材料力學(xué)第04章

第四章扭轉(zhuǎn)沈陽建筑大學(xué)侯祥林劉杰民

第四章扭轉(zhuǎn)§4–1扭轉(zhuǎn)的概念§4–2扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力—扭矩與扭矩圖§4–3薄壁筒扭轉(zhuǎn)§4–4圓截面桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度條件§4–5圓截面桿扭轉(zhuǎn)的變形及剛度條件§4–6矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)§4–7薄壁桿扭轉(zhuǎn)

§4–1扭轉(zhuǎn)的概念×直桿在外力偶作用下，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，則桿件發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。ABOmmOBA扭轉(zhuǎn)：——扭轉(zhuǎn)角（兩端面相對轉(zhuǎn)過的角度）——剪切角，剪切角也稱切應(yīng)變。ק4–2扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力—扭矩與扭矩圖mmmTⅠⅠx一、扭矩圓桿扭轉(zhuǎn)橫截面的內(nèi)力合成結(jié)果為一合力偶，合力偶的力偶矩稱為截面的扭矩，用T表示之。扭矩的正負(fù)號按右手螺旋法則來確定，即右手握住桿的軸線，卷曲四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，若拇指沿截面外法線指向，扭矩為正，反之為負(fù)?！羗Tx扭矩的大小由平衡方程求得。二、扭矩圖各截面的扭矩隨荷載而變化，是截面坐標(biāo)的函數(shù)，表示各截面扭矩的圖象稱為扭矩圖。扭矩圖的畫法步驟與軸力圖基本相同，具體如下：×

扭矩圖的畫法步驟：

⒈畫一條與桿的軸線平行且與桿等長的直線作基線；

⒉將桿分段，凡集中力偶作用點(diǎn)處均應(yīng)取作分段點(diǎn)；

⒊用截面法，通過平衡方程求出每段桿的扭矩；畫受力圖時，截面的扭矩一定要按正的規(guī)定來畫。

⒋按大小比例和正負(fù)號，將各段桿的扭矩畫在基線兩側(cè)，并在圖上表出數(shù)值和正負(fù)號?！晾?畫圖示桿的扭矩圖3kN.m5kN.m2kN.m解：11223kN.mT1ABCAC段：BC段：2kN.mT2扭矩圖3kN.m2kN.m⊕○-×扭矩是根據(jù)外力偶矩來計(jì)算，對于傳動軸，外力偶矩可通過傳遞功率和轉(zhuǎn)數(shù)來換算。三、外力偶矩?fù)Q算其中：P—功率，千瓦（kW）n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（r/min）若傳動軸的傳遞功率為P，每分鐘轉(zhuǎn)數(shù)為n，則每分鐘功率作功：力偶作功：×例2已知：一傳動軸轉(zhuǎn)數(shù)n=300r/min，主動輪輸入功率P1=500kW，從動輪輸出功率P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nABCDm2

m3

m1

m4解：①計(jì)算外力偶矩×112233②求扭矩（扭矩按正方向假設(shè)）nABCDm2

m3

m1

m4×③繪制扭矩圖BC段為危險(xiǎn)截面。nABCDm2

m3

m1

m44.78kN.m9.56kN.m6.37kN.m––扭矩圖×例３畫圖示桿的扭矩圖。3m2m2m1m⊕⊕○_扭矩圖ק4–3薄壁筒扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）一、實(shí)驗(yàn)：1.實(shí)驗(yàn)前：①繪縱向線，圓周線；②兩端施加一對外力偶m?！?.實(shí)驗(yàn)后：①圓周線不變；②各縱向線長度不變，但均傾斜了同一微小角度。②縱向線變成螺旋線。3.結(jié)果：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。圓周線實(shí)際代表一個橫截面，此結(jié)果表明橫截面仍保持平面，且大小、形狀不變，滿足平面假設(shè)。③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。×二、薄壁筒切應(yīng)力

A0為平均半徑所作圓的面積。薄壁筒扭轉(zhuǎn)時，因長度不變，故橫截面上沒有正應(yīng)力，只有切應(yīng)力。因筒壁很薄，切應(yīng)力沿壁厚分布可視作均勻的，切應(yīng)力沿圓周切線，方向與扭矩轉(zhuǎn)向一致。T×acddxbdy′′tz三、切應(yīng)力互等定理：

這就是切應(yīng)力互等定理：在單元體相互垂直的兩個截面上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向或共同指向交線，或共同背離交線?！了?、剪切虎克定律：

單元體的四個側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。acddxbdy′′tz單元體ab的傾角稱為切應(yīng)變，切應(yīng)變是單元體直角的改變量。實(shí)驗(yàn)表明，在彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即這就是剪切虎克定律，比例常數(shù)G

稱為剪切彈性模量?！良羟袕椥阅Ａ縂、與彈性模量E和泊松比一樣，都是表征材料力學(xué)性質(zhì)的材料常數(shù)。對于各向同性材料，這三個材料常數(shù)并不是獨(dú)立的，它們存在如下關(guān)系。根據(jù)該式，在三個材料常數(shù)中，只要知道任意兩個，就可求出第三個來。ק4–4圓截面桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度條件×3.縱向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察1.橫截面變形后仍為平面，滿足平面假設(shè)；2.軸向無伸縮，橫截面上沒有正應(yīng)力；×二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)橫截面上的切應(yīng)力RdxdxB’C’C’c’b’d⒈變形的幾何條件橫截面上b點(diǎn)的切應(yīng)變：其中為單位長度桿兩端面相對扭轉(zhuǎn)角，稱單位扭轉(zhuǎn)角B’×⒉物理?xiàng)l件橫截面上b點(diǎn)的切應(yīng)力：⒊靜力條件O2dAdAbT其中稱為截面對圓心的極慣性矩。×于是得橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力為Ip—截面對圓心的極慣性矩，純幾何量，無物理意義。式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得；—求應(yīng)力那點(diǎn)到圓心的距離；×dD環(huán)形截面：極慣性矩的單位：m4DdO⒋極慣性矩×同一截面，扭矩T，極慣性矩IP為常量，因此各點(diǎn)切應(yīng)力的大小與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，方向垂直于圓的半徑，且與扭矩的轉(zhuǎn)向一致。TTmaxmax實(shí)心圓截面切應(yīng)力分布圖空心圓截面切應(yīng)力分布圖最大切應(yīng)力在外圓處。×⒌最大切應(yīng)力令：Wt

稱為抗扭截面模量，單位：m3實(shí)心圓截面空心圓截面×例4

已知空心圓截面的扭矩T

=1kN.m，D=40mm，d=20mm，求最大、最小切應(yīng)力。dDTmaxmin解：×三、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：其中容許切應(yīng)力[]是由扭轉(zhuǎn)時材料的極限切應(yīng)力除以安全系數(shù)得到?！痢?–5圓截面桿扭轉(zhuǎn)的變形及剛度條件一、扭轉(zhuǎn)時的變形當(dāng)T、GIP為常量時，長為l一段桿兩端面相對扭轉(zhuǎn)角為其中GIP表示桿件抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為抗扭剛度?！炼?、剛度條件[]稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。若許用單位扭轉(zhuǎn)角給的是，則上式改寫為×例５圖示圓軸，已知mA=1kN.m，mB=3kN.m，mC=2kN.m；l1

=0.7m，l2

=0.3m；[]=60MPa，[]=0.3°/m，G=80GPa；試選擇該軸的直徑。ABCmAmB

mCl1l22kN.m1kN.m⊕○解：⑴按強(qiáng)度條件×ABCmAmB

mCl1l22kN.m1kN.m⊕○⑵按剛度條件該圓軸直徑應(yīng)選擇：d=83.5mm.×[例4—5]圖示圓軸，已知mA=1.4kN.m，mB=0.6kN.m，mC=0.8kN.m；d1

=40mm，d2

=70mm；l1

=0.2m，l2

=0.4m；[]=60MPa，[]=1°/m，G=80GPa；試校核該軸的強(qiáng)度和剛度，并計(jì)算兩端面的相對扭轉(zhuǎn)角。ABCmAmB

mCl1l20.6kN.m0.8kN.m⊕○解：⑴按強(qiáng)度核該d1d2×ABCmAmB

mCl1l20.6kN.m0.8kN.m⊕○d1d2滿足強(qiáng)度條件。⑴按剛度核該×ABCmAmB

mCl1l20.6kN.m0.8kN.m⊕○d1d2此軸不滿足剛度條件。×[例4—6]長為l=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，G=80GPa，許用切應(yīng)力[]=30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；[]=2o/m，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：①設(shè)計(jì)桿的外徑×x×②剛度校核③右端面轉(zhuǎn)角×[練習(xí)2]圖示圓桿BC段為空心，已知D=50mm，d=25mm；a=250mm，b=150mm；G=80GPa；試求該桿的最大切應(yīng)力和自由端的扭轉(zhuǎn)角。ABCaabb

Dd0.5kN.m0.3kN.m0.8kN.m11223344解：本題應(yīng)分4段考慮。×ABCaabb

Dd0.5kN.m0.3kN.m0.8kN.m○－○－0.8kN.m○－0.5kN.m1kN.m11223344×ABCaabb

Dd0.5kN.m0.3kN.m0.8kN.m○－○－0.8kN.m○－0.5kN.m1kN.m11223344ק4–6矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)

非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解?！羑3bht1T

t

max注意！b自由扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同?！羑3bht1T

t

max注意！b一、矩形桿橫截面上的切應(yīng)力分布

⒈形心與角點(diǎn)的切應(yīng)力等于零；

⒉周邊的切應(yīng)力與周邊相切，方向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致；

⒊截面的最大切應(yīng)力發(fā)生在長邊的中點(diǎn)，短邊的最大切應(yīng)力發(fā)生在短邊的中點(diǎn)?！炼?、最大切應(yīng)力及單位扭轉(zhuǎn)角h3bht1T

t

max注意！b——相當(dāng)極慣性矩。截面最大切應(yīng)力：單位扭轉(zhuǎn)角：其中：——抗扭截面模量。系數(shù)、隨長短邊的比值m=h/b

而變化，可查