材料力學(xué)-3扭轉(zhuǎn)

第三章扭轉(zhuǎn)材料力學(xué)1汽車轉(zhuǎn)向軸§3–1概述2一、概述汽車傳動(dòng)軸§3–1概述3絲錐攻絲§3–1概述4§3–1概述5軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動(dòng)軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)變形：在桿件的兩端作用兩個(gè)等值，反向，且作用面垂直于桿件軸線的力偶，使桿件的任意兩個(gè)橫截面都發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。ABOmmOBA6轉(zhuǎn)速：n(轉(zhuǎn)/分)輸入功率：P(kW)M1分鐘輸入功：1分鐘M作功：單位§3–2傳動(dòng)軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖一、傳動(dòng)軸的外力偶矩73扭矩的符號(hào)規(guī)定：“T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負(fù)。1扭矩：構(gòu)件受扭時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。2截面法求扭矩mmmTx二、扭矩及扭矩圖8扭矩正負(fù)規(guī)定右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向?yàn)檎?+),反之為負(fù)(-)94扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。目的①扭矩變化規(guī)律；②|T|max值及其截面位置強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）。xT10[例1]已知：一傳動(dòng)軸，n=300r/min，主動(dòng)輪輸入PA=50kW，從動(dòng)輪輸出PB=15kW，PC=15kW，PD=20kW，試?yán)L制扭矩圖。解：①計(jì)算外力偶矩BCADmBmCmDmA11②求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）mBT1mBmCT2T3mDT1=-mB=-477N·mT2=-mB-mc=-954N·mT3=mD=637N·m12③繪制扭矩圖CA段為危險(xiǎn)截面。xT(N·m)477954637––BCADmBmCmDmAT1=-477N·mT2=-954N·mT3=637N·m13§3–3純剪切薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）一、實(shí)驗(yàn)：1.實(shí)驗(yàn)前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對(duì)外力偶m。142.實(shí)驗(yàn)后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。3.結(jié)論：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

②各縱向線均傾斜了同一微小角度。

③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。15acddxbdy′′①無正應(yīng)力②橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的切應(yīng)力，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。微小矩形單元體如圖所示：?單元體的四個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。16二、切應(yīng)力互等定理：

上式稱為切應(yīng)力互等定理。該定理表明：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxbdy′′tz17三、剪切虎克定律：

與的關(guān)系：薄壁圓筒切應(yīng)力大?。?/p>

A0：平均半徑所作圓的面積。切應(yīng)變（）：直角的改變量。扭轉(zhuǎn)角（）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的相對(duì)角位移。18T=m剪切虎克定律：當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)（τ≤τp)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比關(guān)系。19式中：G是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因無量綱，故G的量綱與相同，不同材料的G值可通過實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的G值約為80GPa。剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系：可見，在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量就可以推算出來。20§3–4等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力·強(qiáng)度條件等直圓桿橫截面應(yīng)力①變形幾何方面②物理關(guān)系方面③靜力學(xué)方面平面假設(shè)：1.橫截面變形后，仍為平面，形狀和大小不變；半徑保持直線。2.軸向無伸縮。一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：21二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：1.變形幾何關(guān)系：距圓心為任一點(diǎn)處的與到圓心的距離成正比?！まD(zhuǎn)角沿長度方向變化率。22Ttmaxtmax2.物理關(guān)系：剪切虎克定律：代入上式得：233.靜力學(xué)關(guān)系：TOdA令代入物理關(guān)系式得：極慣性矩24—橫截面上距圓心為處任一點(diǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式。4.公式討論：①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。

—該點(diǎn)到圓心的距離。Ip—極慣性矩，純幾何量，無物理意義。25單位：mm4，m4。③盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同。對(duì)于實(shí)心圓截面：DdO26對(duì)于空心圓截面：dDOd27④應(yīng)力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實(shí)心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。28⑤確定最大切應(yīng)力：由知：當(dāng)Wt—抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對(duì)于實(shí)心圓截面：對(duì)于空心圓截面：29三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。301.點(diǎn)M的應(yīng)力單元體如圖(b)：(a)M(b)tt′tt′(c)2.斜截面上的應(yīng)力；取分離體如圖(d)：(d)t′ttasax31(d)t′ttasaxnt轉(zhuǎn)角規(guī)定：軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線逆時(shí)針：為“+”順時(shí)針：為“–”由平衡方程：解得：32分析：當(dāng)=0°時(shí)，當(dāng)=45°時(shí)，當(dāng)=–45°時(shí)，當(dāng)=90°時(shí)，tt′smaxsmin45°由此可見：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，在橫截面和縱截面上的切應(yīng)力為最大值；在方向角=45的斜截面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力(抗拉強(qiáng)度低）。根據(jù)這一結(jié)論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。33四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：對(duì)于等截面圓軸：([]

稱為許用切應(yīng)力。)強(qiáng)度計(jì)算三方面：①校核強(qiáng)度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③計(jì)算許可載荷：341、對(duì)于_______性材料的圓桿，扭轉(zhuǎn)破壞斷面是與軸線成45°的螺旋面，對(duì)于______性材料，扭轉(zhuǎn)破壞斷面是垂直于桿軸線的橫截面。2、圓軸橫截面上的扭矩為T，按強(qiáng)度條件算得直徑為d，若該橫截面上的扭矩變?yōu)?.5T，則按強(qiáng)度條件可算得相應(yīng)的直徑0.5d。（）脆塑X練習(xí)思考題353、直徑為D的實(shí)心圓軸，兩端受外力偶作用而產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，橫截面的最大許用載荷為T，若將軸的橫截面面積增加一倍，則其最大許可載荷為（）。A、2TB、4TC、D、4、使一實(shí)心圓軸受扭轉(zhuǎn)的外力偶的力偶矩為M，按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)的直徑為D。當(dāng)外力偶矩增大為2M時(shí)，直徑應(yīng)增大為（）。A、1.89B、1.26C、1.414D、2DB365、實(shí)心或空心圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，已知橫截面上的扭矩為T，在所繪出的相應(yīng)圓軸橫截面上的剪應(yīng)力分布圖（如圖所示）中（）是正確的。d376.指出以下應(yīng)力分布圖中哪些是正確的（）A.圖(a)(b)正確B.圖(b)(c)正確C.圖(c)(d)正確D.圖(b)(d)正確d38例題功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，許用切應(yīng)力[]=30MPa,試校核其強(qiáng)度。Tm解：①求扭矩及扭矩圖②計(jì)算并校核切應(yīng)力強(qiáng)度③此軸滿足強(qiáng)度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx39例題已知A輪輸入功率為50kW，B、C、D輪輸出功率分別為15、15、20kW，軸的轉(zhuǎn)速為300r/min，[τ]=40MPa，試設(shè)計(jì)該軸直徑d。BCADTBTCTDTA477.5N·m954.9N·m636.6N·mT+-40由強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)軸直徑：選：d=50mmTmax=954.9N·m41解：由傳動(dòng)軸的尺寸計(jì)算抗扭截面模量：軸的最大剪應(yīng)力例題某汽車傳動(dòng)軸，用45號(hào)鋼無縫鋼管制成，其外徑D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用時(shí)最大扭矩為T=1500N.m,試校核此軸的強(qiáng)度。已知[]=60MPa。若此軸改為實(shí)心軸，并要求強(qiáng)度仍與原空心軸相當(dāng)，則實(shí)心軸的直徑為？42所以此軸安全。若此軸改為實(shí)心軸，而式中解得：43實(shí)心軸的橫截面面積為空心軸的橫截面面積空心軸與實(shí)心軸的重量之比：因此在承載能力相同的條件下，使用空心軸比較節(jié)約材料、比較經(jīng)濟(jì)。44采用空心軸可有效地減輕軸的重量，節(jié)約材料。因?yàn)?/p>

①根據(jù)應(yīng)力分布規(guī)律，軸心附近處的應(yīng)力很小，對(duì)實(shí)心軸而言，軸心附近處的材料沒有較好地發(fā)揮其作用；

②從截面的幾何性質(zhì)分析，橫截面面積相同的條件下，空心軸材料分布遠(yuǎn)離軸心，其極慣性矩Ip必大于實(shí)心軸，扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp也比較大，強(qiáng)度和剛度均可提高；

③通常所講保持強(qiáng)度不變，即指最大切應(yīng)力值不變；保持剛度不變，即指截面圖形極慣性矩保持不變。④對(duì)于軸的強(qiáng)度或剛度，采用空心軸比實(shí)心軸都較為合理。

45§3–5等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形·剛度條件一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形由公式知：長為l一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

為46二、單位扭轉(zhuǎn)角：或三、剛度條件或GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。[]稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。47剛度計(jì)算的三方面：①校核剛度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③計(jì)算許可載荷：有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。48例題傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動(dòng)輪A輸入功率P1=400kW，從動(dòng)輪C，B分別輸出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。(1)試確定AC段的直徑d1和BC段的直徑d2；(2)若AC和BC兩段選同一直徑，試確定直徑d；(3)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理?解：1.外力偶矩49

2.扭矩圖按剛度條件3.直徑d1的選取按強(qiáng)度條件50

按剛度條件4.直徑d2的選取按強(qiáng)度條件5.選同一直徑時(shí)51

6.將主動(dòng)輪按裝在兩從動(dòng)輪之間受力合理52階梯形圓軸直徑分別為d1=40mm，d2=70mm，軸上裝有三個(gè)皮帶輪。已知由輪3輸入的功率為N3=30kW,輪1輸出的功率為N1=13kW，軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速n=200r/min，材料的許用剪應(yīng)力[τ]=60MPa，G=80GPa，許用扭轉(zhuǎn)角[θ]=2°/m。試校核軸的強(qiáng)度和剛度。例：53解:（1）計(jì)算外力扭矩

（2）計(jì)算內(nèi)力扭矩

（3）計(jì)算抗扭截面模量

54（4）強(qiáng)度校核

強(qiáng)度足夠。

（5）剛度校核

剛度足夠。

55[例]長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，G=80GPa，許用切應(yīng)力[]=30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若[]=2o/m，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：①設(shè)計(jì)桿的外徑5640NmxT代入數(shù)值得：D0.0226m。②由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度5740NmxT③右端面轉(zhuǎn)角為：58§3–6等直圓桿的扭轉(zhuǎn)超靜定問題解決扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟：平衡方程；幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程；補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。①②③④⑤59焊接前

直徑d=25mm的鋼軸上焊有兩凸臺(tái)，凸臺(tái)上套有外徑D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，當(dāng)桿承受外扭轉(zhuǎn)力偶矩T=73.6N·m時(shí)，將薄壁管與凸臺(tái)焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸臺(tái)不變形，薄壁管與軸的材料相同，切變模量G=40MPa。試：1．分析卸載后軸和薄壁管的橫截面上有沒有內(nèi)力，二者如何平衡？2．確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應(yīng)力。A'AA'B焊接后解：1．分析卸載后軸和薄壁管的變形：設(shè)軸受外扭轉(zhuǎn)力偶矩T時(shí)，相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為φ0，如果不與薄壁管連成一體，卸載后，變形將消失(AA'A)，軸的橫截面上沒有扭矩作用。加載后，軸與薄壁管焊成一體，然后卸載，不僅軸的變形不會(huì)消失，而且薄壁管也會(huì)產(chǎn)生變形(AA'B)。AA60這時(shí)，軸和薄壁管的橫截面上都有扭矩作用，二者自相平衡。AA'B

直徑d=25mm的鋼軸上焊有兩凸臺(tái)，凸臺(tái)上套有外徑D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，當(dāng)桿承受外扭轉(zhuǎn)力偶矩T=73.6N·m時(shí)，將薄壁管與凸臺(tái)焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸臺(tái)不變形，薄壁管與軸的材料相同，切變模量G=40MPa。試：1．分析卸載后軸和薄壁管的橫截面上有沒有內(nèi)力，二者如何平衡？2．確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應(yīng)力。61這時(shí)，軸和薄壁管的橫截面上都有扭矩作用，二者自相平衡。AA'B

直徑d=25mm的鋼軸上焊有兩凸臺(tái)，凸臺(tái)上套有外徑D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，當(dāng)桿承受外扭轉(zhuǎn)力偶矩T=73.6N·m時(shí)，將薄壁管與凸臺(tái)焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸臺(tái)不變形，薄壁管與軸的材料相同，切變模量G=40MPa。試：1．分析卸載后軸和薄壁管的橫截面上有沒有內(nèi)力，二者如何平衡？2．確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應(yīng)力。62AA'B2．確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應(yīng)力：平衡方程變形協(xié)調(diào)方程物性關(guān)系方程

直徑d=25mm的鋼軸上焊有兩凸臺(tái)，凸臺(tái)上套有外徑D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，當(dāng)桿承受外扭轉(zhuǎn)力偶矩T=73.6N·m時(shí)，將薄壁管與凸臺(tái)焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸臺(tái)不變形，薄壁管與軸的材料相同，切變模量G=40MPa。試：1．分析卸載后軸和薄壁管的橫截面上有沒有內(nèi)力，二者如何平衡？2．確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應(yīng)力。63聯(lián)立解出

直徑d=25mm的鋼軸上焊有兩凸臺(tái)，凸臺(tái)上套有外徑D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，當(dāng)桿承受外扭轉(zhuǎn)力偶矩T=73.6N·m時(shí)，將薄壁管與凸臺(tái)焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸臺(tái)不變形，薄壁管與軸的材料相同，切變模量G=40MPa。試：1．分析卸載后軸和薄壁管的橫截面上有沒有內(nèi)力，二者如何平衡？2．確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應(yīng)力。642．確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應(yīng)力：m4

m4

直徑d=25mm的鋼軸上焊有兩凸臺(tái)，凸臺(tái)上套有外徑D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，當(dāng)桿承受外扭轉(zhuǎn)力偶矩T=73.6N·m時(shí)，將薄壁管與凸臺(tái)焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸臺(tái)不變形，薄壁管與軸的材料相同，切變模量G=40MPa。試：1．分析卸載后軸和薄壁管的橫截面上有沒有內(nèi)力，二者如何平衡？2．確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應(yīng)力。652．確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應(yīng)力：m4

m4MPa

MPa

直徑d=25mm的鋼軸上焊有兩凸臺(tái)，凸臺(tái)上套有外徑D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，當(dāng)桿承受外扭轉(zhuǎn)力偶矩T=73.6N·m時(shí)，將薄壁管與凸臺(tái)焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸臺(tái)不變形，薄壁管與軸的材料相同，切變模量G=40MPa。試：1．分析卸載后軸和薄壁管的橫截面上有沒有內(nèi)力，二者如何平衡？2．確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應(yīng)力。66[例]長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，外徑D=0.0226m，G=80GPa，試求固端反力偶。解：①桿的受力圖如圖示，

這是一次超靜定問題。

平衡方程為：67②幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程③綜合物理方程與幾何方程，得補(bǔ)充方程：④由平衡方程和補(bǔ)充方程得：另:此題可由對(duì)稱性直接求得結(jié)果。68§3–7等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能一、應(yīng)變能與能密度acddxbdy′′dzzxy單元體微功：應(yīng)變比能：69二、圓柱形密圈螺旋彈簧的計(jì)算1.應(yīng)力的計(jì)算=+tQtTQT近似值：PQT702.彈簧絲的強(qiáng)度條件:精確值：（修正公式，考慮彈簧曲率及剪力的影響）其中：稱為彈簧指數(shù)。稱為曲度系數(shù)。713.位移的計(jì)算(能量法）外力功：變形能：72[例6]圓柱形密圈螺旋彈簧的平均直徑為：D=125mm，簧絲直徑為：d=18mm，受拉力P=500N的作用，試求最大切應(yīng)力的近似值和精確值；若G=82GPa，欲使彈簧變形等于6mm，問：彈簧至少應(yīng)有幾圈？解：①最大切應(yīng)力的近似值：73②最大切應(yīng)力的精確值：③彈簧圈數(shù)：（圈）74§3–8非圓截面等直桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。75一、自由扭轉(zhuǎn)