山西省大同市閣老山中學高三數學理模擬試題含解析

山西省大同市閣老山中學高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.直線與拋物線交于兩點，過兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：答案：B解析：直線與拋物線交于兩點，過兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為，聯立方程組得，消元得，解得，和，∴|AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面積為48，選B.2.如圖，在正方體ABCD-EFGH中，下列命題中錯誤的是

A.BD//面FHABEC丄BDC.EC丄面FHAD.異面直線BC與AH所成的角為60°參考答案：D略3.下列函數中，既是偶函數又在（0，+∞）單調遞增的函數是（）A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據題意，依次分析選項中函數的奇偶性與單調性，綜合即可得答案．【詳解】根據題意，依次分析選項：對于A，y=x3為冪函數，是奇函數，不符合題意，對于B，y=|x-1|，不是奇函數，不符合題意；對于C，y=|x|-1，既是偶函數又在（0，+∞）單調遞增的函數，符合題意；對于D，y=，為指數函數，不是偶函數，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性的判斷，關鍵是掌握常見函數的奇偶性與單調性，屬于基礎題．4.函數的定義域為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.已知，且,則x的取值范圍是（

）A．[

,4]

B.[

,4]

C.[

,3]

D.[

,3]參考答案：B6.已知偶函數f（x）對任意x∈R滿足f（2+x）=f（2﹣x），且當﹣3≤x≤0時，f（x）=log3（2﹣x），則f（2015）的值為（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2015參考答案：B【考點】抽象函數及其應用．【專題】計算題；轉化思想；函數的性質及應用．【分析】利用已知關系式以及函數的奇偶性求出函數的周期，然后化簡所求f（2015）為f（﹣1），通過函數表達式求出函數值即可．【解答】解：∵f（2+x）=f（2﹣x），∴f（4+x）=f（﹣x）．∵f（x）為偶函數，∴f（x）=f（﹣x），∴f（x）=f（x+4），函數的周期為：4，∴f（2015）=f（4×504﹣1）=f（﹣1）=log33=1．故選：B．【點評】本題考查抽象函數的應用，函數的奇偶性以及函數的周期性的應用，考查計算能力．7.設函數f(x)定義在實數集上，它的圖象關于直線x＝1對稱，且當x≥1時，f(x)＝2x－x，則有()A．f<f<f

B．f<f<fC．f<f<f

D．f<f<f參考答案：B8.有一個幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．48π B．36π C．24π D．12π參考答案：C【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個圓錐，代入圓錐表面積公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個圓錐，底面直徑為6，底面半徑r=3，母線長l=5，故其表面積S=πr（r+l）=24π，故選：C．9.向面積為S的平行四邊形ABCD中任投一點M，則△MCD的面積小于的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】幾何概型．【分析】先求出△MCD的面積等于時，對應的位置，然后根據幾何概型的概率公式求相應的面積，即可得到結論【解答】解：設△MCD的高為ME，ME的反向延長線交AB于F，當“△MCD的面積等于”時，即ME，過M作GH∥AB，則滿足△MCD的面積小于的點在?CDGH中，由幾何概型的個數得到△MCD的面積小于的概率為；故選C．【點評】本題主要考查幾何概型的概率公式的計算，根據面積之間的關系是解決本題的關鍵．10.不等式組的解集記為,若,則的最小值是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖三角形ABC為所示，當過A（－2,0）時取得最上值為－4二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知為銳角，則___________參考答案：【分析】先求出，再利用兩角和的正弦公式展開，帶值計算即可.【詳解】解：為銳角，則為鈍角，則，，故答案為：.【點睛】本題考查已知角的三角函數值求未知角的三角函數值，關鍵是要找到已知角和未知角之間的關系，將未知角用已知角表示出來，是基礎題.12.已知直角梯形ABCD中，,,,P是腰CD上的動點，則的最小值為____________.參考答案：13.已知復數（其中是虛數單位），滿足，則實數

，

．參考答案：2

,

14.已知均為正數，且，則的最大值為

參考答案：15.已知數列的前項和為，且，，則滿足的的最小值為

．參考答案：416.f(x)=若f(x)=10,則x=_________.參考答案：-317.已知圓的參數方程為為參數),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為,則直線截圓所得的弦長是

.參考答案：圓的參數方程化為平面直角坐標方程為，直線的極坐標方程化為平面直角坐標方程為，如右圖所示，圓心到直線的距離，故圓截直線所得的弦長為三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）在△ABC中，角A、B、C對應的邊分別是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（Ⅰ）求角A的大?。唬á颍┤鬮=5，sinBsinC=，求△ABC的面積S．參考答案：【考點】：兩角和與差的正弦函數；正弦定理．【專題】：解三角形．【分析】：（I）化簡已知等式可得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，即可解得cosA的值，結合范圍0＜A＜π，即可求得A的值．（II）又由正弦定理，得?sin2A═．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，又b=5，即可解得c的值，由三角形面積公式即可得解．解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0．﹣﹣﹣﹣（2分）解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣（4分）因為0＜A＜π，所以A=．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）又由正弦定理，得sinBsinC=sinA?sinA=?sin2A═．﹣（8分）解得：bc=，由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，又b=5，所以c=4或c=﹣﹣﹣﹣（10分）所以可得：S=bcsinA=bc?=bc=5或S=﹣﹣﹣﹣（12分）【點評】：本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，三角形面積公式的應用，屬于基本知識的考查．19.對于數列：，若不改變，僅改變中部分項的符號，得到的新數列稱為數列的一個生成數列．如僅改變數列的第二、三項的符號可以得到一個生成數列．已知數列為數列的生成數列，為數列的前項和．⑴寫出的所有可能值；⑵若生成數列滿足：，求的通項公式；⑶證明：對于給定的，的所有可能值組成的集合為：．參考答案：（1）由已知，，，∴

……2分由于∴可能值為．

…4分

（2）∵，當時，，

…5分當時，……6分∵是的生成數列∴；；；∴……8分在以上各種組合中，當且僅當時，才成立?！?分∴

………………10分（3）證法一：用數學歸納法證明：①時，，命題成立。

………………11分②假設時命題成立，即所有可能值集合為：由假設，=

………………13分則當，………………15分即或即

∴時，命題成立

……17分由①②，，所有可能值集合為?！?8分

證法二：共有種情形。即

………………12分又，分子必是奇數，滿足條件的奇數共有個。

………………14分設數列與數列為兩個生成數列，數列的前項和，數列的前項和，從第二項開始比較兩個數列，設第一個不相等的項為第項。由于，不妨設，則所以，只有當數列與數列的前項完全相同時，才有?！?6分∴共有種情形，其值各不相同。∴可能值必恰為，共個。即所有可能值集合為

…………18分

略20.（12分）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin2+sinBsinC=．（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若a=，△ABC的面積為，求b+c的值．參考答案：【考點】三角形中的幾何計算．【分析】（Ⅰ）求出，即可求角A的大?。唬á颍┤鬭=，△ABC的面積為，利用余弦定理及三角形的面積公式，求b+c的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，（2分）化簡得，整理得，即，（4分）由于0＜B+C＜π，則，所以．（6分）（Ⅱ）因為，所以bc=2．（8分）根據余弦定理得，（10分）即7=（b+c）2﹣2，所以b+c=3．（12分）【點評】本題考查三角函數知識的運用，考查三角形面積的計算，考查余弦定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．21.（本小題滿分13分，（Ⅰ）問7分，（Ⅱ）問6分）某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中：（Ⅰ）兩種大樹各成活1株的概率；（Ⅱ）成活的株數的分布列與期望．參考答案：解析：設表示甲種大樹成活k株，k＝0，1，2表示乙種大樹成活l株，l＝0，1，2則，獨立.由獨立重復試驗中事件發(fā)生的概率公式有

,

.

據此算得

,

,

.

,

,

.

(Ⅰ)所求概率為.

(Ⅱ)解法一：的所有可能值為0，1，2，3，4，且

,

,

=

,

.

.綜上知有分布列01234P1/361/613/361/31/9從而，的期望為（株）解法二：分布列的求法同上令分別表示甲乙兩種樹成活的株數，則故有從而知22.如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F是PC中點，G為AC上一點．

（1）求證：BD⊥FG；

（2）確定點G在線段AC上的位置，使FG//平面PBD，并說明理由．

（3）當二面角B—PC—D的大小為時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．參考答案：方法一：（I）面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

其對角線BD，AC交于點E，∴PA⊥BD，AC⊥BD

∴BD⊥平面APC，平面PAC，∴BD⊥FG

…………3分

（II）當G為EC中點，即時，FG//平面PBD，

…………4分

理由如下：

連接PE，由F為PC中點，G為EC中點，知FG//PE，

而FG平面PBD，PB平面PBD，

故FG//平面PBD．

…………7分

（III）作BH⊥PC于H，連結DH，

∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，

∴△PCB≌△PCD，

∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，

…………9分

即

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角………10分

連結EH，則

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是

…………12分

方法二解：以A為原點，AB，AD，PA所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如