第3章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答

第三章平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答§3-1應(yīng)力函數(shù)的多項(xiàng)式解答§3-2位移分量的求出§3-3簡(jiǎn)支梁受均布載荷§3-4楔形體受重力和液體壓力§3-1應(yīng)力函數(shù)的多項(xiàng)式解答一.一次多項(xiàng)式適用性：由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。目的：考察一些簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)(x,y)，能解決什么樣的力學(xué)問(wèn)題?！娼夥ㄆ渲校篶1、c2、c3

為待定系數(shù)。檢驗(yàn)(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程：顯然(x,y)滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。（1）（2）（3）對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量：若體力：fx

fy

0，則有：結(jié)論：①②一次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于無(wú)體力和無(wú)應(yīng)力狀態(tài)；應(yīng)力函數(shù)加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無(wú)影響。（1）其中：c1、c2、c3為待定系數(shù)。（假定：fx

fy

0;c1

>0,c2

>0,c3

>0）檢驗(yàn)(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）（可作為應(yīng)力函數(shù)）（3）計(jì)算應(yīng)力分量：二.二次多項(xiàng)式結(jié)論：二次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。xy2c32c32c12c1（1）其中:c1、c2、c3、c4為待定系數(shù)。檢驗(yàn)(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）（可作為應(yīng)力函數(shù)）（假定：fx

fy

0）（3）計(jì)算應(yīng)力分量：結(jié)論：三次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于線性應(yīng)力分布。如，圖示板的應(yīng)力函數(shù)應(yīng)為xy三.三次多項(xiàng)式例：則取（fx

fy

0）圖示梁對(duì)應(yīng)的邊界條件：xy1l可見(jiàn)，對(duì)應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問(wèn)題應(yīng)力分布?？梢?jiàn)，此結(jié)果與材力中結(jié)果相同，說(shuō)明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。梁端部靜力等效的邊界條件：——無(wú)軸力。同理——無(wú)剪力。設(shè)xy1lMM說(shuō)明：①組成梁端力偶M

的面力須線性分布，且中心處為零，結(jié)果才是精確的。②但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。③當(dāng)l遠(yuǎn)大于h時(shí)，誤差較??；反之誤差較大。若按其它形式分布，則此結(jié)果不精確，有誤差；（1）檢驗(yàn)(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程（2）代入：得可見(jiàn)，其待定系數(shù)，須滿足上述關(guān)系才能作為應(yīng)力函數(shù)。四.四次多項(xiàng)式（1）多項(xiàng)式次數(shù)n

<4時(shí)，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足。多項(xiàng)式次數(shù)n

≥4時(shí)，則系數(shù)須滿足一定條件，才能滿足。多項(xiàng)式次數(shù)n

越高，則系數(shù)間需要滿足的條件越多。（2）一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于無(wú)體力和無(wú)應(yīng)力狀態(tài)；任意應(yīng)力函數(shù)(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無(wú)影響。二次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)均勻應(yīng)力狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；三次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于線性分布應(yīng)力。（3）（4）用多項(xiàng)式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)(x,y)的方法——逆解法（只能解決簡(jiǎn)單直線應(yīng)力邊界問(wèn)題）。五.多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)（總結(jié)）以純彎曲梁為例，說(shuō)明用應(yīng)力函數(shù)法得到應(yīng)力分量后如何求出應(yīng)變分量和位移分量？前已得到純彎梁的應(yīng)力解答為：由平面應(yīng)力的物理方程：由幾何方程：§3-2位移分量的求出一.應(yīng)變分量二.位移分量將前兩式積分，得：式中：為待定函數(shù)。將其代入第三式，得：函數(shù)理論：對(duì)于任意的F(x)和G(y)，若F(x)

G(y)則F(x)和G(y)必等于同一常數(shù)。常數(shù)所以積分其中u0

、v0

、為待定常數(shù)可由位移邊界條件確定討論：鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角，即u關(guān)于鉛垂方向的變化率。（1）當(dāng)x=x0

=常數(shù)常數(shù)說(shuō)明：

同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同?！牧χ小捌浇孛婕僭O(shè)”成立。（2）將v對(duì)x求二階導(dǎo)數(shù)：常數(shù)說(shuō)明：在小變形下，梁縱向纖維的曲率相同。即——材料力學(xué)中撓曲線微分方程（3）對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，僅需作E1E、1替換（1）兩端簡(jiǎn)支xyl其位移邊界條件：代入上式解之所以與材力中梁的撓曲線方程結(jié)果相同三.位移邊界條件的利用（2）懸臂梁xylMM位移邊界條件：代入恒不滿足放松條件，邊界條件改寫為：（中點(diǎn)不動(dòng)）（軸線在端部不轉(zhuǎn)動(dòng)）代入位移表達(dá)式解得所以xylMM撓曲線方程：與材料力學(xué)中結(jié)果相同若邊界條件改寫為：（中點(diǎn)不動(dòng)）（中點(diǎn)處豎向線段轉(zhuǎn)角為零）所得結(jié)果與前相同一.應(yīng)力函數(shù)的確定要點(diǎn):1xyyzllqlqlq用半逆解法求解梁、長(zhǎng)板類平面問(wèn)題。（1）分析：推想：（2）由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù)的形式：積分——任意的待定函數(shù)由上下邊邊界條件：對(duì)于任意均有表明隨y發(fā)生變化，而不隨x發(fā)生變化。再積分其中§3-3簡(jiǎn)支梁受均布載荷（3）由相容確定待定函數(shù)代入相容方程：視之為關(guān)于x的二次方程，欲使其在l

xl內(nèi)均成立，須有x的一、二次的系數(shù)、自由項(xiàng)同時(shí)為零。即先對(duì)第一、二式積分（略去常數(shù)項(xiàng)）再將f

(y)代入第三式積分得（略去一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)）所以利用應(yīng)力邊界條件可建立九個(gè)關(guān)系式以確定待定常數(shù)為減少計(jì)算工作量，可先進(jìn)行簡(jiǎn)化分析二.應(yīng)力分量的確定1xyyzllqlqlq由荷載對(duì)稱和幾何對(duì)稱：x、y應(yīng)為x的偶函數(shù)xy應(yīng)為x的奇函數(shù)則有由y的任意性，必有所以現(xiàn)再利用應(yīng)力邊界條件確定待定常數(shù)三.對(duì)稱性的利用上邊界：下邊界：四式聯(lián)立求解1xyyzllqlqlq四.應(yīng)力邊界條件所以左右邊界（次要邊界）：因?qū)ΨQ，只考慮一邊（如右邊界）。由于面力分布未知，由靜力等效力系替代。滿足故截面上的應(yīng)力分布：三次拋物線（1）次要邊界上的誤差按上述解答，梁的左右邊界存在水平面力說(shuō)明在兩端與實(shí)際不符。乃靜力等效替代所致，但隨遠(yuǎn)離迅速衰減。五.討論（2）與材力結(jié)果比較將代入a）x：第一項(xiàng)與材力結(jié)果相同，為主要項(xiàng)。第二項(xiàng)為修正項(xiàng)。當(dāng)h/l<<1，該項(xiàng)誤差很小，可略；當(dāng)h/l較大時(shí)，須修正。b）y：為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力中未考慮。c）xy：與材力結(jié)論相同。（3）如果事先作更深入的分析，可使計(jì)算工作量減少。（避免解微分方程）分析如下：①直線、直角邊界，應(yīng)力函數(shù)可選用多項(xiàng)式。（幾次？）②x應(yīng)為三次多項(xiàng)式比x高兩次應(yīng)為五次多項(xiàng)式。（共21項(xiàng)，略去線性和常數(shù)項(xiàng)，有18項(xiàng)）即：③如前對(duì)稱性分析x、y應(yīng)為x的偶函數(shù)，xy應(yīng)為x的奇函數(shù)則應(yīng)是x的偶函數(shù)，即④如前邊界條件分析y與x無(wú)關(guān)，則中高于x2項(xiàng)為零則⑤由相容方程由y的任意性所以再利用邊界條件確定六個(gè)待定系數(shù)附1：解題步驟小結(jié)（1）（2）（3）根據(jù)問(wèn)題的條件：幾何特點(diǎn)、受力特點(diǎn)、約束特點(diǎn)（如面由應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式，求得應(yīng)力函數(shù)的具體形（4）（5）將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù)代入相容方程確定應(yīng)力函數(shù)中由應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式，求得應(yīng)力分量（具有待由邊界條件確定應(yīng)力分量中的待定常數(shù)。用半逆解法求解梁、矩形長(zhǎng)板類彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本步驟：力分布規(guī)律、對(duì)稱性等），估計(jì)某個(gè)應(yīng)力分量的變化形式。式（具有待定函數(shù)）。的待定函數(shù)形式（具有待定系數(shù)）。定系數(shù)）。附2：應(yīng)力函數(shù)確定的“材料力學(xué)方法”要點(diǎn)：利用材料力學(xué)中應(yīng)力與梁內(nèi)力的關(guān)系，假設(shè)某個(gè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。適用性：直梁、長(zhǎng)板條等受連續(xù)分布面力、桿端集中力、桿端集中力偶等。應(yīng)力函數(shù)?？杀硎緸椋河蛇吔缑媪ο却_定f(x)或g(y)其中之一的規(guī)律，然后將其代入相容方程確定另外一個(gè)函數(shù)。應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系一般可表示為：其中M(x)、FQ(x)和q(x)分別為梁的彎矩、剪力和橫向分布力。例：懸臂梁，厚度為單位1，常數(shù)。求：應(yīng)力函數(shù)及梁內(nèi)應(yīng)力。xyObl解：(1)應(yīng)力函數(shù)的確定xFQM取任意截面，其內(nèi)力如圖：取作為分析對(duì)象，可假設(shè)：——f(y)為待定函數(shù)由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系，有：對(duì)x

積分一次，有：對(duì)y

再積分一次，有：由得要使上式對(duì)任意的x，y成立，有(2)應(yīng)力分量的確定(3)利用邊界條件確定常數(shù)xyOblx故一.應(yīng)力函數(shù)要點(diǎn):半逆解法的量綱分析法xyO問(wèn)題:楔形體，下部