北京理工大學(xué)數(shù)值分析課件 3 解線性方程組迭代法

第三章解線性方程組的迭代法迭代法：用某種極限過(guò)程去逐步逼近方程組的精確解，優(yōu)點(diǎn)是需要計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)單元少，程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，原始系數(shù)矩陣在計(jì)算機(jī)中始終不變，但存在收斂性和收斂速度等問(wèn)題。它是解大型稀疏系數(shù)矩陣方程組的有效方法。迭代的向量序列（收斂到方程組的精確解）作足夠多的有限次迭代，得到滿足精度要求的近似解要解決的主要問(wèn)題1.如何構(gòu)造迭代公式從而產(chǎn)生迭代向量序列2.向量序列是否收斂到精確解的判別3.即使收斂，收斂的速度又如何4.誤差估計(jì)迭代公式構(gòu)造的一般思路要解的方程組同解的方程組迭代公式注：稱作一階線性定常迭代公式，稱作迭代矩陣向量序列與矩陣序列的收斂性:§1雅可比（Jacobi）迭代法即記Jacobi迭代矩陣計(jì)算公式：例1用Jacobi迭代法求解線性方程組解：Jacobi迭代計(jì)算公式為x=Jacobi_iter(A,b,20,1e-5,x0)kx1x2x3....1.00007.20008.30008.40002.00009.710010.700011.50003.000010.570011.571012.48204.000010.853511.853412.82825.000010.951011.951012.94146.000010.983411.983412.98047.000010.994411.994412.99338.000010.998111.998112.99789.000010.999411.999412.999210.000010.999811.999812.999711.000010.999911.999912.999912.000011.000012.000013.000013.000011.000012.000013.000014.000011.000012.000013.0000Jacobimethodconvergedx=11.000012.000013.0000寫(xiě)成矩陣形式§2高斯－賽德?tīng)枺℅auss－Seidel）迭代法即即

記Gauss－Seidel迭代法的矩陣表示：例2用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組解：G-S迭代計(jì)算公式為x=Gauss_Seidel_iter(A,b,20,1e-5,x0)kx1x2x3.....1.00007.20009.020011.64402.000010.430811.671912.82053.000010.931311.957212.97774.000010.991311.994712.99725.000010.998911.999312.99966.000010.999911.999913.00007.000011.000012.000013.00008.000011.000012.000013.0000Gauss_seidelmethodconvergedx=11.000012.000013.0000x=Jacobi_iter(A,b,20,1e-5,x0)kx1x2x3....1.00007.20008.30008.40002.00009.710010.700011.50003.000010.570011.571012.48204.000010.853511.853412.82825.000010.951011.951012.94146.000010.983411.983412.98047.000010.994411.994412.99338.000010.998111.998112.99789.000010.999411.999412.999210.000010.999811.999812.999711.000010.999911.999912.999912.000011.000012.000013.000013.000011.000012.000013.000014.000011.000012.000013.0000Jacobimethodconvergedx=11.000012.000013.0000求G-S的迭代矩陣?換個(gè)角度看Gauss-Seidel方法：§4松弛法（SOR法）松弛法的基本思想：SOR計(jì)算公式：計(jì)算公式：矩陣表示：松弛因子的選取對(duì)收斂速度影響極大，最優(yōu)松弛因子的確定一般根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和試算，特別的，當(dāng)A為對(duì)稱正定的三對(duì)角矩陣時(shí)，有：Jacobi:各個(gè)分量的計(jì)算順序無(wú)關(guān),可用于并行計(jì)算G-S:減少了存儲(chǔ)量,要求計(jì)算順序,SOR:是G-S的推廣,或是G-S的加速迭代法:求解大型稀疏線性方程組的常用方法,

保持矩陣的稀疏性分裂A換一個(gè)角度§4迭代法的收斂條件4.1矩陣的譜半徑

ReIm(A)x4.2迭代法的收斂條件充分條件嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)非對(duì)角占優(yōu)5.3誤差估計(jì)§6最速下降法與共軛梯度法Steepestdescentmethod6.1最速下降法6