第四章數(shù)值積分

第四章數(shù)值積分§1引言【數(shù)值積分的必要性】本章主要討論如下形式的一元函數(shù)積分在微積分里，按Newton-Leibniz公式求定積分要求函數(shù)的原函數(shù)

?有解析表達(dá)式；?

為初等函數(shù)．

例如求由函數(shù)給定的曲線,從到間的弧長(zhǎng)L。實(shí)際問(wèn)題1.

的原函數(shù)

不能用初等函數(shù)表示。

由微積分學(xué)我們知道,所求的弧長(zhǎng)可表示為:上述積分稱為第二類橢圓積分。類似的下列函數(shù)也不存在由初等函數(shù)表示的原函數(shù):2.

有些被積函數(shù)其原函數(shù)雖然可以用初等函數(shù)表示,但表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜,計(jì)算極不方便.例如函數(shù):并不復(fù)雜,但它的原函數(shù)卻十分復(fù)雜:3.

沒(méi)有解析表達(dá)式，只有數(shù)表形式:1423454.5688.5原來(lái)通過(guò)原函數(shù)來(lái)計(jì)算積分有它的局限性。那……怎么辦呢？呵呵…這就需要積分的數(shù)值方法來(lái)幫忙啦。1、定積分的幾何意義依據(jù)積分中值定理,對(duì)于連續(xù)函數(shù),在內(nèi)存在一點(diǎn),使得稱

為在區(qū)間上的平均高度。2、數(shù)值積分的理論依據(jù)一、數(shù)值積分的基本思想3、求積公式的構(gòu)造若簡(jiǎn)單選取區(qū)間端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值作為平均高度，則可得一點(diǎn)求積公式如下：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：若取兩點(diǎn)，并令，則可得梯形公式（兩點(diǎn)求積公式）若取三點(diǎn)，并令則可得Simpson公式(三點(diǎn)求積公式)一般地，取區(qū)間內(nèi)個(gè)點(diǎn)處的高度，通過(guò)加權(quán)平均的方法近似地得出平均高度，這類求積方法稱為機(jī)械求積:或?qū)懗?機(jī)械求積公式求積系數(shù)

求積節(jié)點(diǎn)

記求積公式為余項(xiàng)為構(gòu)造或確定一個(gè)求積公式，要解決的問(wèn)題包括:(i)

確定求積系數(shù)

和求積節(jié)點(diǎn)

(iii)

求積公式的誤差估計(jì)和收斂性分析。(ii)確定衡量求積公式好壞的標(biāo)準(zhǔn)；定義1稱求積公式具有m次代數(shù)精度,如果它滿足如下兩個(gè)條件:(i)對(duì)所有次數(shù)≤m次的多項(xiàng)式,有(ii)存在m+1次多項(xiàng)式,使得二、求積公式的代數(shù)精度上述定義中的條件(i),(ii)等價(jià)于：注：梯形公式與中矩形公式都只具有1次代數(shù)精度。一般若要使機(jī)械求積公式具有m次代數(shù)精度，則只要使求積公式對(duì)

都準(zhǔn)確成立，即三、插值型的求積公式1、定義在積分區(qū)間上，取個(gè)節(jié)點(diǎn)作

的次代數(shù)插值多項(xiàng)式（拉格朗日插值公式）:則有其中，為插值余項(xiàng)于是有：令由節(jié)點(diǎn)決定，與

無(wú)關(guān)?！Q為插值型求積公式2、截?cái)嗾`差（余項(xiàng)）3、代數(shù)精度定理1

形如的求積公式至少有n

次代數(shù)

精度

該公式為插值型（即：）推論求積系數(shù)滿足:§2Newton-Cotes公式一、Cotes系數(shù)與Newton-Cotes公式取節(jié)點(diǎn)為等距分布：由此構(gòu)造的插值型求積公式稱為Newton-Cotes公式,此時(shí)求積系數(shù)：插值型求積公式：記稱上式為n階Newton-Cotes求積公式。稱為Cotes系數(shù)，求積公式變?yōu)樽⒁?Cotes系數(shù)只與和有關(guān),與

和積分區(qū)間無(wú)關(guān)，且滿足:Newton-Cotes公式的誤差或余項(xiàng)為:與有關(guān)作為插值型求積公式，具有次代數(shù)精度，階Newton-Cotes公式至少而實(shí)際的代數(shù)精度是否可以進(jìn)一步提高呢？二、偶數(shù)求積公式的代數(shù)精度

定理2當(dāng)階數(shù)

為偶數(shù)時(shí),Newton-Cotes公式至少具有次代數(shù)精度。證明:的余項(xiàng)為零。只需驗(yàn)證當(dāng)為偶數(shù)時(shí),Newton-Cotes公式對(duì)由于

,所以

,即得引進(jìn)變換,因?yàn)闉榕紨?shù),故為整數(shù),于是有據(jù)此可斷定

,因?yàn)樯鲜霰环e函數(shù)是個(gè)奇函數(shù).三、幾種常用的低階求積公式及余項(xiàng)n=1:梯形公式代數(shù)精度=1n=2:Simpson公式代數(shù)精度=3n=4:

Cotes公式(代數(shù)精度=5)這里四、復(fù)化求積法

高次插值有Runge現(xiàn)象，怎么辦？可采用分段低次插值來(lái)解決。

高階Newton-Cotes公式會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定。而低階Newton-Cotes公式有時(shí)又不能滿足精度要求，怎么辦？

可將積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用低階求積公式計(jì)算，然后求和。1.復(fù)化梯形公式=Tn/*中值定理*/在每個(gè)上用梯形公式：

復(fù)化梯形公式積分法2.復(fù)化Simpson公式44444=

Sn/*中值定理*/

復(fù)化Simpson公式積分法3.復(fù)化Cotes公式=

Cn01/83/81/25/83/47/811/422.26548672.562.87640453.23.50684933.76470593.93846154例:利用數(shù)據(jù)表計(jì)算積分解：這個(gè)問(wèn)題有明顯的答案取n=8用復(fù)化梯形公式取n=4

用辛卜生公式定義2若一個(gè)積分公式的誤差滿足，且

，則稱該公式是p

階收斂的。命題當(dāng)時(shí)，復(fù)化求積公式均收斂到所求的積分值。五、復(fù)化求積法的收斂性、收斂速度與誤差估計(jì)1.收斂性2.收斂速度3.誤差估計(jì)給定精度，如何取

?例分別用復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛普森公式求需將區(qū)間[a,b]多少等份，才能保證誤差不超過(guò)？(1)復(fù)化梯形公式記令所以，分別具有2，4，6階收斂，即若將步長(zhǎng)減半，則三種方法的誤差分別減至原來(lái)的。(2)復(fù)化辛普森公式則記令由得由得則a.復(fù)化梯形公式:b.復(fù)化辛普森公式:若求，取，各取多少個(gè)節(jié)點(diǎn)？§3Romberg算法一、梯形法的遞推化變步長(zhǎng)法：在使用復(fù)化求積公式時(shí)，步長(zhǎng)太大精度難以保證，步長(zhǎng)太小計(jì)算量增加，實(shí)際計(jì)算時(shí)常常采用變步長(zhǎng)法，即在步長(zhǎng)逐次分半過(guò)程中，反復(fù)利用復(fù)化公式進(jìn)行計(jì)算，直到求出滿足精度要求的解。例1:利用數(shù)據(jù)表計(jì)算積分解：01/83/81/25/83/47/811/422.26548672.562.87640453.23.50684933.76470593.93846154例2:利用數(shù)據(jù)表計(jì)算積分解：01/83/81/25/83/47/811/401/83/81/25/83/47/811/40.8147090.87719250.90885160.93615560.95885100.97672670.98961580.9973978101/83/81/25/83/47/811/4二、Romberg公式由復(fù)化梯形公式誤差得：假設(shè)變化不大，可設(shè)，則有：同理有：Romberg公式計(jì)算過(guò)程：

T1

T8T4

T2

S1

R1

S2

C1

C2

S4從而得三個(gè)加速公式：——Romberg公式例3:利用數(shù)據(jù)表計(jì)算積分解：0.8147090.87719250.90885160.93615560.95885100.97672670.98961580.9973978101/83/81/25/83/47/811/4三、理查德森外推加速法利用低階公式產(chǎn)生高精度的結(jié)果。定理3

設(shè)，則有下式成立：其中系數(shù)與無(wú)關(guān)。

由定理知用作為的近似值，誤差為，當(dāng)步長(zhǎng)減半有消取項(xiàng)記用作為的近似值，誤差為。步長(zhǎng)減半繼續(xù)做下去有:消取項(xiàng)記用作為的近似值，誤差為。同理下去，每加速一次誤差的量級(jí)提高二階，有遞推公式：經(jīng)m次加速后有誤差（余項(xiàng)）公式：上述方法稱為理查德森外推加速法。設(shè)以表示二分次后求得的梯形值，以表示序列的次加速值，則上述梯形公式可寫為：

構(gòu)造的T數(shù)表如下:命題：當(dāng)充分光滑，T數(shù)表的每一列或?qū)蔷€上的元素均收斂到積分值，即有：Romberg算法計(jì)算步驟：2．按變步長(zhǎng)復(fù)化梯形公式，由計(jì)算，轉(zhuǎn)3；3．按加速公式，計(jì)算T數(shù)表中第行的其余元素，轉(zhuǎn)4；4．對(duì)給定的誤差，若，停止，取為的近似值；否則，令，轉(zhuǎn)2。1．取，計(jì)算，令，轉(zhuǎn)2；1k=Newton-Cotes公式采用等距節(jié)點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)代數(shù)精度至多可達(dá)到。（為偶數(shù)）那么，在節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)一定的情況下，是否可以在上自由選擇節(jié)點(diǎn)的位置，使求積公式的精度提得更高？具有2n+1次代數(shù)精度的插值型求積公式注：Gauss型求積公式是代數(shù)精度最高的插值型求積公式。

§4高斯求積公式節(jié)點(diǎn)稱為Gauss點(diǎn)具有2n+1次代數(shù)精度，則稱這類求積公式為Gauss型求積公式，對(duì)應(yīng)的n+1個(gè)點(diǎn)為高斯點(diǎn)。一、高斯點(diǎn)定義3如果含有2n+2個(gè)待定參數(shù)的機(jī)械求積公式

事實(shí)上，對(duì)于插值型求積公式其代數(shù)精度最高可達(dá)到2n+1次(Gauss型求積公式）。定理4

上述插值型求積公式為Gauss型求積公式的充分必要條件是與任意次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式均正交，即【證明】二、Gauss-Lege