成為仿真技術的主要工具，而且，由于數值分析技術及軟件技術的發(fā)展，使仿真領域不斷擴大。用數字計算機進行仿真有如下特點：(1)由于數字計算機不僅能解算常微分方程，而且能解算各種其它復雜的數學方程，同時，還有很強的邏輯判斷能力，所以，用數字計算機進行仿真，不僅能解決系統(tǒng)動力學問題，而且可以解決系統(tǒng)中的排隊問題，管理決策問題。系統(tǒng)的數學模型也不僅限于方程模型(包括：連續(xù)時間模型，離散時間模型，詳見本章第二節(jié))，而且，可包括流程圖形式的模型。1．2計算機仿真技術(2)數字計算機中的運算是數值計算，所以，仿真模型一般應是離散模型(如用差分方程表示的離散時間模型)，為了很好地將各種原始的數學模型轉變成適合于數字機仿真的仿真模型，因此要研究各種仿真算法(詳見第二章)。(3)已經開發(fā)了大量數字計算機仿真的軟件(包括仿真軟件包及仿真語言)。因此，提高了仿真工作的自動化程度，并大大普及了仿真技術。(4)一般通用的數字計算機，只有一個中央處理器，盡管它的運算速度很高，但是，由于是串行計算，所以對一個復雜系統(tǒng)(比如，描述系統(tǒng)的微分方程階次較高)進行仿真時，將占用較多的計算機時。由于這個原因，當采用數字計算機對快速復雜系統(tǒng)進行實時仿真或超實時仿真的，將會遇到一定困難。此時就有必要采用專用的并行處理數字仿真計算機。其特點是在一臺數字計算機中，具有多個中央處理器。因此，可以大大提高仿真的速度。1．2計算機仿真技術

1．2．1．4混合計算機仿真混合計算機是一種將模擬計算機與數字計算機通過一套混合接口(如A／D、D／A轉換器)組合在一起的混合計算機系統(tǒng)。它兼有模擬計算機的快速性及數字計算機的靈活性。采用混合計算機進行仿真有以下特點：(1)混合計算機不僅能解決系統(tǒng)的動力學問題，而且也能解決許多排隊、管理、決策等問題。系統(tǒng)的數學模型也不僅限于方程模型，而且還包括流程圖形式的模型。(2)混合計算機中的仿真模型包括兩部分：一部分是放在模擬計算機上的模型；另一部分是放在數字計算機上的模型。如何分配這兩部分模型，是一件十分重要的工作。一般是由仿真試驗者事先分配的，但是，有的混合計算機能通過軟件自動加以分配。分配的原則是：充分發(fā)揮兩種計算機各自的優(yōu)勢，并使負荷大致均衡，使仿真的效率達到最高。因此，通常是將要求精度較高，變化速度較慢的部分放在數字機上，而將要求精度低，變化速度快的部分放在模擬機上。(3)混合仿真機，由于存在著兩種計算機之間信息的交換，因此，增加了仿真誤差，同時也使仿真軟件更為復雜。1．2計算機仿真技術由于本書屬于數字計算機應用技術叢書，所以我們將只限于介紹運用數字計算機的仿真技術。當然，上述的考慮也還有以下幾點原因：(1)模擬計算機雖然曾經是一種主要的仿真工具，但是，現在已經用得很少。(2)專用的并行處理仿真計算機，在國內正處于研制階段，有關它的應用則更少一些。(3)混合計算機雖然在一些航空、宇航等部門用得較多，但由于造價昂貴，難于在一般民用部門推廣。此外，目前也存在著一種逐漸被專用的并行處理仿真計算機所代替的趨勢。對于模擬計算機仿真，專用的并行處理仿真計算機以及混合計算機仿真有興趣的讀者，可分別參閱有關文獻。1．2計算機仿真技術1．2．2計算機仿真的用途由于計算機仿真是在模型上作試驗的，因此，經濟、安全、試驗周期短。這種特點使得計算機仿真技術作為分析系統(tǒng)，設計系統(tǒng)及訓練人員的一種手段和工具，已廣泛應用于幾乎是所有工程與非工程領域。例如，在工程領域中有，鋼鐵、電力，化工、石油、機械、核能、航空，航天、航海等。在非工程領域中有：生物，生態(tài)、環(huán)境，醫(yī)學、工業(yè)管理、經濟、社會、教育等。1．2．2．1計算機仿真技術在系統(tǒng)分析、設計及試驗等方面的應用通常，一個真實的系統(tǒng)從開始提出計劃到最后實現，要經歷如下幾個階段：·方案論證；·系統(tǒng)對象及現有部件的分析；·初步設計；·具體設計；·分系統(tǒng)試驗；·投入運行。1．2計算機仿真技術在上述各階段中，都需要運用計算機仿真技術。下面，簡要地描述了各階段中計算機仿真技術的應用項目。

階段應用項目方案論證對各種方案進行技術經濟比較，選擇合理方案分析研究對象及現有部件的特性，建立其數學模型，分析原系統(tǒng)的不足初步設計選擇合理的系統(tǒng)結構，確定控制器結構具體設計優(yōu)化系統(tǒng)參數，正定各部分的協(xié)調分系統(tǒng)試驗將控制器的樣機接入計算機仿真系統(tǒng)，進行仿真試驗，考核設計效果投入運行調整系統(tǒng)中各部分參數，使系統(tǒng)迅速投入運行；改進系統(tǒng)的運行參數，發(fā)展系統(tǒng)潛力據統(tǒng)計英、法聯(lián)合研制的“協(xié)和”號飛機，在整個設計過程中均采用了仿真技術，使研制周期縮短，研制費用減少。1．2計算機仿真技術1．2．2．2計算機仿真技術在訓練與教育中的應用為了提高系統(tǒng)運行的可靠性，發(fā)揮系統(tǒng)的最大潛力，要求操縱，管理系統(tǒng)的人員具有高度的熟練水平。因此，需要對這些人員進行卓有成效的訓練。利用真實系統(tǒng)進行訓練不僅缺乏安全性，而且開銷較大，周期較長。而利用計算機仿真技術構造