山西省大同市閣老山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

山西省大同市閣老山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：答案：B解析：直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，聯(lián)立方程組得，消元得，解得，和，∴|AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面積為48，選B.2.如圖，在正方體ABCD-EFGH中，下列命題中錯(cuò)誤的是

A.BD//面FHABEC丄BDC.EC丄面FHAD.異面直線BC與AH所成的角為60°參考答案：D略3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，y=x3為冪函數(shù)，是奇函數(shù)，不符合題意，對(duì)于B，y=|x-1|，不是奇函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，y=|x|-1，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）單調(diào)遞增的函數(shù)，符合題意；對(duì)于D，y=，為指數(shù)函數(shù)，不是偶函數(shù)，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，關(guān)鍵是掌握常見函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．4.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.已知，且,則x的取值范圍是（

）A．[

,4]

B.[

,4]

C.[

,3]

D.[

,3]參考答案：B6.已知偶函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R滿足f（2+x）=f（2﹣x），且當(dāng)﹣3≤x≤0時(shí)，f（x）=log3（2﹣x），則f（2015）的值為（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2015參考答案：B【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用已知關(guān)系式以及函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的周期，然后化簡(jiǎn)所求f（2015）為f（﹣1），通過函數(shù)表達(dá)式求出函數(shù)值即可．【解答】解：∵f（2+x）=f（2﹣x），∴f（4+x）=f（﹣x）．∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（x）=f（﹣x），∴f（x）=f（x+4），函數(shù)的周期為：4，∴f（2015）=f（4×504﹣1）=f（﹣1）=log33=1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．7.設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，且當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝2x－x，則有()A．f<f<f

B．f<f<fC．f<f<f

D．f<f<f參考答案：B8.有一個(gè)幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．48π B．36π C．24π D．12π參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)圓錐，代入圓錐表面積公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)圓錐，底面直徑為6，底面半徑r=3，母線長(zhǎng)l=5，故其表面積S=πr（r+l）=24π，故選：C．9.向面積為S的平行四邊形ABCD中任投一點(diǎn)M，則△MCD的面積小于的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】先求出△MCD的面積等于時(shí)，對(duì)應(yīng)的位置，然后根據(jù)幾何概型的概率公式求相應(yīng)的面積，即可得到結(jié)論【解答】解：設(shè)△MCD的高為ME，ME的反向延長(zhǎng)線交AB于F，當(dāng)“△MCD的面積等于”時(shí)，即ME，過M作GH∥AB，則滿足△MCD的面積小于的點(diǎn)在?CDGH中，由幾何概型的個(gè)數(shù)得到△MCD的面積小于的概率為；故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概型的概率公式的計(jì)算，根據(jù)面積之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．10.不等式組的解集記為,若,則的最小值是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖三角形ABC為所示，當(dāng)過A（－2,0）時(shí)取得最上值為－4二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知為銳角，則___________參考答案：【分析】先求出，再利用兩角和的正弦公式展開，帶值計(jì)算即可.【詳解】解：為銳角，則為鈍角，則，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查已知角的三角函數(shù)值求未知角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是要找到已知角和未知角之間的關(guān)系，將未知角用已知角表示出來，是基礎(chǔ)題.12.已知直角梯形ABCD中，,,,P是腰CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為____________.參考答案：13.已知復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位），滿足，則實(shí)數(shù)

，

．參考答案：2

,

14.已知均為正數(shù)，且，則的最大值為

參考答案：15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則滿足的的最小值為

．參考答案：416.f(x)=若f(x)=10,則x=_________.參考答案：-317.已知圓的參數(shù)方程為為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為,則直線截圓所得的弦長(zhǎng)是

.參考答案：圓的參數(shù)方程化為平面直角坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程化為平面直角坐標(biāo)方程為，如右圖所示，圓心到直線的距離，故圓截直線所得的弦長(zhǎng)為三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）在△ABC中，角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若b=5，sinBsinC=，求△ABC的面積S．參考答案：【考點(diǎn)】：兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦定理．【專題】：解三角形．【分析】：（I）化簡(jiǎn)已知等式可得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，即可解得cosA的值，結(jié)合范圍0＜A＜π，即可求得A的值．（II）又由正弦定理，得?sin2A═．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，又b=5，即可解得c的值，由三角形面積公式即可得解．解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0．﹣﹣﹣﹣（2分）解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣（4分）因?yàn)?＜A＜π，所以A=．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）又由正弦定理，得sinBsinC=sinA?sinA=?sin2A═．﹣（8分）解得：bc=，由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，又b=5，所以c=4或c=﹣﹣﹣﹣（10分）所以可得：S=bcsinA=bc?=bc=5或S=﹣﹣﹣﹣（12分）【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．19.對(duì)于數(shù)列：，若不改變，僅改變中部分項(xiàng)的符號(hào)，得到的新數(shù)列稱為數(shù)列的一個(gè)生成數(shù)列．如僅改變數(shù)列的第二、三項(xiàng)的符號(hào)可以得到一個(gè)生成數(shù)列．已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和．⑴寫出的所有可能值；⑵若生成數(shù)列滿足：，求的通項(xiàng)公式；⑶證明：對(duì)于給定的，的所有可能值組成的集合為：．參考答案：（1）由已知，，，∴

……2分由于∴可能值為．

…4分

（2）∵，當(dāng)時(shí)，，

…5分當(dāng)時(shí)，……6分∵是的生成數(shù)列∴；；；∴……8分在以上各種組合中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，才成立?！?分∴

………………10分（3）證法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明：①時(shí)，，命題成立。

………………11分②假設(shè)時(shí)命題成立，即所有可能值集合為：由假設(shè)，=

………………13分則當(dāng)，………………15分即或即

∴時(shí)，命題成立

……17分由①②，，所有可能值集合為。……18分

證法二：共有種情形。即

………………12分又，分子必是奇數(shù)，滿足條件的奇數(shù)共有個(gè)。

………………14分設(shè)數(shù)列與數(shù)列為兩個(gè)生成數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和，從第二項(xiàng)開始比較兩個(gè)數(shù)列，設(shè)第一個(gè)不相等的項(xiàng)為第項(xiàng)。由于，不妨設(shè)，則所以，只有當(dāng)數(shù)列與數(shù)列的前項(xiàng)完全相同時(shí)，才有?！?6分∴共有種情形，其值各不相同?！嗫赡苤当厍?，共個(gè)。即所有可能值集合為

…………18分

略20.（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin2+sinBsinC=．（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若a=，△ABC的面積為，求b+c的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【分析】（Ⅰ）求出，即可求角A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC的面積為，利用余弦定理及三角形的面積公式，求b+c的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，（2分）化簡(jiǎn)得，整理得，即，（4分）由于0＜B+C＜π，則，所以．（6分）（Ⅱ）因?yàn)?，所以bc=2．（8分）根據(jù)余弦定理得，（10分）即7=（b+c）2﹣2，所以b+c=3．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查余弦定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．21.（本小題滿分13分，（Ⅰ）問7分，（Ⅱ）問6分）某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中：（Ⅰ）兩種大樹各成活1株的概率；（Ⅱ）成活的株數(shù)的分布列與期望．參考答案：解析：設(shè)表示甲種大樹成活k株，k＝0，1，2表示乙種大樹成活l株，l＝0，1，2則，獨(dú)立.由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式有

,

.

據(jù)此算得

,

,

.

,

,

.

(Ⅰ)所求概率為.

(Ⅱ)解法一：的所有可能值為0，1，2，3，4，且

,

,

=

,

.

.綜上知有分布列01234P1/361/613/361/31/9從而，的期望為（株）解法二：分布列的求法同上令分別表示甲乙兩種樹成活的株數(shù)，則故有從而知22.如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是PC中點(diǎn)，G為AC上一點(diǎn)．

（1）求證：BD⊥FG；

（2）確定點(diǎn)G在線段AC上的位置，使FG//平面PBD，并說明理由．

（3）當(dāng)二面角B—PC—D的大小為時(shí)，求PC與底面ABCD所成角的正切值．參考答案：方法一：（I）面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

其對(duì)角線BD，AC交于點(diǎn)E，∴PA⊥BD，AC⊥BD

∴BD⊥平面APC，平面PAC，∴BD⊥FG

…………3分

（II）當(dāng)G為EC中點(diǎn)，即時(shí)，F(xiàn)G//平面PBD，

…………4分

理由如下：

連接PE，由F為PC中點(diǎn)，G為EC中點(diǎn)，知FG//PE，

而FG平面PBD，PB平面PBD，

故FG//平面PBD．

…………7分

（III）作BH⊥PC于H，連結(jié)DH，

∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，

∴△PCB≌△PCD，

∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，

…………9分

即

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角………10分

連結(jié)EH，則

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是

…………12分

方法二解：以A為原點(diǎn)，AB，AD，PA所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如