初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課件第37課時

第37課時解直角三角形1.解直角三角形定義：在直角三角形中由已知元素求__________的過程.2.解直角三角形常用的數(shù)量關(guān)系：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，則：(1)兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝_____.未知元素90°(2)三邊之間的關(guān)系：________.(3)邊與角之間的關(guān)系：sinA＝cosB＝.cosA=sinB=,tanA=a2+b2=c23.實(shí)際問題中的常見術(shù)語.(1)仰角、俯角:在進(jìn)行測量時，視線與水平線所成角中，規(guī)定：視線在水平線_____的叫做仰角.視線在水平線_____的叫做俯角.上方下方(2)坡度:坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示，即如果把坡面與水平面的夾角記作α(叫做坡角)，那么1.在Rt△ABC中，∠C＝90°：(1)當(dāng)c＝20，∠A＝60°，則a=_____；(2)當(dāng)b＝35，∠A＝45°，則a=___；(3)當(dāng)則∠A=_____.2.如圖，一根電線桿的接線柱部分AB在陽光下的投影CD的長為1米，太陽光線與地面的夾角∠ACD=60°，則AB的長為___米.3530°3.如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖．其中AB,CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC=150°，BC的長是8m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是__m.44.如圖，一段河壩的橫斷面為梯形ABCD，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)(i=CE∶ED，單位：m)，得壩底寬AD=___m.15熱點(diǎn)考向一解直角三角形【例1】(2012·安徽中考)如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，求AB的長.【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)C作AB的高CD，在兩個直角三角形中解出AD，BD的長.【自主解答】過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∴AD=AC×cos30°=在Rt△BCD中，∵tan45°=∴BD=CD=∴AB=AD+BD=【名師助學(xué)】解直角三角形四種基本類型和解法已知條件解法一邊及一銳角直角邊a及銳角A斜邊c及銳角A∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=c·cosA兩邊兩條直角邊a和b直角邊a和斜邊c熱點(diǎn)考向二仰角、俯角【例2】(2013·蘭州中考)如圖，在活動課上，小明和小紅合作用一副三角板來測量學(xué)校旗桿高度．已知小明的眼睛與地面的距離(AB)是1.7m，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使得三角板的一條直角邊保持水平，且斜邊與旗桿頂端M在同一條直線上，測得旗桿頂端M仰角為45°；小紅的眼睛與地面的距離(CD)是1.5m，用同樣的方法測得旗桿頂端M的仰角為30°．兩人相距28米且位于旗桿兩側(cè)(點(diǎn)B，N，D在同一條直線上)．求出旗桿MN的高度．(參考數(shù)據(jù)：結(jié)果保留整數(shù))【思路點(diǎn)撥】作AE⊥MN，CF⊥MN，設(shè)ME=x,在Rt△AME和Rt△CMF中用x表示AE，CF，通過AE+CF=BD建立方程，求得x的值，從而得MN的值.【自主解答】過點(diǎn)A作AE⊥MN于E，過點(diǎn)C作CF⊥MN于F，則EF=AB－CD=1.7－1.5=0.2(米).在Rt△AEM中，∵∠MAE=45°，∴AE=ME.設(shè)AE=ME=x(不設(shè)參數(shù)也可)，∴MF=x＋0.2.在Rt△MFC中，∠MCF=30°，因?yàn)锳E+CF=28，所以∴x≈10，∴MN≈12.答：旗桿高約為12米.【名師助學(xué)】仰角與俯角常見的兩類基本圖形1.存在一個30°的直角三角形和一個45°的等腰直角三角形(如圖(1)(2)).2.存在兩個30°的直角三角形和一個等腰三角形(如圖(3)).熱點(diǎn)考向三坡度、坡角【例3】(2012·內(nèi)江中考)水務(wù)部門為加強(qiáng)防汛工作，決定對某水庫大壩進(jìn)行加固，大壩的橫截面是梯形ABCD，如圖所示，已知迎水坡面AB的長為16米，∠B=60°，背水坡面CD的長為米，加固后大壩的橫截面為梯形ABED，CE的長為8米.(1)已知需加固的大壩長為150米，求需要填土石方多少立方米？(2)求加固后大壩背水坡面DE的坡度.【思路點(diǎn)撥】(1)加固大壩的部分就是△DCE，過點(diǎn)D作垂直BC的輔助線，求得△DCE的面積，再乘以大壩的長.(2)坡面DE的坡度就是它的垂直高度與水平寬度的比值.【自主解答】(1)過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H,∴AG=DH.在Rt△ABG中，AG=sin60°×AB=∴∴∴需要填土石方(2)在Rt△DHC中，HC=∴HE=HC+CE=24+8=32,∴加固后大壩背水坡面DE的坡度【名師助學(xué)】坡度與坡角問題需要注意的三個問題1.坡度是一個比值，而不是斜坡的角度.2.坡度反映了斜坡的傾斜程度.3.坡度涉及坡的鉛直高度與水平寬度，所以常過坡的頂端向水平面作高.1.(2013·綿陽中考)如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從A點(diǎn)經(jīng)過旗桿頂點(diǎn)恰好看到矮建筑物的墻角C點(diǎn)，且俯角α為60°，又從A點(diǎn)測得D點(diǎn)的俯角β為30°，若旗桿底端G為BC的中點(diǎn)，則矮建筑物的高CD為()【解析】選A.因?yàn)锳B⊥BC,GF⊥BC,GB=GC,GF=15米,所以AB=CE=30米.在Rt△GFC中,∠FCG=60°，GF=15米,所以GC=GF·tan30°=米,所以米.在Rt△ACE中,CE=AE·tan60°=在Rt△ADE中,DE=AE·tan30°=(米)，所以CD=CE-DE=20米.【變式訓(xùn)練】(2012·孝感中考)如圖，在塔AB前的平地上選擇一點(diǎn)C，測出看塔頂?shù)难鼋菫?0°，從C點(diǎn)向塔底B走100米到達(dá)D點(diǎn)，測出看塔頂?shù)难鼋菫?5°，則塔AB的高為()【解析】選D.由題意知∠ADB=45°，∠ACB=30°，設(shè)AB=x米，則BD=AB=x米，BC=(100+x)米.在Rt△ACB中，∠ACB=30°，∴tan30°=即2.(2013·聊城中考)河堤橫斷面如圖所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比為則AB的長為()【解析】選A.根據(jù)坡比的意義可知BC∶AC=即6∶AC=所以AC=米.由勾股定理得==12(米).或者根據(jù)tanA=1∶則∠A=30°，根據(jù)“在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半”可知AB=2BC=12米.3.(2012·畢節(jié)中考)如圖,在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD，若BD=1，則AC的長是()A.B.2C.D.4【解析】選A.∵DE是線段AC的垂直平分線，∴AD＝CD．∴∠ACD＝∠A＝30°．又∵∠ACD＝30°，∴∠BCD＝30°．在Rt△BCD中，∵tan∠BCD＝∴BC＝在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AC＝2BC＝4.(2012·深圳中考)小明想測量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上，如圖，此時測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米.已知斜坡的坡角為30°，同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為()A.米B.12米C.米D.10米【解析】選A．如圖，延長BD與CE，交點(diǎn)為點(diǎn)A，過點(diǎn)D作DF⊥AE，垂足為點(diǎn)F，在Rt△DEF中，DE=4，∠DEF=30°，則DF=2，根據(jù)同一時刻，標(biāo)桿與影長的比值為定值，可得解得AF=4，AC=CE+EF+AF=解得5.(2013·河北中考)如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處，它以每小時40海里的速度向正北方向航行，2小時后到達(dá)位于燈塔P的北偏東40°的N處，則N處與燈塔P的距離為()A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里【解析】選D.由題意可知∠NPM=180°-40°-70°=70°，過點(diǎn)P的南北方向與MN平行，所以∠M=70°，所以∠NPM=∠M，所以PN=MN=40×2=80(海里).6.(2012·紹興中考)如圖1，某超市從一樓到二樓的電梯AB的長為16.50米，坡角∠BAC為32°.(1)求一樓與二樓之間的高度BC(精確到0.01米).(2)電梯每級的水平級寬均是0.25米，如圖2，小明跨上電梯時，該電梯以每秒上升2級的高度運(yùn)行，10秒后他上升了多少米(精確到0.01米)？備用數(shù)據(jù)：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249．【解析】(1)∵sin∠BAC=∴BC=AB×sin32°≈16.50×0.5299≈8.74米.(2)∵tan32°=∴級高=級寬×tan32°≈0.25×0.6249=0.156225．∵10秒鐘電梯上升了20級，∴小明上升的高度為20×0.156225≈3.12米.7.(2013·麗水中考)一個長方體木箱沿斜面下滑，當(dāng)木箱滑至如圖位置時，AB=3m，已知木箱高BE=斜面坡角為30°，求木箱端點(diǎn)E距地面AC的高度EF.【解析】連接AE，在Rt△ABE中，已知AB=3m，∴又∵tan∠EAB=∴∠EAB=30°.在Rt△AEF中，∠EAF=∠EAB+∠BAC=60°，∴EF=AE·sin∠EAF=×sin60°=答：木箱端點(diǎn)E距地面AC的高度EF是3m.8.(2013·安徽中考)如圖，防洪大堤的橫截面是梯形ABCD，其中AD∥BC,坡角α=60°，汛期來臨前對其進(jìn)行了加固，改造后的背水面坡角β=45°.若原坡長AB=20m，求改造后的坡長AE.(結(jié)果保留根號)【解析】過點(diǎn)A作AF⊥C