第五章軸向拉伸及壓縮

第二篇材料力學2023/2/51

第5章軸向拉伸與壓縮工程力學（靜力學與材料力學）第二篇材料力學返回總目錄2

拉伸和壓縮是桿件基本受力與變形形式中最簡單的一種，所涉及的一些基本原理與方法比較簡單，但在材料力學中卻有一定的普遍意義。

本章主要介紹桿件承受拉伸和壓縮的基本問題，包括：內(nèi)力、應力、變形；材料在拉伸和壓縮時的力學性能以及強度設(shè)計。本章的目的是使讀者對彈性靜力學有一個初步的、比較全面的了解。

第5章軸向拉伸與壓縮3

承受軸向載荷的拉（壓）桿在工程中的應用非常廣泛。

一些機器和結(jié)構(gòu)中所用的各種緊固螺栓，在緊固時，要對螺栓施加預緊力，螺栓承受軸向拉力，將發(fā)生伸長變形。

第5章軸向拉伸與壓縮4

承受軸向載荷的拉（壓）桿在工程中的應用非常廣泛。

由汽缸、活塞、連桿所組成的機構(gòu)中，不僅連接汽缸缸體和汽缸蓋的螺栓承受軸向拉力，帶動活塞運動的連桿由于兩端都是鉸鏈約束，因而也是承受軸向載荷的桿件。

第5章軸向拉伸與壓縮5

此外，起吊重物的鋼索、橋梁桁架結(jié)構(gòu)中的桿件等，也都是承受拉伸或壓縮的桿件。

第5章軸向拉伸與壓縮6§2.1軸向拉伸與壓縮的概念和實例工程問題中，有很多桿件是受拉或受壓的。7桁架結(jié)構(gòu)－塔吊§2.1軸向拉伸與壓縮的概念和實例8桁架結(jié)構(gòu)－房屋結(jié)構(gòu)§2.1軸向拉伸與壓縮的概念和實例9桁架結(jié)構(gòu)－高壓線塔§2.1軸向拉伸與壓縮的概念和實例10斜拉橋承受拉力的鋼纜

第5章軸向拉伸與壓縮11§2.1軸向拉伸與壓縮的概念和實例qFFt軸向拉伸與壓縮實例

pF軸向受力桿軸向受力桿簡化模型FF12直桿受拉或受壓時的特點：受力特點：FFFF變形特點：這樣的桿件稱為拉（壓）桿。這樣的力稱為軸向拉力或軸向壓力。外力合力的作用線與桿軸線重合；桿件變形主要是沿軸線方向的伸長或縮短。13軸力與軸力圖拉、壓桿件的強度設(shè)計

拉、壓桿件的變形分析

結(jié)論與討論拉、壓桿件橫截面上的應力拉伸與壓縮時材料的力學性能

第5章軸向拉伸與壓縮返回總目錄14軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮返回15+

當所有外力均沿桿的軸線方向作用時，桿的橫截面上只有沿軸線方向的一個內(nèi)力分量，這個內(nèi)力分量稱為“軸力”（normalforce）用FN

表示。表示軸力沿桿軸線方向變化的圖形，稱為軸力圖（diagramofnormalforces）。

為了繪制軸力圖，桿件上同一處兩側(cè)橫截面上的軸力必須具有相同的正負號。因此，約定使桿件受拉的軸力為正，受壓的軸力為負。FNFN－軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮16繪制軸力圖的方法與步驟如下：

其次，根據(jù)桿件上作用的載荷以及約束力，軸力圖的分段點：在有集中力作用處即為軸力圖的分段點；

第三，應用截面法，用假想截面從控制面處將桿件截開，在截開的截面上，畫出未知軸力，并假設(shè)為正方向；對截開的部分桿件建立平衡方程，確定軸力的大小與正負：產(chǎn)生拉伸變形的軸力為正，產(chǎn)生壓縮變形的軸力為負；

最后，建立FN－x坐標系，將所求得的軸力值標在坐標系中，畫出軸力圖。

首先，確定作用在桿件上的外載荷與約束力；軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮17CAB

直桿，A端固定，在B、C兩處作用有集中載荷F1和F2，其中F1＝5kN，F(xiàn)2＝10kN。F1F2llCABllF1F2FA試畫出：桿件的軸力圖。

例題1解：1.確定A處的約束力

A處雖然是固定端約束，但由于桿件只有軸向載荷作用，所以只有一個軸向的約束力FA。求得FA＝5kN由平衡方程

軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮18解：2.確定控制面

3.應用截面法求控制面上的軸力用假想截面分別從控制面A、B'

、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡。

CABF1F2llCABllF1F2FA

在集中載荷F2、約束力FA作用處的A、C截面，以及集中載荷F1作用點B處的上、下兩側(cè)橫截面都是控制面。

B"B'軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮19

3.應用截面法求控制面上的軸力

用假想截面分別從控制面A、B'

、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FAB"B'CABllF1F2FNA軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮203.應用截面法求控制面上的軸力

用假想截面分別從控制面A、B'

、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FAB"B'CBlF1F2B"FNB''

軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮21

3.應用截面法求控制面上的軸力

用假想截面分別從控制面A、B'

、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FAB"B'FNB'ClF2B'軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮22

3.應用截面法求控制面上的軸力用假想截面分別從控制面A、B'

、B"、C處將桿截開，假設(shè)橫截面上的軸力均為正方向（拉力），并考察截開后下面部分的平衡，求得各截面上的軸力：

CABllF1F2FAB"B'FNCClF2軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮23

4.建立FN-x坐標系，畫軸力圖

FN-x坐標系中x坐標軸沿著桿件的軸線方向，F(xiàn)N坐標軸垂直于x軸。

將所求得的各控制面上的軸力標在FN-x坐標系中，得到a、b"、b′和c四點。因為在A、B"之間以及B′、C之間，沒有其他外力作用，故這兩段中的軸力分別與A（或B"

）截面以及C（或B′）截面相同。這表明a點與b"點之間以及c點與b′點之間的軸力圖為平行于x軸的直線。于是，得到桿的軸力圖。軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮24FN/kNOxCABF1F2llCABllF1F2FNAFNB''

CBlF1F2B"FNB'ClF2B'FNCClF2b"5b'10c105a軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮25根據(jù)以上分析，繪制軸力圖的方法確定約束力；

根據(jù)桿件上作用的載荷以及約束力，確定控制面，也就是軸力圖的分段點；

應用截面法，用假想截面從控制面處將桿件截開，在截開的截面上，畫出未知軸力，并假設(shè)為正方向；對截開的部分桿件建立平衡方程，確定控制面上的軸力

建立FN－x坐標系，將所求得的軸力值標在坐標系中，畫出軸力圖。

軸力與軸力圖

第5章軸向拉伸與壓縮261.內(nèi)力求內(nèi)力的方法：截面法。例子取截面m-m由平衡條件可知：內(nèi)力的合力作用線沿軸線拉力為正；壓力為負。

軸力圖

軸力(用FN表示)。軸力的正負號規(guī)定：mmFFF﹜FNx27例1

已知：F1=40kN,F2=30kN,F3=20KNkN。解：112233F1F2F3ABCD

1-1截面，取右邊，受力如圖。求：1-1,2-2和3-3截面的軸力,并作桿的軸力圖。11F1F2F3BCDFN1

2-2截面,取右邊,受力如圖。22F2F3CDFN2FN1=F1+F2-F328112233F1F2F3ABCDFN3

2-2截面,取右邊,受力如圖。22F2F3CDFN2

3-3截面,取右邊,受力如圖。33F3D軸力圖xFN

(kN)50102029§2.2軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內(nèi)力和應力

F1=40KNF2=20KNq=20kN/m3m1mABCXAB部分:F2FNFN+F2=0；FN=-20KNFN(X)=F1-qx=40KN-20KNX20KN40kN+F1BC部分：FN(X)FN(X)-F1+qX=0x30

第5章軸向拉伸與壓縮工程力學（靜力學與材料力學）第二篇材料力學返回總目錄31拉、壓桿件橫截面上的應力

第5章軸向拉伸與壓縮返回32橫截面上的正應力根據(jù)軸力還不能確定桿的強度。為了得到截面應力分布規(guī)律，需研究桿件變形。桿的變形變形后a'b',c'd'FFFabd'Fa'b'c'cd變形前橫截面上各點，變形后仍在同一平面,內(nèi),而且仍垂直于軸線(內(nèi)部變形假設(shè))。(1)仍為直線;(2)仍互相平行且垂直于軸線;

平面假設(shè)33FNFabd'Fa'b'c'cd由平面假設(shè)

平面假設(shè)各縱向纖維變形相同各縱向纖維受力相同正應力在橫截面上均勻分布橫截面上分布的平行力系的合力應為軸力N。正應力公式34正應力公式說明此公式對受壓的情況也成立；正應力的正負號規(guī)定:(指向外法線為正)橫截面上的正應力也近似為均勻分布，可有：對變截面桿，sxsxsxsx當截面變化緩慢時，35桿端加載方式對正應力分布的影響圣維南原理 若用與外力系靜力等效的合力代替原力系，則這種代替對構(gòu)件內(nèi)應力與應變的影響只限于原力系作用區(qū)域附近很小的范圍內(nèi)。對于桿件，此范圍相當于橫向尺寸的1～1.5倍。即：離端面不遠處，應力分布就成為均勻的。36例題2

變截面直桿，ADE段為銅制,EBC段為鋼制；在A、D、B、C等4處承受軸向載荷。已知：ADEB段桿的橫截面面積AAB＝10×102mm2，BC段桿的橫截面面積ABC＝5×102mm2；FP＝60kN；各段桿的長度如圖中所示，單位為mm。

試求：直桿橫截面上的絕對值最大的正應力。拉、壓桿件橫截面上的應力

第5章軸向拉伸與壓縮37

解：1．

作軸力圖由于直桿上作用有4個軸向載荷，而且AB段與BC段桿橫截面面積不相等，為了確定直桿橫截面上的最大正應力和桿的總變形量，必須首先確定各段桿的橫截面上的軸力。

應用截面法，可以確定AD、DEB、BC段桿橫截面上的軸力分別為：

FNAD＝－2FP＝－120kNFNDE＝FNEB＝－FP＝－60kNFNBC＝FP＝60kN拉、壓桿件橫截面上的應力

第5章軸向拉伸與壓縮38

2．計算直桿橫截面上絕對值最大的正應力

橫截面上絕對值最大的正應力將發(fā)生在軸力絕對值最大的橫截面，或者橫截面面積最小的橫截面上。本例中，AD段軸力最大；BC段橫截面面積最小。所以，最大正應力將發(fā)生在這兩段桿的橫截面上：

拉、壓桿件橫截面上的應力

第5章軸向拉伸與壓縮39例題3

三角架結(jié)構(gòu)尺寸及受力如圖所示。其中FP＝22.2kN；鋼桿BD的直徑dl＝25．4mm；鋼梁CD的橫截面面積A2＝2.32×103mm2。

試求：桿BD與CD的橫截面上的正應力。拉、壓桿件橫截面上的應力

第5章軸向拉伸與壓縮40

首先對組成三角架結(jié)構(gòu)的構(gòu)件作受力分析，因為B、C、D三處均為銷釘連接，故BD與CD均為二力構(gòu)件。由平衡方程

解：1．受力分析，確定各桿的軸力拉、壓桿件橫截面上的應力

第5章軸向拉伸與壓縮41其中負號表示壓力。

解：1．受力分析，確定各桿的軸力

2．計算各桿的應力應用拉、壓桿件橫截面上的正應力公式，BD桿與CD桿橫截面上的正應力分別為：拉、壓桿件橫截面上的應力

第5章軸向拉伸與壓縮42例題已知P＝38kN，問零件內(nèi)最大拉應力發(fā)生在哪個截面上？并求其值。AABBCCAAA=(50-22)x20=560mm2ABB=(50-10)x20=800mm2ACC=(50-22)x15x2=840mm2smaxFNA=38000/560x10-6=67.86x106Pa=67.86MPa43例受內(nèi)壓圓筒。已知d=70mm，壁厚t=2.5mm，內(nèi)壓p=3.5MPa。求沿周向的應力。FNFN44由截面的對稱性知，徑向截面上的應力必然僅存在拉應力單位長度管子，由Y方向的平衡方程，有代入數(shù)值，得FNFN45直桿軸向拉伸或壓縮時斜截面上的應力有時拉(壓)桿件沿斜截面發(fā)生破壞。橫截面上的正應力:FFkkaFFkk斜截面k-k應力仍為均勻分布內(nèi)力仍為F斜截面面積:因此，需要確定斜截面上的應力。46kkFF斜截面k-k應力仍為均勻分布內(nèi)力仍為F斜截面面積:斜截面上的全應力:pasataaa斜截面上的正應力和剪應力47pasataaa

角斜截面上的正應力和剪應力正負號規(guī)定

的正負號:的正負號:從橫截面的法線到斜截面的法線，逆時針為正，順時針為負。

的正負號:拉應力為正，壓應力為負。繞所保留的截面，順時針為正，逆時針為負。討論48pasataaa

角斜截面上的正應力和剪應力討論

=0時(橫截面):

=45(斜截面):

=90(縱向截面):

結(jié)論:max

發(fā)生在橫截面上,max發(fā)生在=45斜截面上,49拉伸與壓縮時材料的力學性能

第5章軸向拉伸與壓縮返回50

材料在拉伸時的力學性能試件和試驗設(shè)備

試件l

標距d

直徑

試驗設(shè)備液壓式試驗機,電子拉力試驗機塑性材料脆性材料

典型代表:低碳鋼金屬材料

典型代表:鑄鐵51試件和試驗設(shè)備

試件l

標距d

直徑l=10d

長試件；l=5d

短試件。

試驗設(shè)備液壓式試驗機電子拉力試驗機52一、低碳鋼拉伸時的力學性能拉伸圖新課53拉伸圖

-

曲線54

-

曲線1

彈性階段

(ob段)oa段:為直線直線斜率:這就是著名的胡克定律。E

彈性模量,具有應力的量綱,常用單位:GPaa點的應力:比例極限

P

當

<P

時成立。55ab段:不再是直線。在b點以下，卸載后變形可以完全恢復。

彈性變形b點的應力:彈性極限

e

當應力超過e

時，將產(chǎn)生塑性變形。屈服極限

s

2

屈服階段(bc段)

強度的重要指標56恢復抵抗變形的能力強化。e點的應力:強度極限

b

3

強化階段4局部變形階段(ef

段)(ce段)強度的另一重要指標。頸縮現(xiàn)象。名義應力下降。575延伸率和斷面收縮率為度量材料塑性變形的能力，定義兩個指標。延伸率這里，l為試件標線間的標距，l1為試件拉斷后 量得的標線間的長度。

斷面收縮率這里，A為試件原橫截面面積，A1為試件拉斷 后頸縮處的最小截面面積。通常，5%

的材料，為塑性材料；

5%

的材料，為脆性材料。586卸載定律和冷作硬化

卸載過程

卸載后再加載dd'為直線dd'//aod'g

彈性應變；od'

塑性應變。先沿d'd

直線，然后沿def曲線。在d'd

段滿足胡克定律。59

卸載后再加載先沿d'd

直線，然后沿def曲線。在d'd

段滿足胡克定律。

冷作硬化材料進入強化階段以后的卸載再加載歷史,使材料的比例極限提高，而塑性變形能力降低，這一現(xiàn)象稱為冷作硬化。60二、其它塑性材料拉 伸時的力學性能名義屈服極限與低碳鋼相比共同之處:斷裂破壞前經(jīng)歷較大的塑性變形；不同之處：有的沒有明顯的四個階段。合金鋼20Cr高碳鋼T10A螺紋鋼16Mn低碳鋼A3黃銅H6261對于沒有明顯的屈服階段的塑性材料，工程上規(guī)定:用產(chǎn)生0.2

%塑性應變時的應力作屈服指標，稱為名義屈服極限，用P0.2表示。名義屈服極限P0.262三、鑄鐵拉伸時的力學性能63抗拉強度很低。特點：無屈服過程；拉斷前，塑性變 形很??；b彈性模量

割線彈性模量強度指標：強度極限b

-

曲線64

材料在壓縮時的力學性能

E,s與拉伸時大致相同。因越壓越扁,得不到b

。金屬的壓縮試件:短圓柱，其高度與直徑之比為1.低碳鋼壓縮時的-

曲線

1.5~3。652.鑄鐵壓縮時的-

曲線

抗壓強度極限比抗拉強度極限高4~5倍。破壞斷面與軸線大約成45~55的傾角。66小結(jié)比例極限

P

彈性極限

e

屈服極限

s

強度極限

b

彈性模量

E

延伸率

,斷面收縮率

材料的力學性能指標塑性材料抗拉強度和抗壓強度相同。脆性材料抗壓強度遠大于抗拉強度。彈性指標強度指標塑性指標名義屈服極限P0.267幾種常用材料的主要力學性能68例題已知材料的屈服應力σS=300MPa，比例極限σｐ＝２00MPa，直徑d=１０mm，今軸向加載12KN時，測得標距段100mm伸長了0.075mm，而直徑減小為9.998mm,試求材料彈性模量Ｅ和泊桑比μ。當載荷增加到20和30KN時,材料處于什么狀態(tài),能否應用胡克定律求應力?解:首先判斷所加應力是否在比例極限內(nèi)?縱向線應變?yōu)?工作應力為:橫向應變?yōu)?彈性模量為:泊桑比:當軸向力為20KN時已超出比例極限當軸向力為30KN時已超出屈服極限69

溫度和時間對材料力學性能的影響1、高溫對材料的力學性能有影響;2、長期在高溫下工作的構(gòu)件，會產(chǎn)生蠕變 和松弛;3、蠕變：應力保持不變，應變隨時間增加 而增加的現(xiàn)象;4、松弛：應變保持不變，應力隨時間增加 而降低的現(xiàn)象。幾個概念：70失效、安全系數(shù)和強度計算1失效失效—由于材料的力學行為而使構(gòu)件喪失正 常功能的現(xiàn)象。強度失效由于斷裂或屈服引起的失效剛度失效由于過量的彈性變形引起的失效屈曲失效(失穩(wěn))由于突然失去平衡狀態(tài)而引起的失效其它失效形式疲勞失效蠕變失效松弛失效712拉壓構(gòu)件材料的強度失效判據(jù)塑性材料以屈服極限s

為失效判據(jù)脆性材料受拉時：以強度極限b拉

為失效判據(jù);受壓時：以強度極限b壓

為失效判據(jù)。3許用應力與安全系數(shù)塑性材料脆性材料ns

塑性材料的 安全系數(shù)nb

脆性材料的 安全系數(shù)723許用應力與安全系數(shù)塑性材料脆性材料安全系數(shù)的確定材料素質(zhì)（質(zhì)量、均勻性、塑性、脆性）；載荷情況（峰值載荷、動靜、不可預見性)；構(gòu)件簡化過程和計算方法的精確度；零件的重要性、制造維修的難易程度；減輕重量（飛機、手提設(shè)備等）。塑性材料：ns=1.2~2.5脆性材料：nb

=2~3.5一般地：734拉壓構(gòu)件的強度條件注意：對于非等直桿，max

還與截面積A有關(guān)。強度問題的三種類型強度校核截面設(shè)計確定許可載荷74拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮返回75

螺紋內(nèi)徑d＝15mm的螺栓，緊固時所承受的預緊力為FP＝20kN。若已知螺栓的許用應力σ

＝150MPa，

試：校核螺栓的強度是否安全。

例題4

解：1．

確定螺栓所受軸力

應用截面法，很容易求得螺栓所受的軸力即為預緊力：

FN＝FP＝20kN

2．

計算螺栓橫截面上的正應力

根據(jù)拉伸與壓縮桿件橫截面上的正應力公式，螺栓在預緊力作用下，橫截面上的正應力拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮76

3

．應用強度條件進行強度校核

已知許用應力σ

＝150MPa，而上述計算結(jié)果表明螺栓橫截面上的實際應力

所以，螺栓的強度是安全的。拉、壓桿件的強度設(shè)計

第5章軸向拉伸與壓縮77例

氣動夾具

解：取桿,受力如圖。軸力已知：D＝140mm,

p=0.6MPa,20鋼,[s]=80MPa。求：活塞桿直徑d.FF近似地所以FFN78所以而取再校核滿足強度條件,所以就?。篎F79例

桿系結(jié)構(gòu)解：求軸力已知：桿AB、AC材料相同,[s]=160MPa,A1＝706.9mm2,A2＝314mm2.求：許可載荷F。取節(jié)點A，受力如圖。FFFN2FN1F80由強度條件(1)(2)所以，許可載荷F的值應為：81由強度條件(1)(2)所以，許可載荷F的值應為：

法二

列出平衡方程同前由強度條件(1)(2)82

法二

列出平衡方程同前由強度條件(1)(2)將上兩式代入平衡方程，可解出許可載荷F

:顯然，與前一種方法解出的F=97.1kN

不同。為什么？哪一種方法不正確？錯在哪里？兩桿中的內(nèi)力，并不一定第二種方法不正確。同時達到最大允許軸力。83例

起重機AB為空心鋼桿，外徑105mm,內(nèi)徑95mm,鋼索1和2平行，相當于直徑d=25mm的圓桿，[σ]=60MPa，求許可吊重。w84例

解平衡方程解平衡方程撐桿強度條件鋼索強度條件WFN85例斜截面m-n由兩部分膠合而成。膠合面上[σ]=100MPa，[τ]=50MPa。設(shè)由膠合面的強度控制桿件的拉力。為使F最大，α應為多少？當A＝4cm2，a60，確定許可載荷F。FFmna橫截面上的應力scos2a[s]scosasina[t]按強度條件86FFmnascos2a[s]scosasina[t]按強度條件要使F最大，則s應最大[s]/cos2a=[t]

/cosasinatga=[t]/[s]=0.5a=26.57as10050p/4p/2smax60

87這時s=

F/A=[s]/cos226.57

=125MPa

s=[t]/cos60

sin60

=115.5MPa<125MPa

a=60

時所以Fmax=125x106x4x10-4=50000N=50kN

88拉、壓桿件的變形分析

第5章軸向拉伸與壓縮返回891.軸向變形軸向變形量應變應力應力-應變關(guān)系 胡克定律的 另一種形式EA

抗拉(或抗壓)剛度注意：上式只在應力不超過比例極限時成立。FF902.橫向變形橫向變形量橫向應變試驗證明上式也可寫成：

泊松比或橫向變形系數(shù)。當應力不超過比例極限時，橫向應變與縱向應變成比例關(guān)系,因此有：FF913.多力變截面桿變形F1F2F3L3L3L1當桿件可化為若干段等截面且軸力為常數(shù)時,可分段求每一段的軸向變形,代數(shù)求和后即為整個桿件的軸向變形。每一段的軸向變形為：總的軸向變形為：上述和式中當軸向力為拉力時取正，壓力時取負，所得結(jié)果為正表示桿件為伸長變形。924.截面或內(nèi)力連續(xù)變化的桿軸向變形取一微段，該段內(nèi)力和截面積可視為不變積分得：微段的伸長可用等截面內(nèi)力為常數(shù)的基本公式:F1F2xdxA1A2A(X)A(X)FN(X)FN(x)+dFN(x)dx93幾種常用材料的E和m的約值(表2.2)94例題6

變截面直桿，ADE段為銅制,EBC段為鋼制；在A、D、B、C等4處承受軸向載荷。已知：ADEB段桿的橫截面面積AAB＝10×102mm2，BC段桿的橫截面面積ABC＝5×102mm2；FP＝60kN；銅的彈性模量Ec＝100GPa，鋼的彈性模量Es＝210GPa；各段桿的長度如圖中所示，單位為mm。

試求：直桿的總變形量。

拉、壓桿件的變形分析

第5章軸向拉伸與壓縮95

解：1．

作軸力圖由于直桿上作用有4個軸向載荷，而且AB段與BC段桿橫截面面積不相等，為了確定直桿橫截面上的最大正應力和桿的總變形量，必須首先確定各段桿的橫截面上的軸力。

應用截面法，可以確定AD、DEB、BC段桿橫截面上的軸力分別為：

FNAD＝－2FP＝－120kN；

FNDE＝FNEB＝－FP＝－60kN；

FNBC＝FP＝60kN。

拉、壓桿件的變形分析

第5章軸向拉伸與壓縮962．計算直桿的總變形量

直桿的總變形量等于各段桿變形量的代數(shù)和。

：

在上述計算中，DE和EB段桿的橫截面面積以及軸力雖然都相同，但由于材料不同，所以需要分段計算變形量。

拉、壓桿件的變形分析

第5章軸向拉伸與壓縮97例1

變截面桿已知：BD段A1=2cm2,AD段A2=4cm2,P1=5kN,P2=10kN,E=120GPa

。圖中尺寸為cm。求：AB桿的變形。解：(1)求軸力BD段FN1CD段FN2AC段FN3F1F2F1F1F1F298(1)求軸力BD段CD段AC段(2)求變形F1F299(2)求變形AB桿的變形F1F2100軸向拉伸或壓縮時的變形例求AB的變形已知材料彈性模量E=210Gpa,截面積A=3cm2Ｆ1=40KNＦ2=20KNq=20kN/m3m1mABCXdx解：BC部分內(nèi)力方程為：101軸向拉伸或壓縮時的變形取一微段dx,該微段為無限小,內(nèi)力不變FN(X)FN(X)+dFN(X)dxq(x)微段的伸長變形為：d(ΔL)=FN(x)dx/EAΔL=NABLAB/EA+LABΔL=-201031/210109310-4++(401033–2010332/2)/210109310-4=-0.317+0.476=0.159(mm)ΔLBC=LAB=(40KN-20kNx)dx/EA30102例M12螺栓內(nèi)徑d1=10.1mm，擰緊后在計算長度l=80mm內(nèi)伸長Dl=0.03mm。

E＝210GPa，求應力和螺栓的預緊力。103例

e=0.000375=375me=lls=Ee=210x109x0.000375=78.8x106Pa=78.8MPa預緊力為F=FN=As=6310N=6.31kN104例2

已知：BC桿:d=20mm,BD桿:8號槽鋼。[]=160MPa,E=200GPa,F=60kN。求：校核強度及B點位移。解：(1)求軸力取B點(拉)BC桿面積(壓)(2)計算應力BD桿面積查型鋼表得F105BC桿面積(2)計算應力BD桿面積查型鋼表得應力BC桿變形(3)計算桿的變形<[]=160MPa<[]=160MPaFFFN2FN1106BC桿變形(3)計算桿的變形BD桿變形(4)計算B點位移確定變形后B點的位置B3

B點水平位移ΔFΔl1Δl2107(4)計算B點位移確定變形后B點的位置B3

B點水平位移

B點垂直位移Δl1Δl2108例題求圖示結(jié)構(gòu)A點的垂直位移,已知BD桿軸向剛度EA,水平桿AC可視為剛體。Fθ2aaABCDFNFCXFCY解：取剛體ＣＡ為研究對象，并?。脼榫匦淖冃螏缀侮P(guān)系:δAδBΔLφθθ及109

軸向拉伸或壓縮的變形能彈性體在外力作用下，因變形而儲存的能量稱為變形能（或應變能）。1變形能力的功當應力小于比例極限時力的元功FlDl力的總功FdF拉伸曲線FDld(Dl)Dl1F1Dl110當應力小于比例極限時FlDl力的總功FdF拉伸曲線PDld(Dl)Dl1F1Dl變形能由胡克定律由能量守恒原理111FlDl推廣到多桿系統(tǒng)由能量守恒原理由胡克定律變形能

注意外力的功沿外力方向的位移單位體積內(nèi)的變形能。2比能(應變能密度)內(nèi)力或截面連續(xù)變化時有:112單位體積內(nèi)的變形能。2比能(應變能密度)d拉伸曲線d11單元體上下兩面的力為:當應力有一個增量d時,x方向伸長的增量為:取一單元體：sdxdydzsx方向的伸長為:則元功為:力所作的功為:113d拉伸曲線d11sdxdydzs則力所作的功為:所以:比能:當應力小于比例極限時114比能:當應力小于比例極限時由胡克定律或:由比能求應變能應力分布均勻時應力分布不均勻時115例3

解：已知:BD桿外徑90mm，壁厚2.5mm，桿長l=3m。E=210GPa。BC是兩條鋼索，每根截面積172mm2，E1=177GPa。F=30kN,不考慮立柱變形。求:B點垂直位移。解三角形得BC=l1=2.20m,CD=1.55mBC、BD的截面積分別為

A1＝344mm2,A=687mm2取B點，受力如圖：F116取B點，受力如圖：FN1=1.41F,

FN2=1.93FFN1FFN2外力P所作的功等于BC及BD桿的變形能，所以FFFF117

拉伸、壓縮靜不定問題靜定問題—— 未知力（內(nèi)力或外力）個 數(shù)等于獨立的平衡方程數(shù);靜不定問題——未知力個數(shù)多于獨立 的平 衡方程數(shù);靜不定次數(shù)—— 未知力個數(shù)與獨立平衡方程 數(shù)之差，也稱靜不定度數(shù);多余約束——保持結(jié)構(gòu)靜定多余的約束。關(guān)于靜不定的基本概念118靜力平衡方程－力的平衡關(guān)系。變形協(xié)調(diào)方程－變形與約束的協(xié)調(diào)關(guān)系。物理關(guān)系－力與變形的關(guān)系。求解靜不定問題的基本方法例1已知：1、2桿相同，抗拉剛度為E1A1

,3桿的抗拉剛度為E3A3

,長為l,角。求：各桿的內(nèi)力。F213ADCBl靜不定的次數(shù)？1次靜不定。解：119例1已知：1、2桿相同，抗拉剛度為E1A1

,3桿的抗拉剛度為E3A3

,長為l,

角。求：各桿的內(nèi)力。F213ADCBl解：(1)靜平衡方程取A點，受力如圖。yxFFN3FN1FN2靜不定次數(shù)？1次。120213ADCB(1)靜平衡方程l1l2A'(2)變形協(xié)調(diào)方程l3213ADCBl1l2A'l3法二(3)物理關(guān)系(1)(2)(3)121(1)靜平衡方程(2)變形協(xié)調(diào)方程(3)物理關(guān)系物理關(guān)系代入變形協(xié)調(diào)方程與平衡方程聯(lián)立，可解出:(1)(2)(3)(4)122(1)靜平衡方程物理關(guān)系代入變形協(xié)調(diào)方程與平衡方程聯(lián)立，可解出:(1)(2)(4)123例2已知：等直桿,EA,P;a,b。求：兩端的約束反力。解：(1)靜平衡方程取桿，受力如圖。ACBFabFR2R1(2)變形協(xié)調(diào)方程而AB桿總長度不變，AC段受拉，拉伸變形為BC段受壓，壓縮變形為所以靜不定次數(shù)？1次。124(1)靜平衡方程ACBFabFR2R1(2)變形協(xié)調(diào)方程AC段軸力BC段軸力所以(3)物理關(guān)系由物理關(guān)系和變形協(xié)調(diào)方程，得125(1)靜平衡方程ACBFabFR2R1(2)變形協(xié)調(diào)方程(3)物理關(guān)系由物理關(guān)系和變形協(xié)調(diào)方程，得與平衡方程聯(lián)立，解得：126GF例3已知：AB為剛性梁，1、2兩桿的橫截面面積相等,材料相同，F(xiàn)力已知。求：1、2兩桿的內(nèi)力。解：靜不定次數(shù)？(1)靜平衡方程1次。取AB桿，受力如圖。FAyFAxN1N2127(2)變形協(xié)調(diào)方程(1)靜平衡方程l1l2(3)物理關(guān)系FAyFAxN1N2F128(2)變形協(xié)調(diào)方程(1)靜平衡方程(3)物理關(guān)系聯(lián)立解出FAyFAxFN1FN2FF129例題:剛性板中有一孔,其中穿過螺栓并以預緊力FNO,然后加力F于下面的蓋板,求:(1)此時螺栓內(nèi)力的變化;(2)若在蓋板上面加一墊板,求此時螺栓的內(nèi)力變化(當墊板加力F時的變形?=F/K,K為墊板剛度系數(shù))。F/2F/2剛性板下蓋板螺栓解(1)：因為板是剛性的,所以只要保持和板接觸,螺栓長度不變，拉力也是不變的。而當力F大于預緊力FNO時,則剛性板和蓋板間不再接觸，此時螺栓拉力等于F所以有：當F≤FNOFN=FNO當F≥

FNOFN=F130解(2)F/2F/2螺栓剛性板下蓋板墊板墊板受力FAFA螺栓受力FAFBF/2F/2只要下面保持接觸,螺栓的伸長與墊板的縮短總和紿終不會變:它等于預緊時的變形總量(F=0時),即:131因此只要保持接觸,變形總量等于

預緊時的變形總量,即:F/2F/2螺栓剛性板下蓋板墊板由平衡條件:由以下兩式得到:當F=FNO(1+EA/KL)時,FA=0,下面不再接觸FN=FB=F;當K=∞,即板為剛性,是問題(1)的解132第二篇材料力學2023/2/5133題2.41兩根桿材料不同，截面尺寸相同，且E1＞E2。要使兩桿均勻拉伸，求拉力F的偏心距。分析：要使兩桿均勻拉伸，則兩桿伸長必相同F(xiàn)FF134題2.41解所以d1＝d2d1

＝FN1lE1Ad2

＝FN2lE2A由平衡方程得FN1+FN2＝FE1FE1+E2

FN1

=E2FE1+E2

FN2

=最后得FFN1FN2ebFN1b

＝F(e+)b2e

＝b(-)12E1E1+E2135

溫度應力與裝配應力

1.溫度應力由于溫度變化引起的應力，稱為溫度應力或熱應力。溫度應力僅存在于靜不定結(jié)構(gòu)中?；す艿罉蛄郝懵兜妮敋夤芗八苡蓽囟纫鸬淖冃纹渲校瑸椴牧系木€膨脹系數(shù)；T為溫度變化值；l為桿的長度。136由溫度引起的變形碳鋼的線膨脹系數(shù):a

=12.5x10-6(1/C)例4已知：a

=12.5x10-6(1/C)

，E=200GPa。求：溫度應力。解：取桿，受力如圖。(1)靜平衡方程其中，為材料的線膨脹系數(shù)；T為溫度變化值；l為桿的長度。137例4已知：a

=12.5x10-6(1/C)

，E=200GPa。求：溫度應力。解：取桿，受力如圖。(1)靜平衡方程(2)變形協(xié)調(diào)方程(3)物理關(guān)系138(1)靜平衡方程(2)變形協(xié)調(diào)方程(3)物理關(guān)系當

T

=80C

時，而低碳鋼的ss僅235MPa，許用應力[s]通常僅120MPa

左右。所以溫度應力是非常大的。139伸縮節(jié)波紋管伸縮節(jié)140伸縮縫火車鋼軌伸縮縫鋼軌鋼軌負溫度系數(shù)的材料梳狀伸縮縫疊合伸縮縫141江陰長江大橋的伸縮縫伸縮縫當溫度從-20C到60C時，橋面伸長將達1.34m142例5已知：ACB為剛性桿，鋼桿AD的A1=100mm2,l1=330mm，E1=200GPa,a1=12.510-6/C;銅桿BE的A2=200mm2,l2=220mm，E2=100GPa，a2=16.510-6/C,溫升30C。求：兩桿的軸力。解：(1)靜平衡方程取AB桿，受力如圖。FN1FN3FN2143(1)靜平衡方程(2)變形協(xié)調(diào)方程A'B'(3)物理關(guān)系144(1)靜平衡方程(2)變形協(xié)調(diào)方程(3)物理關(guān)系聯(lián)立解得:結(jié)果為正，表示兩桿的確受壓。1452.裝配應力 由于加工時的尺寸誤差，造成裝配后的結(jié)構(gòu)存在應力，稱裝配應力。 裝配應力僅存在于靜不定結(jié)構(gòu)中。已知：三桿長為l,截面積、材料均相同，中間桿短于名義長度，加工誤差為d=l/2000。求：裝配應力。例6146已知：三桿長為l,截面積、材料均相同，中間桿短于名義長度，加工誤差為d=l/2000。求：裝配應力。解：分析變形。(1)靜平衡方程例6取螺栓，受力如圖。(2)變形協(xié)調(diào)方程FN3FN1FN2147(1)靜平衡方程(2)變形協(xié)調(diào)方程(3)物理關(guān)系聯(lián)立解得:FN3FN1FN2148鑄鐵套筒中穿過鋼螺栓。旋進1/4圈，求螺栓與套筒間的預緊力。設(shè)螺距為h。FN2FN1149題解變形幾何條件:平衡條件:FN1=FN2補充方程:150拉伸、壓縮靜不定問題簡要復習靜力平衡方程－力的平衡關(guān)系。變形協(xié)調(diào)方程－變形與約束的協(xié)調(diào)關(guān)系。物理關(guān)系－力與變形的關(guān)系。求解靜不定問題的基本方法建立變形協(xié)調(diào)方程先解除“多余”約束，成為靜定結(jié)構(gòu)；根據(jù)“變形與內(nèi)力一致”原則，畫出變形 幾何關(guān)系圖；根據(jù)幾何關(guān)系圖，建立變形協(xié)調(diào)方程。151

溫度應力與裝配應力

1.溫度應力由于溫度變化引起的應力，稱為溫度應力或熱應力。溫度應力僅存在于靜不定結(jié)構(gòu)中。由溫度引起的變形2.裝配應力 由于加工時的尺寸誤差，造成裝配后的結(jié)構(gòu)存在應力，稱裝配應力。 裝配應力僅存在于靜不定結(jié)構(gòu)中。152

應力集中的概念 由于截面尺寸的突然變化，使截面上的應力分布不再均勻，在某些部位出現(xiàn)遠大于平均值的應力，這種現(xiàn)象稱為應力集中。新課153應力集中與圣維南原理理論應力集中系數(shù)這里，為截面上的平均應力。

k

的值可以查手冊。當寬度遠大于圓孔直徑時，k

=3。154應力集中的影響

靜載荷時

塑性材料

——產(chǎn)生屈服后，應力重新分配。應力趨于平均。這種情況下，可不考慮應力集中的影響。155

靜載荷時

塑性材料

——產(chǎn)生屈服后，應力重新分配,應力趨于平均。這種情況下，可不考慮應力集中的影響。

脆性材料

——應力集中部位的應力首先達 到強度極限而破壞。應力集中的危害嚴重。

灰口鑄鐵

——內(nèi)部缺陷是產(chǎn)生應 力集中的主要因素，外形變化是

次要因素。

動載荷時156

動載荷時在交變應力或沖擊載荷作用下，應力集中對塑性材料和脆性材料的強度都有嚴重影響。 塑性材料－在交變應力作用下，應力集中部 位首先產(chǎn)生疲勞裂紋而產(chǎn)生疲勞破壞。157

剪切與擠壓的實用計算1. 剪切的實用計算鋼桿的受剪158鍵的受剪159剪切件的特點受力的特點桿件兩側(cè)作用有兩個大小相等，方向相反，作用線相距很近的外力。變形的特點兩外力作用線間的截面發(fā)生錯動。剪力受剪面上的剪力160剪力簡化假設(shè)：剪應力在受剪面上均勻分布。受剪面上的剪力剪應力計算名義剪應力：受剪面的面積。強度條件161例1(書例2.14)已知：插銷材料為20鋼，[t]=30MPa，直徑d=20mm,t

=8mm,1.5t

=12mm,P

=15kN。求：校核插銷的剪切強度.解：插銷受力如圖。具有兩個剪切面：雙剪問題。取兩個剪切面之間的桿為研究對象，受力如圖。162解：插銷受力如圖。具有兩個剪切面：雙剪問題。取兩個剪切面之間的桿為研究對象，受力如圖。剪切面的面積結(jié)論：滿足剪切強度要求。163例2已知：鋼板厚t

=10mm,其剪切極限應力tu=300

MPa。求：要沖出直徑d

=25mm的孔，需多大沖剪力P？解：剪切面是哪一個面？剪切面的面積1642. 擠壓的實用計算

擠壓接觸面上由于擠 壓力太大而產(chǎn)生 塑性變形，形成 的破壞稱擠壓破 壞。連接件和被連接件接觸面相互壓緊的現(xiàn)象。

應力分布

簡化假設(shè)165

簡化假設(shè)應力在擠壓面上均勻分布。

擠壓應力有效擠壓面面積等于實際擠壓面面積在垂直于總擠壓力作用線的平面上的投影。擠壓面上傳遞的力有效擠壓面的面積。

有效擠壓面面積的計算166實際擠壓面有效擠壓面面積等于實際擠壓面面積在垂直于總擠壓力作用線的平面上的投影。

有效擠壓面面積的計算有效擠壓面對圓截面桿：167對圓截面桿：對平鍵：擠壓強度條件許用擠壓應力通常大于許用應力，一般地168例3已知：d=70mm,鍵的尺寸為bhl=2012100mm，力偶m=2kNm,鍵的[t]=60MPa,[sbs]=100MPa。

求：校核鍵的強度。解：1)校核鍵的剪切強度剪切面上的剪力取鍵的下半部分和軸，受力如圖FoyFox169FoyFox1)校核鍵的剪切強度剪切面上的剪力取鍵的下半部分和軸，受力如圖

剪切面的面積剪應力170FoyFox剪應力滿足剪切強度要求。2)校核鍵的擠壓強度擠壓力取鍵的上半部分，受力如圖1712)校核鍵的擠壓強度擠壓力取鍵的上半部分，受力如圖

有效擠壓面

擠壓應力滿足擠壓強度要求。172例4已知：[t]=30MPa，直徑d