導數(shù)及其應用 第三章 3.4

§3.4

生活中的優(yōu)化問題舉例第三章導數(shù)及其應用1.了解導數(shù)在解決實際問題中的作用.2.掌握利用導數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題.學習目標欄目索引知識梳理自主學習題型探究重點突破當堂檢測自查自糾知識梳理自主學習知識點一優(yōu)化問題生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.知識點二利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的基本思路知識點三解決優(yōu)化問題的基本步驟(1)分析實際問題中各變量之間的關(guān)系，根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)；(2)求導函數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點的函數(shù)值的大小，最大者為最大值，最小者為最小值；(4)依據(jù)實際問題的意義給出答案.返回

題型探究重點突破解析答案題型一用料最省問題例1

如圖，有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40千米的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50千米，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最省？反思與感悟解如題圖，由題意知，只有點C位于線段AD上某一適當位置時，才能使總費用最省，又設(shè)總的水管費用為y元，在(0,50)上，y只有一個極值點，根據(jù)問題的實際意義，函數(shù)在x＝30km處取得最小值，此時|AC|＝50－x＝20(km).∴供水站C建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費用最省.令y′＝0，解得x＝30.反思與感悟反思與感悟用料最省問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象，正確書寫函數(shù)表達式，準確求導，結(jié)合實際作答.解析答案跟蹤訓練1

某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的總面積為8m2，問：x，y分別是多少時用料最省？(精確到0.001m)即當x為2.343m，y為2.828m時，用料最省.解析答案題型二面積、容積的最值問題例2

如圖，要設(shè)計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告面積最??？反思與感悟解析答案解設(shè)廣告的高和寬分別為xcm，ycm，反思與感悟令S′>0得x>140，令S′<0得20<x<140.∴函數(shù)在(140，＋∞)上單調(diào)遞增，在(20,140)上單調(diào)遞減，∴S(x)的最小值為S(140).當x＝140時，y＝175.即當x＝140，y＝175時，S取得最小值24500，故當廣告的高為140cm，寬為175cm時，可使廣告的面積最小.反思與感悟反思與感悟(1)解決面積、容積的最值問題，要正確引入變量，將面積或容積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實際問題的定義域，利用導數(shù)求解函數(shù)的最值.(2)利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟：①找關(guān)系：分析實際問題中各量之間的關(guān)系；②列模型：列出實際問題的數(shù)學模型；③寫關(guān)系：寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)；④求導：求函數(shù)的導數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比較：比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f′(x)＝0的點的數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值；⑥結(jié)論：根據(jù)比較值寫出答案.解析答案跟蹤訓練2

如圖，在二次函數(shù)f(x)＝4x－x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個內(nèi)接矩形ABCD，求這個矩形的最大面積.解設(shè)B(x,0)(0＜x＜2)，則A(x,4x－x2).從而|AB|＝4x－x2，|BC|＝2(2－x).故矩形ABCD的面積為S(x)＝|AB|·|BC|＝2x3－12x2＋16x(0＜x＜2).S′(x)＝6x2－24x＋16，∵x1?(0,2)，∴x1舍去.解析答案題型三成本最省，利潤最大問題例3

甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v千米/時的平方成正比，比例系數(shù)為b(b>0)；固定部分為a元.(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；解析答案(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？解由題意s、a、b、v均為正數(shù).此時y′<0，即y在(0，c]上為減函數(shù).所以當v＝c時，y最小.綜上可知，為使全程運輸成本y最小，反思與感悟反思與感悟正確理解題意，建立數(shù)學模型，利用導數(shù)求解是解題的主要思路.另外需注意：①合理選擇變量，正確給出函數(shù)關(guān)系式.②與實際問題相聯(lián)系.③必要時注意分類討論思想的應用.解析答案跟蹤訓練3

某產(chǎn)品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件.(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；解若商品降低x元，則一個星期多賣的商品為kx2件.由已知條件，得k·22＝24，解得k＝6.若記一個星期的商品銷售利潤為f(x)，則有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21].解析答案(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？解對(1)中函數(shù)求導得f′(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x)

－0＋0－

f(x)9072↘極小值↗極大值↘

∴x＝12時，f(x)取得極大值.∵f(0)＝9072，f(12)＝11664，∴定價為30－12＝18(元)，能使一個星期的商品銷售利潤最大.思想方法分類討論思想的應用解析答案返回解后反思解析答案解后反思分析首先根據(jù)容積(體積)求出r，l的關(guān)系，即用r表示l，根據(jù)l≥2r，即可求出r的取值范圍，根據(jù)一個圓柱的側(cè)面積和一個球的表面積公式建立建造費用y關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導數(shù)求解這個函數(shù)的極值點，通過討論極值點與r的取值范圍之間的關(guān)系求得容器建造費用最小時r的值.由于l≥2r，故0＜r≤2.該函數(shù)的定義域為(0,2].由于c＞3，所以c－2＞0.當r∈(0，m)時，y′＜0；當r∈(m,2]時，y′＞0.所以r＝m是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點.當r＝m時，y′＝0；解析答案解后反思當r∈(0,2]時，y′≤0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以r＝2是函數(shù)y的最小值點.解后反思返回解后反思當堂檢測12345解析答案解析原油溫度的瞬時變化率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當x＝1時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值－1.C解析答案12345解析設(shè)底面邊長為x，C123453.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－

x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為(

)A.13萬件

B.11萬件C.9萬件

D.7萬件解析因為y′＝－x2＋81，當x∈(0,9)時，y′＞0.解析答案在(0,9)上單調(diào)遞增.所以當x＞9時，y′＜0；所以x＝9是函數(shù)的極大值點.又因為函數(shù)在(0，＋∞)上只有一個極大值點，所以函數(shù)在x＝9處取得最大值.C解析答案1234512345解析設(shè)年產(chǎn)量為x時，總利潤為y，由y′＝0，得x＝300.經(jīng)驗證，當x＝300時，總利潤最大.答案D解析答案123455.用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，若該容器的底面一邊比高長出0.5m，則當高為____m時，容器的容積最大.＝－2x3＋2.2x2＋