第八章 剛體的基本

第八章剛體的基本運動平動和定軸轉(zhuǎn)動是剛體的兩種最簡單、最基本的運動；以后可以看到，剛體的更復(fù)雜的運動可以看成是由這兩種運動的合成。因此，這兩種運動稱為剛體的基本運動。

[例]是指剛體的平行移動和轉(zhuǎn)動第一節(jié)剛體的平行移動(平動)基本運動如果在剛體內(nèi)任取一直線段，在運動過程中這條直線段始終與它的最初位置平行，這種運動稱為平行移動，簡稱平移。一、平行移動定義擺式輸送機的料槽直線行駛的列車車廂夾板錘的錘頭[例]AB在運動中方向和大小始終不變

它的軌跡可以是直線（直線平動）可以是曲線（曲線平動）結(jié)論：當(dāng)剛體平行移動時，（1）其上各點的軌跡形狀相同；（2）在每一瞬時，各點的速度相同，加速度也相同。因此，研究剛體的平移，可以歸結(jié)為研究剛體內(nèi)任一點的運動。二、平行移動的特性yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O在平移的剛體上任取兩點A和B在圖示機構(gòu)中，已知：O1A=O2B=l，

O1O2=AB，

AC=0.5BC。O1A，O2B與三角板鉸接，O1A勻角速度ω

轉(zhuǎn)動。ABO1O2φllMωC試問：(1).三角板ABC作什么運動？其角速度等于多少？(2).三角板BC邊中點M的速度和加速度各為多少？

思考題ABO1O2φllMωCvBvMvM=vB=rωaM=aB=rω2l答：(1).因為三角板ABC作平移運動，所以其角速度等于零。

(2).三角板ABC作平移運動，點M與點B有相同的速度和加速度。剛體定軸轉(zhuǎn)動的特征及其簡化特點:有一條不變的線稱為轉(zhuǎn)軸,

其余各點都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面上做圓周運動。一.轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)動方程

---轉(zhuǎn)角,單位弧度(rad)

=(t)---為轉(zhuǎn)動方程方向規(guī)定:從z軸正向看去,

逆時針為正順時針為負第二節(jié)剛體的定軸轉(zhuǎn)動二.定軸轉(zhuǎn)動的角速度

1.角速度：工程中常用單位：

n=轉(zhuǎn)/分(r/min)則n與w的關(guān)系為:單位rad/s若已知轉(zhuǎn)動方程

角加速度：角速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時角加速度，用字母a表示，即三定軸的轉(zhuǎn)動角加速度角加速度表征角速度變化的快慢，其單位用rad/s2(弧度/秒2)表示。角加速度也是代數(shù)量。如果w與a同號，則轉(zhuǎn)動是加速的；如果w與a異號，則轉(zhuǎn)動是減速的。四、角速度與角加速度的矢量表示式中，k為沿z軸正方向的單位矢量遵循右手螺旋法則五、幾種特殊轉(zhuǎn)動

工程上常用轉(zhuǎn)速n來表示剛體轉(zhuǎn)動的快慢。n的單位是轉(zhuǎn)/分(r/min)，w與n的轉(zhuǎn)換關(guān)系為1.勻速轉(zhuǎn)動2.勻變速轉(zhuǎn)動例8-1蕩木用兩條等長的鋼索平行吊起，如圖所示。鋼索長為長l，長度單位為m。當(dāng)蕩木擺動時鋼索的擺動規(guī)律為，其中t為時間，單位為s；轉(zhuǎn)角φ0的單位為rad。試求當(dāng)t=0和t=2s時，蕩木的中點M的速度和加速度。OABO1O2φll（+）M由于兩條鋼索O1A和O2B的長度相等，并且相互平行，于是蕩木AB在運動中始終平行于直線O1O2，故蕩木作平移。為求中點M的速度和加速度，只需求出A點（或B點）的速度和加速度即可。點A在圓弧上運動，圓弧的半徑為l。如以最低點O為起點，規(guī)定弧坐標(biāo)s向右為正，則A點的運動方程為將上式對時間求導(dǎo)，得A點的速度解：OABO1O2φll（+）M再求一次導(dǎo)，得A點的切向加速度代入t=0和t=2，就可求得這兩瞬時A點的速度和加速度，亦即點M在這兩瞬時的速度和加速度。計算結(jié)果列表如下：A點的法向加速度00φ02（鉛直向上）0

（水平向右）00an(m·s－2)at(m·s－2)v(m·s－1)φ(rad)t(s)

OABO1O2φll（+）M

當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體內(nèi)任意一點都作圓周運動，圓心在軸線上，圓周所在的平面與軸線垂直，圓周的半徑R等于該點到軸線的垂直距離稱為該點的轉(zhuǎn)動半徑。第三節(jié)定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度一、定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度各點速度分布圖二、定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的加速度OaMvanθatα點M的加速度有切向加速度和法向加速度，切向加速度為：即：轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的切向加速度(又稱轉(zhuǎn)動加速度)的大小，等于剛體的角加速度與該點到軸線垂直距離的乘積，它的方向由角加速度的符號決定，當(dāng)a是正值時，它沿圓周的切線，指向角j的正向；否則相反。ω法向加速度為：即：轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的法向加速度(又稱向心加速度)的大小，等于剛體角速度的平方與該點到軸線的垂直距離的乘積，它的方向與速度垂直并指向軸線。Oaanθαω如果w與a同號，角速度的絕對值增加，剛體作加速轉(zhuǎn)動，這時點的切向加速度at與速度v的指向相同；如果w與a異號，剛體作減速轉(zhuǎn)動，at與v的指向相反。這兩種情況如圖所示atat

(1)在每一瞬時，轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)所有各點的速度和加速度的大小，分別與這些點到軸線的垂直距離成正比。

(2)在每一瞬時，剛體內(nèi)所有各點的加速度a與半徑間的夾角q都有相同的值。點的全加速度為：

例8-4一半徑為R=0.2m的圓輪繞定軸O的轉(zhuǎn)動方程為

，單位為弧度。求t=1s時，輪緣上任一點M的速度和加速度（如圖）。如在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長的繩子并在繩端懸一物體A，求當(dāng)t=1s時，物體A的速度和加速度。解：(1)圓輪在任一瞬時的角速度和角加速度為求當(dāng)t=1s時，則為因此輪緣上任一點M的速度和加速度為方向如圖所示。

M點的全加速度及其偏角為如圖。

(2)現(xiàn)在求物體A的速度和加速度。因為

上式兩邊求一階及二階導(dǎo)數(shù)，則得因此〔例3〕已知：重物A的（常數(shù)）初瞬時速度方向如圖示。求：①滑輪3s內(nèi)的轉(zhuǎn)數(shù)；②重物B在3s內(nèi)的行程；③重物B在ｔ＝3s時的速度；④滑輪邊上C點在初瞬時的加速度；⑤滑輪邊上C點在ｔ＝3s時的加速度。

運動學(xué)）常數(shù)（（）解：①

因為繩子不可以伸長，所以有

運動學(xué)②），③（④

t=0時，

⑤

t=3s時，運動學(xué)[例4]

已知：圓輪O由靜止開始作等加速轉(zhuǎn)動，OM＝0.4m，

在某瞬時測得求：轉(zhuǎn)動方程;

t＝5s時，Ｍ點的速度和向心加速度的大小。

解：運動學(xué)M當(dāng)ｔ＝5s時，運動學(xué)M〔例5〕試畫出圖中剛體上Ｍ?Ｎ兩點在圖示位置時的速度和加速度。主動輪與從動輪角速度之比稱為傳動比，記為i12。第四節(jié)輪系的傳動比1)齒輪