導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第三章 3.4

§3.4

生活中的優(yōu)化問題舉例第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)欄目索引知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測自查自糾知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一優(yōu)化問題生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.知識(shí)點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的基本思路知識(shí)點(diǎn)三解決優(yōu)化問題的基本步驟(1)分析實(shí)際問題中各變量之間的關(guān)系，根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)；(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大者為最大值，最小者為最小值；(4)依據(jù)實(shí)際問題的意義給出答案.返回

題型探究重點(diǎn)突破解析答案題型一用料最省問題例1

如圖，有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40千米的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50千米，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最省？反思與感悟解如題圖，由題意知，只有點(diǎn)C位于線段AD上某一適當(dāng)位置時(shí)，才能使總費(fèi)用最省，又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，在(0,50)上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)問題的實(shí)際意義，函數(shù)在x＝30km處取得最小值，此時(shí)|AC|＝50－x＝20(km).∴供水站C建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最省.令y′＝0，解得x＝30.反思與感悟反思與感悟用料最省問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對(duì)象，正確書寫函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答.解析答案跟蹤訓(xùn)練1

某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的總面積為8m2，問：x，y分別是多少時(shí)用料最??？(精確到0.001m)即當(dāng)x為2.343m，y為2.828m時(shí)，用料最省.解析答案題型二面積、容積的最值問題例2

如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告面積最小？反思與感悟解析答案解設(shè)廣告的高和寬分別為xcm，ycm，反思與感悟令S′>0得x>140，令S′<0得20<x<140.∴函數(shù)在(140，＋∞)上單調(diào)遞增，在(20,140)上單調(diào)遞減，∴S(x)的最小值為S(140).當(dāng)x＝140時(shí)，y＝175.即當(dāng)x＝140，y＝175時(shí)，S取得最小值24500，故當(dāng)廣告的高為140cm，寬為175cm時(shí)，可使廣告的面積最小.反思與感悟反思與感悟(1)解決面積、容積的最值問題，要正確引入變量，將面積或容積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實(shí)際問題的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.(2)利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟：①找關(guān)系：分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系；②列模型：列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；③寫關(guān)系：寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)；④求導(dǎo)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比較：比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f′(x)＝0的點(diǎn)的數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值；⑥結(jié)論：根據(jù)比較值寫出答案.解析答案跟蹤訓(xùn)練2

如圖，在二次函數(shù)f(x)＝4x－x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD，求這個(gè)矩形的最大面積.解設(shè)B(x,0)(0＜x＜2)，則A(x,4x－x2).從而|AB|＝4x－x2，|BC|＝2(2－x).故矩形ABCD的面積為S(x)＝|AB|·|BC|＝2x3－12x2＋16x(0＜x＜2).S′(x)＝6x2－24x＋16，∵x1?(0,2)，∴x1舍去.解析答案題型三成本最省，利潤最大問題例3

甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v千米/時(shí)的平方成正比，比例系數(shù)為b(b>0)；固定部分為a元.(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米/時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；解析答案(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？解由題意s、a、b、v均為正數(shù).此時(shí)y′<0，即y在(0，c]上為減函數(shù).所以當(dāng)v＝c時(shí)，y最小.綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，反思與感悟反思與感悟正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解題的主要思路.另外需注意：①合理選擇變量，正確給出函數(shù)關(guān)系式.②與實(shí)際問題相聯(lián)系.③必要時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用.解析答案跟蹤訓(xùn)練3

某產(chǎn)品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣出432件.如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出24件.(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；解若商品降低x元，則一個(gè)星期多賣的商品為kx2件.由已知條件，得k·22＝24，解得k＝6.若記一個(gè)星期的商品銷售利潤為f(x)，則有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21].解析答案(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大？解對(duì)(1)中函數(shù)求導(dǎo)得f′(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x)

－0＋0－

f(x)9072↘極小值↗極大值↘

∴x＝12時(shí)，f(x)取得極大值.∵f(0)＝9072，f(12)＝11664，∴定價(jià)為30－12＝18(元)，能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大.思想方法分類討論思想的應(yīng)用解析答案返回解后反思解析答案解后反思分析首先根據(jù)容積(體積)求出r，l的關(guān)系，即用r表示l，根據(jù)l≥2r，即可求出r的取值范圍，根據(jù)一個(gè)圓柱的側(cè)面積和一個(gè)球的表面積公式建立建造費(fèi)用y關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)求解這個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)，通過討論極值點(diǎn)與r的取值范圍之間的關(guān)系求得容器建造費(fèi)用最小時(shí)r的值.由于l≥2r，故0＜r≤2.該函數(shù)的定義域?yàn)?0,2].由于c＞3，所以c－2＞0.當(dāng)r∈(0，m)時(shí)，y′＜0；當(dāng)r∈(m,2]時(shí)，y′＞0.所以r＝m是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).當(dāng)r＝m時(shí)，y′＝0；解析答案解后反思當(dāng)r∈(0,2]時(shí)，y′≤0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以r＝2是函數(shù)y的最小值點(diǎn).解后反思返回解后反思當(dāng)堂檢測12345解析答案解析原油溫度的瞬時(shí)變化率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率取得最小值－1.C解析答案12345解析設(shè)底面邊長為x，C123453.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－

x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為(

)A.13萬件

B.11萬件C.9萬件

D.7萬件解析因?yàn)閥′＝－x2＋81，當(dāng)x∈(0,9)時(shí)，y′＞0.解析答案在(0,9)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x＞9時(shí)，y′＜0；所以x＝9是函數(shù)的極大值點(diǎn).又因?yàn)楹瘮?shù)在(0，＋∞)上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在x＝9處取得最大值.C解析答案1234512345解析設(shè)年產(chǎn)量為x時(shí)，總利潤為y，由y′＝0，得x＝300.經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)x＝300時(shí)，總利潤最大.答案D解析答案123455.用總長為14.8m的鋼條制作一個(gè)長方體容器的框架，若該容器的底面一邊比高長出0.5m，則當(dāng)高為____m時(shí)，容器的容積最大.＝－2x3＋2.2x2＋