平面問題的直角坐標(biāo)解答

平面問題的直角坐標(biāo)解答第一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-5相容方程應(yīng)力解法

§3-6應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)解法

§3-7多項(xiàng)式逆解法解平面問題

§3-8懸臂梁的彎曲

§3-9簡支梁的彎曲

§3-10楔形體受重力和液體壓力

§3-11受橫向荷載的三角級數(shù)形式解答

第二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-1平面問題分類1.平面應(yīng)變問題定義：如果三個(gè)位移分量中，稱為平面位移問題第三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日將位移代入幾何方程,得:非零的應(yīng)變分量僅發(fā)生在x-y平面內(nèi)，故又稱為平面應(yīng)變問題。且為

x,y的函數(shù)，與z無關(guān)。

第四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日代入廣義Hooke定律

獨(dú)立的應(yīng)力分量也僅是x、y坐標(biāo)的函數(shù)，與z無關(guān)。

第五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日（1）無限長的等直柱體；（2）在柱體側(cè)面受到與軸線垂直，且沿軸向均布的面力作用；（3）體力也垂直于軸線，并沿軸線均布。工程上遇到的擋土墻、隧道、管道、炮筒等結(jié)構(gòu)構(gòu)件。特點(diǎn)：第六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日第七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日2.平面應(yīng)力問題定義：如果在六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量中稱為平面應(yīng)力問題。因?yàn)樗胁粸榱愕膽?yīng)力分量都平行于x-y面。第八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日特點(diǎn)：

（1）等厚度的薄板；（2）面力和體力都平行于板面，且面力沿厚度均勻地作用在板的周邊上；（3）在板面上無外力作用。第九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日第十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日應(yīng)力在板面的邊界值：一般地，應(yīng)力沿厚度是變化的，但因?yàn)榘遢^薄，且應(yīng)力連續(xù)可微，則注意到板的上述幾何和受力特征，應(yīng)力與z無關(guān)：第十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日在平面應(yīng)力問題中的應(yīng)變分量：第十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日注意：在平面應(yīng)力問題中從上面分析可以看出，對于兩類平面問題，獨(dú)立分量的個(gè)數(shù)都只有8個(gè)，它們是u,v；且僅為x,y的函數(shù)與z無關(guān)。、第十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-2平面問題的基本方程與邊界條件1.平衡方程

在兩類平面問題中都有剪應(yīng)力分量平面應(yīng)力問題：平面應(yīng)變問題：第十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日平面問題的平衡微分方程：

此方程也可由平面問題的未元體得以證明。

第十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日其它三個(gè)方程自動(dòng)滿足。

2.幾何方程

平面應(yīng)變問題：第十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日但這兩個(gè)剪應(yīng)變?yōu)榱惚旧砭褪墙频?，這組方程難以滿足，由于這種變化的數(shù)量級一般較面內(nèi)的應(yīng)變數(shù)量級小可認(rèn)為其近似滿足。平面應(yīng)力問題，除需滿足以上三個(gè)方程外，尚需滿足以下條件：第十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日于是兩類平面問題具有相同幾何方程：此方程也可直接由變形關(guān)系圖導(dǎo)得。第十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日3.應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系平面應(yīng)力問題：第十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日第二十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日于是平面問題的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可統(tǒng)一寫為：

第二十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日此即平面問題用應(yīng)變表示應(yīng)力的本構(gòu)方程。第二十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

4.邊界條件

（1）力的邊界條件邊界條件（2-8）的第3式成為恒等式，從而：由于第二十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日（2）位移邊界條件第二十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日1.坐標(biāo)面上的分布力§3-3應(yīng)力邊界條件在特殊情況下具體化

第二十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日2.坐標(biāo)面上的集中力

合力的符號仍以指向坐標(biāo)的正方向?yàn)檎?，反之為?fù)。第二十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日面力是以合力矩的形式給出時(shí)第二十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日例1寫出圖3-6所示懸臂梁上邊界和右端面的邊界條件。第二十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日方向余弦l=0,m=-1解:(1)上邊界面力

(2)下邊界方向余弦l=0,m=1第二十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日(3)右邊界第三十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-4位移解法

以位移作為基本未知量，將基本方程化為用位移表示的控制方程，邊界條件也化為用位移表示；在給定的邊界條件下求解控制方程，從而求得位移解，然后將位移代入幾何方程求導(dǎo)得到應(yīng)變，再將應(yīng)變代入本構(gòu)方程得到應(yīng)力解。第三十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日（1）將幾何方程（3-11）代入應(yīng)變表示應(yīng)力的本構(gòu)方程（3-15），得第三十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日（2）將（3-18）式代入平衡微分方程（3-10）得用位移表示的平衡方程：此稱為拉梅（Lam）方程，即位移法求解的控制方程。第三十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日位移邊界條件：用位移表示的應(yīng)力邊界條件：第三十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日例2如圖3-7所示單位厚度平板，兩端受均布壓力p作用，上、下邊界剛性約束，不考慮摩擦，不計(jì)體力，用位移法求解板的應(yīng)力和位移。第三十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日解：由對稱性及上、下邊界的剛性約束條件可設(shè) 代入拉梅方程（3-19），第2式成為恒等式，第1式成為解之得第三十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日位移邊界條件：自動(dòng)滿足由對稱性， 則于是待定系數(shù)a可由位移表示的應(yīng)力邊界條件確定，為此將(e)代入邊界條件（3-20）得第三十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日右邊界：左邊界結(jié)果相同。第三十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日位移分量：將其代入本構(gòu)關(guān)系，得應(yīng)力分量：為了確定待定系數(shù)a，也可以直接采用應(yīng)力形式的應(yīng)力邊界條件。第三十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-5相容方程應(yīng)力解法

以應(yīng)力為基本未知量，將基本方程化為用應(yīng)力表示的控制方程，邊界條件也用應(yīng)力表示，在給定的邊界條件下求解控制方程得到應(yīng)力解，將應(yīng)力解代入本構(gòu)方程得到應(yīng)變解，再運(yùn)用幾何方程積分可以求得位移解。第四十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日當(dāng)采用應(yīng)力法求解時(shí)，具有三個(gè)應(yīng)力基本未知量，而在基本方程中，平衡微分方程已用應(yīng)力表示，保留不變。另外還需要將幾何關(guān)系用應(yīng)力來表示。1.應(yīng)變相容方程

平面問題的幾何方程為第四十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

將（3-11）式的第1式對y求兩階偏導(dǎo)，第2式對x求兩階偏導(dǎo)第四十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日兩式相加，并改變求導(dǎo)順序后有將（3-11）式第3式代入（2）式得這就是平面問題的變形協(xié)調(diào)方程，又稱應(yīng)變相容方程。第四十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日從推導(dǎo)過程來看，滿足幾何方程肯定能滿足相容方程；反過來，滿足相容方程未見得就一定能保證幾何方程可積，因?yàn)榉匠蹋?-21）是比原方程（3-11）更高階的方程。后面（§6-2）將要證明，對于單連體，相容方程是幾何方程可積的充要條件；而對于多連體，相容方程只是必要條件，加上位移單值附加條件以后才能保證幾何方程可積。第四十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

2.用應(yīng)力表示的相容方程

將用應(yīng)力表示應(yīng)變的本構(gòu)方程（3-14）代入相容方程（3-21）得而平衡微分方程（3-10）可改寫為第四十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日將上式的第1、2式分別對x、y求偏導(dǎo)，然后相加得第四十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日代入（3）式，化簡后有或者寫成：在常體力情況下：這個(gè)方程稱為列維（Lévy）方程。第四十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日如果體力為有勢力，即存在勢函數(shù)V，使

3.應(yīng)力法的控制方程

相容方程為：第四十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日（1）平衡方程：（2）相容方程：第四十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日4.應(yīng)力法邊界條件在上在上上述提法對兩類平面問題都成立，即如果邊界條件相同，則兩類平面問題具有相同的應(yīng)力解答。第五十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

例3用應(yīng)力法求解例2給出問題的應(yīng)力和位移。解：根據(jù)邊界上的受力情況，我們試取（１）顯然上式滿足了平衡方程和相容方程。（２）檢驗(yàn)邊界條件第五十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日本題為混合邊值問題：已滿足左右兩側(cè)的邊界條件及上、下兩側(cè)無摩擦的已知條件；（ⅰ）應(yīng)力邊界條件（ⅱ）位移邊界條件

將應(yīng)力分量代入本構(gòu)方程得第五十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日由幾何方程的第1、2式積分將其代入幾何方程的第3式第五十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

其解為： 于是第五十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日利用對稱性：可得再利用邊界條件(b)可解得應(yīng)力和位移解：第五十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

由于控制方程的復(fù)雜性，應(yīng)力法求解時(shí)，一般也采用半逆解法。假定的應(yīng)力分量可以通過以下幾個(gè)方面來判斷：（1）問題的邊界條件，如例3；（2）類似問題的已有解答，如材料力學(xué)解；（3）問題的物理直觀性。第五十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

§3-6應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)解法

1.平衡方程的解

平衡微分方程（3-10）為一非齊次方程。根據(jù)微分方程理論，非齊次方程的解等于對應(yīng)齊次方程的通解加特解。滿足非齊次方程的特解有多個(gè)，通過觀察可取第五十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日容易驗(yàn)證，它們均滿足平衡方程（3-10）。對應(yīng)的齊次方程為第五十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日如果我們引入一個(gè)函數(shù)，使得＝＞則式（3-27）的第1式得到滿足。再引入函數(shù)，使得第五十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日＞＝由剪應(yīng)力互等關(guān)系可知函數(shù)A、B應(yīng)滿足：由此，必然存在一個(gè)函數(shù)，使得第六十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日于是有這就是齊次方程（3-27）的通解。第六十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日平衡方程的非齊次解=齊次方程通解+特解稱為平面問題的應(yīng)力函數(shù)，也稱艾里（Ariy）應(yīng)力函數(shù)。第六十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

2.用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程

引入了應(yīng)力函數(shù)以后，平衡方程已自動(dòng)滿足。這時(shí)，問題的控制方程就只剩下相容方程。由于基本未知量的變化，相容方程應(yīng)改用應(yīng)力函數(shù)表示.問題化為求:第六十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日常體力情況下的相容方程為注意到體力與坐標(biāo)無關(guān)，得或第六十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日展開后即為此方程稱為雙調(diào)和方程，滿足雙調(diào)和方程的函數(shù)，稱為雙調(diào)和函數(shù)，故在常體力情況下，應(yīng)力函數(shù)為雙調(diào)和函數(shù)。彈性力學(xué)平面問題的求解可歸結(jié)為尋求一個(gè)雙調(diào)和函數(shù)，使由它求出的應(yīng)力分量滿足問題的邊界條件。第六十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-7多項(xiàng)式逆解法解平面問題以下不計(jì)體力，考察幾個(gè)典型的多項(xiàng)式，看看它們能解決什么問題。1.一次式第六十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日由應(yīng)力分量反推邊界面力

線性應(yīng)力函數(shù)對應(yīng)于無外力作用的零應(yīng)力狀態(tài)。2.二次式(1)第六十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

由邊界條件反推對應(yīng)的邊界面力，為了具體起見，考察圖3-10所示的矩形板。

表明矩形板左、右端面受均勻拉伸（b>0）或均勻壓縮（b<0）（圖3-10（a））。第六十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日第六十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日（2）

應(yīng)力函數(shù)（7）對應(yīng)于矩形板上、下端面受均勻拉伸（c>0）或均勻壓縮（c<0）（圖3-10（b））。（3）第七十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

為純剪切狀態(tài)（圖3-10（c））。第七十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日3.三次式

由邊界條件可得邊界面力：第七十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

矩形板條的左、右端面受線性分布面力作用，面力的合力為：而上、下邊界面上面力為零，板條為純彎曲（圖3-11）。第七十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

第七十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日例4對例2所述彈性力學(xué)問題，用應(yīng)力函數(shù)法進(jìn)行求解。解：我們注意到矩形板左、右兩側(cè)沿x方向受均勻壓縮，物體將沿y方向膨脹，但由于剛性邊界的約束而受到均勻壓力，故為雙向受壓問題，將（4）和（7）疊加作為本問題的應(yīng)力函數(shù)，即取第七十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

相應(yīng)的應(yīng)力分量為：可解得第七十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

§3-8懸臂梁的彎曲

懸臂梁（圖3-16）端部受分布切向力作用，合力為P，梁的自重不計(jì)，取梁寬為1，按平面應(yīng)力問題分析梁的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。圖3-16第七十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日1.應(yīng)力函數(shù)的確定

由材料力學(xué)解已知，梁彎曲時(shí)彎曲應(yīng)力與截面彎矩（M）成正比，且沿梁高度（y）呈線性分布，在本問題中有可設(shè)由于第七十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日積分兩次，得應(yīng)力函數(shù)則再將上式代入相容方程第七十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日積分上式得將上式代入于是有第八十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

2.應(yīng)力分量將（6）式代入（3-28）式，得應(yīng)力分量：第八十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

3.由邊界條件確定待定系數(shù)

上、下邊界是主要邊界，邊界條件必須精確滿足。邊界條件為：將應(yīng)力分量代入上式得第八十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日作為關(guān)于x的恒等式，兩邊對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，有解之得由此，應(yīng)力公式可改寫為第八十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日將上式代入邊界條件得

左、右端邊界為次要邊界，由于其面力分布不清楚，可用圣維南原理放松邊界條件。右端面邊界條件為：第八十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日將D代入剪應(yīng)力表達(dá)式，再代入邊界條件，則解得式中為截面慣性矩。將A、D代入（9）式得應(yīng)力解：第八十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

顯見，左端邊界條件已自然滿足。如果不能滿足，仍可用圣維南原理放松，與之等效的主矢和主矩分別為第八十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

應(yīng)力解（13）與材料力學(xué)結(jié)果完全相同。4.位移

下面按平面應(yīng)力問題求解。將應(yīng)力（13）式代入本構(gòu)方程（3-14），再運(yùn)用幾何方程（3-11）得第八十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日對（15（a）（b））式積分：第八十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日代入（15（c）），整理后有第八十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

上式為恒等式,要保證上式在全域內(nèi)任何一點(diǎn)都成立，則必有對以上兩式積分得第九十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

于是得位移：式中C、C1、C2為待定常數(shù)，由位移邊界條件確定，考慮梁左端在原點(diǎn)O是固定的，且梁軸不能繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)（圖3-17（a）），即有位移約束條件：第九十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

將位移代入上式可得：故位移解為：第九十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

第九十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

圖3-17（a）所示情況相當(dāng)于梁嵌入左端較深的情況。如果梁的左端粘結(jié)在一個(gè)剛性平面上，則位移約束條件為第九十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日此時(shí)，取得梁的撓曲線方程

取橫截面發(fā)生變形以后的方程為第九十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

這表示橫截面變形后不再保持為平面，而是變?yōu)橐匀螔佄锞€為母線的柱形曲面。在應(yīng)力函數(shù)方法中，確定應(yīng)力函數(shù)是彈性力學(xué)問題求解的關(guān)鍵。前面是通過彎曲應(yīng)力來推斷的。也可以通過擠壓應(yīng)力或剪應(yīng)力來推斷。擠壓應(yīng)力主要是由接觸荷載引起的，本題的接觸荷載為零，故可設(shè)擠壓應(yīng)力第九十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-9簡支梁的彎曲

矩形截面簡支梁受均布載荷q作用（圖3-18），取梁的寬度為1，不計(jì)體力，求梁的應(yīng)力分量。第九十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日1.應(yīng)力函數(shù)的確定由于擠壓應(yīng)力主要由接觸荷載引起。我們注意到，梁的上表面擠壓荷載是均布的，下表面自由，可以視為均布擠壓荷載的特殊情況，故擠壓應(yīng)力與x無關(guān)；又注意到，上、下表面的面力不等（上表面為q，而下表面為零），即與y有關(guān)，因此可設(shè)第九十八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

對上式積分兩次，得將其式代入相容方程得第九十九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

對域內(nèi)的任意x上式成立，故有方程：由上式的前兩個(gè)方程解得第一百頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

將（4）式代入（3）式的第3個(gè)方程得在（5）、（6）式中已略去與應(yīng)力無關(guān)的各項(xiàng)。將（4）～（6）代回（2）式得第一百零一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日2.應(yīng)力分量由應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系（3-28）可得第一百零二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日3.利用對稱性和應(yīng)力邊界條件確定待定系數(shù)按彈性力學(xué)應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定，顯然，各分量滿足：第一百零三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日第一百零四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日為x的偶函數(shù)，而為x的奇函數(shù)從而有上、下邊界條件：第一百零五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日將（10）代入（8）式，再代入邊界條件（11），聯(lián)立求解后得

將各系數(shù)代回（8）式得應(yīng)力：第一百零六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日右端邊界條件：上式第三式自然滿足。由1、2式解得第一百零七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日將K、H值代回（13）式得應(yīng)力解：第一百零八頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日從應(yīng)力解（16）可見，彎曲應(yīng)力的主項(xiàng)與材料力學(xué)相同，而第2項(xiàng)為彈性力學(xué)修正項(xiàng)，對于細(xì)長梁，修正項(xiàng)很小可以忽略不計(jì)。為擠壓應(yīng)力，由材料力學(xué)得不到這一結(jié)果。剪應(yīng)力與材料力學(xué)相同。第一百零九頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-10楔形體受重力和液體壓力楔形體受體力和側(cè)壓力作用,試求應(yīng)力.1.應(yīng)力函數(shù)的確定這里采用量綱分析方法。楔形體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量決定于、、x、y和

等物理和幾何參量，因而應(yīng)力表達(dá)式中的各項(xiàng)只可能由這幾個(gè)參量第一百一十頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日第一百一十一頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日組成，且其量綱與應(yīng)力量綱相同。各參量量綱列表如下：參量應(yīng)力重力坐標(biāo)(x、y)楔角()量綱[長度]無量綱為了保證量綱的和諧，應(yīng)力分量可用及其線性組合來表達(dá)，即有可能把應(yīng)力分量表達(dá)為x、y的一次函數(shù)。第一百一十二頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)具有如下關(guān)系：由量綱的和諧性，上式中各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)應(yīng)具有應(yīng)力量綱。于是，應(yīng)力函數(shù)在坐標(biāo)的冪次上比應(yīng)力高兩次。也就是說，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)用坐標(biāo)的三次函數(shù)來表達(dá)，即可設(shè)（1）第一百一十三頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日式中，系數(shù)a、b、c、d由邊界條件確定。應(yīng)力函數(shù)（1）恒滿足相容方程。2.應(yīng)力分量

將（1）式代入（3-29）式，則得：3.由邊界條件確定待定系數(shù)

（2）第一百一十四頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日

左側(cè)面：

斜面：（3）第一百一十五頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日代入邊界條件（3-16）得：將（2）式應(yīng)力分量代入（3）和（4）式，解得（4）第一百一十六頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日將這些系數(shù)代回（2）式得應(yīng)力解：第一百一十七頁，共一百三十一頁，2022年，8月28日§3-11簡支梁受任意橫向荷載的三角級數(shù)形式