.archivetemp正余弦定理的應(yīng)用學(xué)案

高一數(shù)學(xué)學(xué)案NO15,16余定正定應(yīng)舉學(xué)習(xí)目標(biāo)

核心素養(yǎng)1.將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問1.通過利用正弦定理解決實際問題，題．(難點)2．能夠正、余弦定理求解與距離、

培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．2．通過求解距離、高度等實際問題，高度度有關(guān)的實際應(yīng)用問題重點提升數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).1．基線概念與選擇原則定義在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線．性質(zhì)在測量過程中應(yīng)根據(jù)實際需要選取合適的基線長度使測量具有較高的精確度．一般來說，基線越長，測量的精確度越高．思考1：在本章“解三角形”引言中，我們遇到這么一個問題“遙不可及的月亮離地球究竟有多遠呢？”在古代家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？2．測量的有關(guān)角的概念仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時叫俯角．(如圖所示方向角

33從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉(zhuǎn)如圖所示)思考2：堯出校向南前進了米，再向東走了米，回到自己家中，你認為李堯的家在學(xué)校的哪個方向？1．如圖，了測量隧道口的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時應(yīng)選用數(shù)據(jù)()A．，abC．a(chǎn)，b，

B．，βaD．，β，2．小強站地面上觀察一個建在山頂上的建筑物，測得其視角為α同時測得觀察該建筑物頂部的仰角為β則小強觀測山頂?shù)难鼋菫?)A．＋βC．β－α

B．－βD．α3人先向正東方向走了xkm后他向右轉(zhuǎn)新的方向走了km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好為3，那么x的值為()C．23或

B．2D．3測量距離問題【例1】海上有兩個小島相10海里從島望C和B島成的視角，從島望C島和A島成75°的視角，則B間的距離是()A．3海里C．52海里

10B.海里D．56海里

三角形中與距離有關(guān)問題的求解策略：解決與距離有關(guān)的問題，若所求的線段在一個三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可若所求的線段在多個三角形中要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切危倮谜?、余弦定理求解?2)解決與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應(yīng)用正、余弦定理來解決．1了測河的寬度一岸邊選定兩點A對岸標(biāo)記物C得∠＝30°，∠＝75°，AB＝，則河的寬度為測量高度問題

m.【例2】濟南泉城廣場上的泉標(biāo)模仿的是隸書“泉”字造型流暢別致，成了濟南的標(biāo)志和象征．李明同學(xué)想測量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場的A點測得泉標(biāo)頂端的仰角為60°，他又沿著泉標(biāo)底部方向前，到達B，又測得泉標(biāo)頂部仰角為你能幫助李明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度嗎？(精確到1解決測量高度問題的一般步驟：畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖．分析三角形：分析與問題有關(guān)的三角形．(3)求解：運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求．在解題中，要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識，注意方程思想的運用

2．某興趣組要測量電視塔AE的高度H單位：m)．如圖所示，豎直放置的標(biāo)桿BC的高度4，仰角∠＝α，∠＝β.該小組已測得一組，β的值，算出了＝，tanβ＝1.20，請據(jù)算出H的值．角度問題[究問題]1某物流投遞員沿一條大路前進，到B，方位角60°，距離4km，從到C位角是離是到位角是150°離是3km，試畫出示意圖．2．在探1，若投遞員想在半小時之內(nèi)，沿小路直接從A點到點，則此人的速度至少是多少？3在探究中若投遞員以速度勻速沿大路從A到D前進分鐘后某人以167速度沿小路直接由到C投遞員，問點此人能否與投遞員相遇？【例3】如圖，甲船在處，乙船在處的南偏東45°方向，距有海里的處并以20里每小時的速度沿南偏西15°方向行駛?cè)艏状啬掀珫|θ度的方向，并以28海里每小時的速度行駛，恰能C追上乙船．問用多少小時追上乙船，并求sinθ的值．(結(jié)果保留根號，無需求近似值)

變條件，變結(jié)論)在本例，若乙船向正南方向行駛，速度未知，而甲船沿南偏東15°的方向行駛恰能與乙船相遇，其他條件不變，試求乙船的速度．解決實際問題應(yīng)注意的問題(1)首先明確題中所給各個角的含義，然后分析題意，分析已知所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵最主要的一步．(2)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，要正確使用、余弦定理解決問題．正弦、余弦定理在實際測量中的應(yīng)用的一般步驟分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖．(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型．求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解．檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解．1如圖所示已知兩座燈塔和與海洋觀察站C的距離相等燈塔在觀察站C的北偏東燈塔B在觀察站C的南偏東則燈塔在燈塔的()

A．北偏5°C．南偏東

B．偏西D．南偏西10°2．如圖D，C，B點在地面同一直線上，DC100，從，D點測得點仰角分別是，，則點離地面的高度等于()A．3米C．50

B．100米D．1003．一艘船午9：30在A處，測得燈塔在它的北偏東30°的方向，且與它相距8海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°的方向，此船的航速是()A．6＋海里/時B．6－2)海里時C．6＋海里/時D．62)里/時4．在高出平面的小島頂上A處，測得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與，此時兩船間的距離為

m.5．海上某輪在A處看燈塔在貨輪北偏東75°，距離為6里；在處看燈塔C，在貨輪的北偏西，距離為83里；貨輪向正北由處航行到D處時看燈塔B在北偏東，求：A處與處之間的距離；燈塔與D之間的距離．

學(xué)案答案1．基線概念與選擇原則定義在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線．性質(zhì)在測量過程中應(yīng)根據(jù)實際需要選取合適的基線長度使測量具有較高的精確度．一般來說，基線越長，測量的精確度越高．思考1：在本章“解三角形”引言中，我們遇到這么一個問題“遙不可及的月亮離地球究竟有多遠呢？”在古代家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？[示]

利用正弦定理和余弦定理．2．測量的有關(guān)角的概念仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時叫俯角．(如圖所示方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉(zhuǎn)如圖所示)思考2：堯出校向南前進了米，再向東走了米，回到自己家中，你認為李堯的家在學(xué)校的哪個方向？[示]

東南方向．1．如圖，了測量隧道口AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時應(yīng)選用

33數(shù)據(jù)()A．，abC．a(chǎn)，b，

B．，βaD．，β，C[選擇a，bγ可接利用余弦定理＝

2

＋b

2

－2abγ求解．]2．小強站地面上觀察一個建在山頂上的建筑物，測得其視角為α同時測得觀察該建筑物頂部的仰角為β則小強觀測山頂?shù)难鼋菫?)A．＋βC．β－α

B．－βD．αC[如圖所示，設(shè)小強觀測山頂?shù)难鼋铅?，β－γ＝α，因＝β－，故選C項．]3人先向正東方向走了xkm后他向右轉(zhuǎn)新的方向走了km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好為3，那么x的值為()C．23或

B．2D．3C[如圖，在△中由余弦定理得3＝9x2

－6x，即x2

－33x＋60，解得x＝233.]測量距離問題【例1】海上有兩個小島相10海里從島望C和B島成的視角，從島望C島和A島成75°的視角，則B間的距離是()A．3海里C．52海里

10B.海里D．56海里

sinCAsinCAD

[據(jù)題意，可得如圖．△ABC中，＝，B＝，＝，C10＝由正弦定理可得＝，即＝，∴5海里)．]22三角形中與距離有關(guān)問題的求解策略：解決與距離有關(guān)的問題，若所求的線段在一個三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可若所求的線段在多個三角形中要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切?，再利用正、余弦定理求解?2)解決與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應(yīng)用正、余弦定理來解決．1了測河的寬度一岸邊選定兩點A對岸標(biāo)記物C∠CAB＝30°，∠＝75°，AB＝，則河的寬度為

m.60

[題意知∠＝－30°－＝75°△ABC為等腰三角形寬即AB邊的高，這邊上的高相等，作⊥于D∴河寬：BD＝120·sin＝．]測量高度問題【例2】濟南泉城廣場上的泉標(biāo)模仿的是隸書“泉”字造型流暢別致，成了濟南的標(biāo)志和象征．李明同學(xué)想測量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場的A點測得泉標(biāo)頂端的仰角為60°，他又沿著泉標(biāo)底部方向前，到達B，又測得泉標(biāo)頂部仰角為你能幫助李明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度嗎？(精確到1

sinsinsinsin[]

如圖所示，點，D分別為泉標(biāo)的底部和頂端．依題意，∠BAD＝，∠CBD＝80°，＝15.2，則∠＝，故∠ADB＝180°－＋＝20°.BDAB在△中，根據(jù)正弦定理，＝sin∠ADB×60°∴BD＝≈38.5(m)．在Rt△中，CD＝BDsin80°＝38.5×sin80°≈，即泉城廣場上泉標(biāo)的高約為m.解決測量高度問題的一般步驟：畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖．分析三角形：分析與問題有關(guān)的三角形．(3)求解：運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求．在解題中，要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識，注意方程思想的運用2．某興趣組要測量電視塔AE的高度H單位：m)．如圖所示，豎直放置的標(biāo)桿BC的高度4，仰角∠＝α，∠＝β.該小組已測得一組，β的值，算出了＝，tanβ＝1.20，請據(jù)算出H的值．

11[]

HhH由AB＝，＝，＝及AB＋BD＝AD，tanαtanβtanβHH得＋＝，tanβtanβ解得H＝

hα4＝＝124.tan－tan1.24－1.20因此電視塔的高度H是124角度問題[究問題]1某物流投遞員沿一條大路前進，到B，方位角60°，距離4km，從到C位角是離是到位角是150°離是3km，試畫出示意圖．[示]

如圖所示：2．在探1，若投遞員想在半小時之內(nèi)，沿小路直接從A點到點，則此人的速度至少是多少？[示]

在探究1圖中，eq\o\ac(△,在)ABC，∠＝60°＋－120°)＝120°，由余弦定理得AC＝AB

＋

2

－2ABBC·cos120°＝47人的最小速度為v47＝＝87(km/h)．23在探究中若投遞員以速度勻速沿大路從A到D前進分

2421212424212124鐘后某人以167速度沿小路直接由到C投遞員，問點此人能否與投遞員相遇？[示]

4＋81投遞員到達C點的時間為＝＝(小時)＝分鐘)，追投遞員41的人所用時間由探究可知＝＝(小時)＝15分鐘；由于30>15＋10所1674以此人在C點能與投遞員遇．【例3】如圖，甲船在處，乙船在處的南偏東45°方向，距有海里的處并以20里每小時的速度沿南偏西15°方向行駛?cè)艏状啬掀珫|θ度的方向，并以28海里每小時的速度行駛，恰能C追上乙船．問用多少小時追上乙船，并求sinθ的值．(結(jié)果保留根號，無需求近似值)[路探究]

根據(jù)題意明確已知條件與幾何量間的對應(yīng)關(guān)系，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運用正、余弦定理解決．[]

設(shè)用t小時，甲船追上乙船，且在處相遇，則在△ABC中，AC＝tBC＝t＝9，∠ABC＝180°－－＝120°，由余弦定理得，(28)2＝＋(20)229×t即128t

2

－60t－27＝0，3解得t＝或t＝－(舍去)，∴＝21(海里，＝15(海里．根據(jù)正弦定理，得sin∠＝

∠53＝，14

1414sin135°sin30°sin135°1414sin135°sin30°sin135°則∠BAC＝

75111－＝又∠ABC＝∠BAC為銳角，∴＝45°－∠，sinθ＝－∠BAC)＝sin∠BAC－BAC＝

11－28

.變條件，變結(jié)論)在本例，若乙船向正南方向行駛，速度未知，而甲船沿南偏東15°的方向行駛恰能與乙船相遇，其他條件不變，試求乙船的速度．[]

設(shè)乙船的速度為海里每小時，用小時甲船追上乙船，且在處相遇(如圖所示)，則eq\o\ac(△,在)中，AC＝t，，∠＝30°，∠ABC＝135°.由正弦定理得

BC＝，sin∠sin∠28t即＝28sin30°所以x＝＝

282

12

＝14海里每小時)．2故乙船的速度為2里每小時．解決實際問題應(yīng)注意的問題(1)首先明確題中所給各個角的含義，然后分析題意，分析已知所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵最主要的一步．(2)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，要正確使用、余弦定理解決問題．

正弦、余弦定理在實際測量中的應(yīng)用的一般步驟分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖．(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型．求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解．檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解．1如圖所示已知兩座燈塔和與海洋觀察站C的距離相等燈塔在觀察站C的北偏東燈塔B在觀察站C的南偏東則燈塔在燈塔的()A．北偏5°C．南偏東

B．偏西D．南偏西10°B

[由題意可知∠ACB180°40°80°.∵ACBC∴∠＝∠CBA＝，從而可知燈塔A燈塔B的北偏西2．如圖D，C，B點在地面同一直線上，DC100，從，D點測得點仰角分別是，，則點離地面的高度等于()A．3米C．50

B．100米D．100A[因為∠DAC＝∠ACB－∠D＝－30°，

sin105°sin45°sin105°sin45°所以△ADC為等腰三角形，所以＝DC米，在Rt△