《概率論》數(shù)學(xué)2章課后習(xí)題詳解

223223概率論第章習(xí)題參考解答若次射擊中靶的概率為0.7,求擊10命炮概至命中3炮概最可能命中幾炮.解設(shè)ξ為射擊10炮中的炮數(shù)則命的概率為{3310至少命中炮的概率為1減命中不到3炮的概率,為P{3}{i0.7i0.31010i

因np不是整數(shù)因最可能命中[炮在定條件下生產(chǎn)某種產(chǎn)品的廢品率為求產(chǎn)件產(chǎn)品中廢品數(shù)不超過(guò)個(gè)的概率解設(shè)ξ為10件品中的廢品,則~B則廢品數(shù)不超過(guò)2個(gè)概率為P

ii0.9910

10

i某間有部同型號(hào)機(jī)床,每機(jī)床開(kāi)動(dòng)的概率為0.8,若定各機(jī)床是開(kāi)動(dòng)彼此獨(dú)立每機(jī)床開(kāi)動(dòng)時(shí)所消耗的電能為15個(gè)位求個(gè)車間消耗電能不少于270個(gè)位的概率解:設(shè)每時(shí)刻機(jī)床開(kāi)動(dòng)的數(shù)目為ξ,則ξ~B假這個(gè)車間消耗的電能為η個(gè)單位則ξ因此P{P{15270}{}{18}20

i20

i

20

0.2061i從批廢品率為0.1的產(chǎn)品,重抽取20個(gè)行檢查求個(gè)產(chǎn)品中廢品率不大于的率.解設(shè)這個(gè)品中的廢品數(shù)為則~B假設(shè)這個(gè)品中的廢品率,則/20.因此P0.15}P{

20

P{3}i

i20

0.1i

0.9

=生某種產(chǎn)品的廢品率為0.1,抽件品,初檢查已發(fā)現(xiàn)有件問(wèn)20件中廢不少于3件概率.解設(shè)ξ為這件品中的廢品數(shù),則B(20,0.1),又通過(guò)檢查已經(jīng)知ξ定不少于2件的條件,則求的是條件概率P{|

2}

P{P{因事件

{2}{

因

{2}因此

kkk4kkk4P{

PP2}

i

P{}P{}

ii

P}{2}{}i

P{}i

P{2}1{}

C20.120.910.9200.9

i

拋4顆子為出現(xiàn)1點(diǎn)的骰子數(shù),求ξ的概率分布,分函數(shù),以出現(xiàn)1點(diǎn)的骰子數(shù)目的最可能值.解因擲一次骰子出現(xiàn)一點(diǎn)的概率為則(4,1/6),因有P

k}C

k4

4

(0,1,2,3,4),F()Ck或者算出具體的值如下所示：

xxxξPF(x0.9992

14x2從分布表可以看出最可能值為或+=(4/6)+1/6=5/6小不為整數(shù)因最可能值為[事A在次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為0進(jìn)19獨(dú)立試驗(yàn)求1)出現(xiàn)次數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差(2)最可能出現(xiàn)的次.解設(shè)次試驗(yàn)中事A出次數(shù)為則~因(1)的數(shù)學(xué)期望為ξ=np方差為Dnp)=19×0.3×0.7=3.99標(biāo)準(zhǔn)差為

D3.99

44(2)因+=5.7+0.3=6為數(shù),因最可能值為5和6.已隨機(jī)變服從二項(xiàng)分布Eξ=12,D求和n解由ξ=np和ξ=(1-p)=8由(1)得n=12/代到得12(1-)=8,解p代回到(1)式得=12/p=12×3=36某臺(tái)上有4個(gè)售貨員并預(yù)備了兩個(gè)臺(tái)秤,若每個(gè)售貨員在一小時(shí)內(nèi)均有15分鐘時(shí)間使用臺(tái)秤,求天小時(shí)內(nèi)平有多少時(shí)間臺(tái)秤不夠.解每個(gè)時(shí)刻構(gòu)成一的努里試且=15/60=0.25,因此設(shè)為每個(gè)時(shí)刻要用秤的售貨員,則B0.25),當(dāng)ξ>2時(shí)臺(tái)不夠用.因此每時(shí)刻臺(tái)秤不夠用的概率2)C34×10=0.508個(gè)時(shí)臺(tái)秤不夠.10.已試的成功率為,進(jìn)4重努里試,計(jì)在沒(méi)有全部失敗的情況,試成功不止一次的概率.解設(shè)為次驗(yàn)中的成功數(shù)則B(4,p),事件"有全部失敗"即事件{而事件"試驗(yàn)成功不止一次"事件{因此要求的是條件概率{{>1}被件{包含因此這兩個(gè)件的交仍然{因此

ξ>0},又事件P|

P1{{P{

1pq1

其中=1-p11.參數(shù)為2,p的項(xiàng)分布已(1)=5/9,那成功率為的4重貝努里試驗(yàn)中至少有一次成功的概率是多解因ξ~B(2,),則必有

p)

2

/9

解(1)

/9/92//1/3則假設(shè)為功率為1/3的4重努里試驗(yàn)的成功次,

ηB則0)p

4

0.8028112.一產(chǎn)個(gè)中有5個(gè)品任抽取個(gè)求品數(shù)不多于個(gè)概率解設(shè)ξ為抽取個(gè)中的廢品數(shù),則ξ服從超幾何分布,且P{

Ci45Ci

13.如產(chǎn)是大批的,從中抽取的數(shù)目大時(shí)則品數(shù)的分布可以近似用二項(xiàng)分布公式計(jì)算.試下例用兩個(gè)公式計(jì),并較其結(jié).產(chǎn)的廢品率為從個(gè)品

中任意抽取個(gè)求品數(shù)為的率解設(shè)任抽3個(gè)的廢品數(shù)為ξ則服從超幾何分布,廢數(shù)為C2P{900C而如果用二項(xiàng)分布近似計(jì)nB(3,0.1){

13

0.9

2

近似誤差為是非常準(zhǔn)確14.從副克牌52張中發(fā)出張求中黑桃張數(shù)的概率分解設(shè)ξ為發(fā)出的5張中黑桃的張數(shù)則服從超幾何分則P

}

CiC552C

i0,1,2,3,4,5)則按上式計(jì)算出概率分布如下表所:ξ

13P15.從批芽率為0.8的子,任10粒求芽數(shù)不小于8粒的概率解設(shè)ξ為種子中發(fā)芽的粒則服超幾何分,但以用二項(xiàng)分布近其中=10,則P{

10Ci10

0.8

i

0.2

10i16.一產(chǎn)的廢品率為0.001,用哇松分布公式求件品中廢品為2件概,以及不超過(guò)的概率.解設(shè)ξ為件產(chǎn)品中的廢品,則服超幾何分布可用二項(xiàng)分布近,則~B0.001),而為試驗(yàn)次數(shù)很大廢品率則很可以用普阿松分布近,參為λ=np2P2}

20.8iP2}i!i

0.952617.某產(chǎn)表面上的疵點(diǎn)數(shù)服從普哇松分平一件上有0.8個(gè)疵點(diǎn),若定疵點(diǎn)數(shù)不超過(guò)1個(gè)一等品價(jià)值元,疵數(shù)大于1不于4為等價(jià)8元4個(gè)以上為廢品求品為廢品的概率以及產(chǎn)品的平均價(jià)解:設(shè)ξ為產(chǎn)品表面上的疵數(shù)則ξ從普哇松分布,λ=0.8,設(shè)η為產(chǎn)品的價(jià)值是ξ的函數(shù).則品為廢品的概率為P{{4}

4i

i!

i

e

2i0000002i000000iP10}P{ei!i

P8}{1

i

0.8i!

i

則產(chǎn)品的平均價(jià)值為η=10×{=10}+8×P{=8}=10×0.8088+8×0.1898=()18.一合本共頁(yè),平均每頁(yè)上有兩個(gè)印刷錯(cuò)假每頁(yè)上印刷錯(cuò)誤的數(shù)目服從普哇松分,計(jì)該合訂本中各頁(yè)的印刷錯(cuò)都不超過(guò)4個(gè)概率解設(shè)ξ為每頁(yè)上的印刷錯(cuò)誤數(shù)目則服普哇松分則頁(yè)刷錯(cuò)誤都不超過(guò)4個(gè)的概率為P

4}ei!i

而頁(yè)上的印刷錯(cuò)誤都不超過(guò)的概率為

4}19.某號(hào)子管壽命服從指數(shù)分布如它的平均壽命Eξ小,寫(xiě)ξ的概率密,并算(1000<≤1200).解因E=1000=1/其率密度為x)

1x10001000

xxP

10001200)

12001000

20.ξ~NΦ(x是它的分布函數(shù),φ(是它的概率密度,Φ(0),φ(0),P(=0)是什么值解因有(x)0

1

x2

()

1

e

t2

dt

因()為偶函數(shù),由對(duì)稱性可知Φ(0)=0.5,并有

因ξ為續(xù)型隨機(jī)變量取何值的概率都為0,即P(=0)=0.21.求19題的電子管在使用小時(shí)沒(méi)壞的條件還可以繼續(xù)使用100小而不壞的概解要求的概率為P>600|因

xxn0000000xxn0000000P{|

600PP500}

0.90522.若服從具有n個(gè)由度的χ-分布,證明

的概率密度為()

2

xx稱此分為為具有n個(gè)自由度的-分布證設(shè)

則的概率密度函數(shù)為()

xn2xη的分布函數(shù)為F(x))P(

)

)F(

)

(對(duì)兩邊求導(dǎo)得2(x

2

)2x

2

x2

2

n2

n

x2

(x23.ξ~N求{≥{||<3},P{0<5},P{>3},ξ<3}解根據(jù)的對(duì)稱性質(zhì)及查表:P{≥Φ(P{|(3)-1=2×0.99865-1=Pξ5}=Φ(P{>3}=1-PξΦ(3)-(-1)=ΦΦ24.ξ~Nμ,2),為么說(shuō)事"ξ-μσ"在一次試驗(yàn)中幾乎必然出?解因?yàn)?/p>

~P{|

P{

20.977250.9545因此在一次試驗(yàn)中幾乎必然出.

0025.ξ~N

),求ξ<13),P(Pξ解因?yàn)?/p>

2

~P{0

1.5}(1.5)(0)0.933190.50.4331900P13}P{

1.5}(1.5)0.066810P{|

P{

1}2(1)026.若題已知Pξ-10|<cP{<分求和.解因?yàn)?/p>

2

~

則P{|}P{

}()22解得

c()2

10.950.975,查得22

得c再由dP}{}(222

)0.5知

d10因())22即

(

102

)0.06680.9332

查表得

102

解

d107值

27.若(μ),對(duì)于P{k<μ+k或0.95,或0.99,分查表找出相的解先求{<<+σ應(yīng)的值.因

~

因P{{

}2(0.900即

(

12

0.95

查得同理由

()

10.952

查得由

()

12

查得28.某產(chǎn)長(zhǎng)度按N2分求品長(zhǎng)度在cm之的概率長(zhǎng)度小于cm的率

i1iiii()i1iiii()解設(shè)ξ為產(chǎn)品長(zhǎng)度,則N且

~

則PP{

2}P{2}0.25(2)20.977250.9545049.250P{0.25

}(3.2)000.99931290.000687129.ξNi=1,2,3),并且ξξ,相互獨(dú)立,

1333ii

2

求cov(

,

),Ecov(

,

解此題要用兩獨(dú)立的服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量相加后得到的隨機(jī)變量仍然服從正態(tài)分布.因因30,i

i

1

則

1)3(ii

EEiiiii23因此

3(2iii

也服從正態(tài)分布,且cov(i

Eii

13即

與

i

不相關(guān)而為它們服從正態(tài)分布,因此也就是

與

i

相互獨(dú)立則

與i

2

也相互獨(dú)立,則

與中的加和中的每一項(xiàng)相互立,當(dāng)也與η相互獨(dú)立因有

cov(0

因相互獨(dú)的隨機(jī)變量一定不相.30.(,)有合概率密度

12

1e2,

求ζ的率

解由聯(lián)合概率密度看,ξ與相獨(dú)立服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則ξ

與2

也相互獨(dú)立且服從自由度為1的χ2-分布,即ξ2~η~因=2+2χ2(2),即它的概率密度為

2

xx即服的數(shù)分布.概率論第三章習(xí)題參考解答如服從布又取的率為它取0的率的兩求的期望解：由習(xí)題二第2題出ξ的分布率為ξP

1/3

2/3因此有Eξ×((=1)=2/3矩土地的長(zhǎng)與寬為隨機(jī)變和,周長(zhǎng)ζ=2+2η

ξ與η的分布律如下表所示:長(zhǎng)度ξP

寬度η

P

而求出的周長(zhǎng)的布律如下表所:周長(zhǎng)ζ

P求周長(zhǎng)的期望值,用種方法計(jì)算,一種是利用矩形長(zhǎng)與的期望計(jì)算,另種是利用周長(zhǎng)的分布計(jì)算.解由和寬的分布率可以算得E=29×P(=29)+30×P(×Pξ=31)=29×××E=19×P(=19)+20×P(×Pη=21)=19×××0.3=20由期望的性質(zhì)可得E=2(E+η)=2×而如果按ζ的布律計(jì)算它的期望也以得E×0.09+980.27+100×0.35+102×驗(yàn)證了期望的性.連型隨機(jī)變量的概率密度為()

0

0(k,其它又知Eξ求k和值。解由質(zhì)

()dx

|1k||1k|1100ii得即k+1

kxdxa0

又知E

)

ka0a得+1.5

由1)與(解得即ak=3下是某公共汽車公司的188輛汽車行駛到發(fā)生一次引擎故障的里程數(shù)的分布數(shù).表中各以組中值為代表.從188輛車,任抽選輛得下列數(shù)字:50,110,90,90,110,90,110,90,70,50,70,150.(1)這15個(gè)字的平均;(2)計(jì)表3-9中期望并與1)相比較.第一次發(fā)生引擎故障里數(shù)0~2020~4040~6060~80

車輛數(shù)

第一次發(fā)生引擎故障里數(shù)

車輛數(shù)解15個(gè)數(shù)的平均數(shù)為按上表計(jì)算期望值為×××××34+110×46+130××兩種種子各播種公頃地調(diào)查其收獲量如表所示分求出它們產(chǎn)量的平均值(計(jì)算時(shí)以組中值為代表).公頃產(chǎn)量

4350~46504650~49504950~52505250~5550

總計(jì)種子甲公頃數(shù)種子乙公頃數(shù)

1223

3824

4030

1023

100100解假種子甲的每公頃產(chǎn)量數(shù)為ξ種乙的每頃產(chǎn)量數(shù)η,則E=(4500×12+4800××10)/100=4944E=(4500×23+4800××23)/100=4959一螺絲釘?shù)闹亓渴请S機(jī)變,期值為標(biāo)差為1g.個(gè)盒的同型號(hào)螺絲釘重量的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差各為多假各個(gè)螺絲釘?shù)闹亓肯嗷ブg獨(dú))解假這個(gè)螺絲釘?shù)闹亓糠謩e,ξ,

ξ,因有E=10,D=102=1(i設(shè)為個(gè)絲釘?shù)目傊亓浚虼?/p>

100

i

，則ξ的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差為i

100iiiiiiiiiiiiiiiii1100iiiiiiiiiiiiiiiii123123i100100g)iiiiDDii

i

Dgi已個(gè)產(chǎn)品中有個(gè)品，求任意取出的5個(gè)品中次品數(shù)期望.解假設(shè)為取出5個(gè)品中的品,又設(shè)ξ為第i次取出的品即如果第i次到的是次品,則=1則i=1,2,3,4,5,ξ從0-1分而有P{P{i因此因?yàn)?/p>

5

i因此有

i5110.一零中有個(gè)格品和3個(gè)廢品在裝機(jī)器時(shí)從批零件中任取一如取出的是廢品就不再放回.求得第一個(gè)合格品之前已取出的廢品的數(shù)學(xué)期望和方.解假在取到第一個(gè)合格品之前已取出的廢品數(shù)ξ,則算出P

0.759P0.2045119P111021P1110因此有0.0045

0.409D

E

0.4090.0911.假每生日在各個(gè)月份的機(jī)會(huì)是同樣,求人中生日在第一個(gè)季度的平均人解設(shè)個(gè)隨機(jī)變量i=1,2,3),如果個(gè)中的第i人在第一季度出,則=1,否ξ則ξ服從0-1分,且Pξ因ξ=1/4,(i設(shè)為人在第一季度出生的人,則ξ=ξ+,因此Eξ=E(ξξξ

xd2xd22|12.ξ有布函數(shù)

(x)0

其它

求及Dξ.解因的率密度為

x)0

其它

因

xx)dx

x

dx

0

0

0

e0

dx

1

e

0

1

2

x)dx

2

dx

2

0

0

2

e

0

20

dx

2

2D2

2

1

113.

x)

1

|x

求ξ和D解因φ(x)偶函數(shù)因ξ則D=ξ2

ξ)2

=Eξ2因此有D

x)dx

2

令

xdx則上式

220

cos11dsin22202即Dξ16.如ξ與獨(dú)立,不出ξη分布直接ξ的分布的分布能否計(jì)算出D(η),怎計(jì)算?解因與獨(dú)因此ξ2

與η2

也獨(dú)立則17.隨變?chǔ)鞘橇硪粋€(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)并ηλξ

(>0),若Eη存在求對(duì)于任何實(shí)

iiii222數(shù)a都有

P{

}

證分就離散型和連續(xù)型兩種情況在為離散型的情:假設(shè)P=)=則P

a)

i

(xi

xi)i

[ei

]xii在為連續(xù)型的情況假設(shè)ξ的概率密度為φ(x則

i{}

e

)

x)

e

x)

xdxEe

a

證畢18.證事在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)的方差不超過(guò)1/4.證設(shè)為次試驗(yàn)中事件發(fā)的當(dāng)然最多只能發(fā)生1次最為次即服分布{(A)=p{=0}=1-p則D

11111)pp4424419.證對(duì)任何常數(shù),隨機(jī)變量ξDξ(-c2

ξ-2證由差的性質(zhì)可知D(-c)=ξ而D2)](

E證畢20.(,η)的聯(lián)合概率密度(xy-(+y)(x,>0),計(jì)算它們的協(xié)方差cov(η).解由φ(x,)=e-(+y)x,y可ξ與η相互獨(dú)因必有(η)=0.21.袋裝標(biāo)上號(hào)碼的3個(gè)球從任取一個(gè)并且不再放,然再?gòu)拇腥稳∫灰?η分別記為第一,次