函數(shù)的定義域與值域

鹽城高級(jí)職業(yè)學(xué)校：陸軍第2課時(shí)函數(shù)的定義域與值域的求法1．函數(shù)的自然定義域和限定定義域：用解析法表示的函數(shù)，其定義域有時(shí)需要根據(jù)解析式何時(shí)有意義來(lái)求出，有時(shí)在給出函數(shù)的同時(shí)一起給出．函數(shù)的自然定義域：使函數(shù)的表達(dá)式有意義的自變量的取值集合叫做函數(shù)的自然定義域．如：函數(shù)y＝的定義域?yàn)閧x|x≠0}．函數(shù)的限定定義域：有特殊限制規(guī)定的自變量的取值集合叫做函數(shù)的限定定義域．限定定義域是自然定義域的子集如：函數(shù)y＝＋x＋3，x∈[－2，3]，它的自然定義域?yàn)镽，[－2，3]是該函數(shù)的限定定義域．

2．函數(shù)自然定義域的求法求函數(shù)的自然定義域，就是使函數(shù)的解析式達(dá)到如下要求：(1)分式的分母不為0，如：函數(shù)f(x)＝－的定義域?yàn)閧x|x≠－3}；(2)偶次根下的式子不能小于0，如：函數(shù)f(x)＝

的定義域?yàn)閧x|x≥－2}(3)如果函數(shù)由幾個(gè)式子構(gòu)成，那么函數(shù)的定義域就是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合的交集，如：f(x)＝的定義域?yàn)閧x|x≥2且x≠－1}．3．函數(shù)的值域的定義：在函數(shù)y＝f(x)中，與自變量x的值對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值．函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．如：函數(shù)y＝＋2x＋3的值域?yàn)閇2，＋∞)．

4．確定函數(shù)值域的原則(1)當(dāng)函數(shù)y＝f(x)用表格給出時(shí)，函數(shù)的值域是指表格中實(shí)數(shù)y的集合；(2)當(dāng)函數(shù)y＝f(x)用圖象給出時(shí)，函數(shù)的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的集合；(3)當(dāng)函數(shù)y＝f(x)用解析式給出時(shí)，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定；(4)當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，函數(shù)的值域由問(wèn)題的實(shí)際意義確定．5．求函數(shù)值域的方法常用的方法有：①配方法；②分離常數(shù)法；③換元法；④判別式法；⑤圖像法．求定義域2、如果函數(shù)y=f(x)是用解析式給出的，則可用下列法則求函數(shù)定義域：1、使函數(shù)的表達(dá)式有意義的自變量的取值集合叫做函數(shù)的定義域．（1）函數(shù)解析式是整數(shù)時(shí)，它的定義域是一切實(shí)數(shù)，即R;(2)函數(shù)的解析式是分式時(shí)，它的定義域是所有使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合（3）函數(shù)的解析式是偶次根式時(shí)，它的定義域是所有滿足偶次根號(hào)下的被開(kāi)方式大于或等于零的實(shí)數(shù)的集合（4）函數(shù)解析式是

時(shí)，(5)函數(shù)解析式是對(duì)數(shù)式時(shí)，真數(shù)>0,底數(shù)>0且底數(shù)（6）函數(shù)解析式是正切函數(shù)時(shí)，定義域是(7)如果函數(shù)由幾個(gè)式子構(gòu)成，那么函數(shù)的定義域就是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合的交集，【例1】求下列函數(shù)的定義域：(1)(2)(3)(4)（5）.【舉一反三】求下列函數(shù)的定義域：(1)(2).【例2】

若的定義域?yàn)閇0，1]，求函數(shù)的定義域．【舉一反三】設(shè)的定義域?yàn)閇－2，2]，則的定義域?yàn)開(kāi)_

_．【例3】

如圖，用長(zhǎng)為的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架，若矩形底邊長(zhǎng)為，求此框架圍成的面積與的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域．

求值域【例4】

求下列函數(shù)的值域：.【舉一反三】求函數(shù)的值域．

求函數(shù)的值域的方法：(1)觀察法;【例4】

求下列函數(shù)的值域：(2)配方法,圖像法求二次函數(shù)的值域二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)定義域二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)R判別式a>0a<0圖象對(duì)稱性單調(diào)性最值△>0△<0△=0oxyoxyoxyoxyoxyoxy關(guān)于x=-

對(duì)稱b2ax∈(－∞,]單調(diào)遞減b2ax∈(－∞,]單調(diào)遞增b2ax∈[,＋∞)單調(diào)遞增b2ax∈[,＋∞)單調(diào)遞減b2a最小值為4ac-b24a最大值為4ac-b24a例1.已知函數(shù)y=x2-2x-3,求x在下列范圍內(nèi)函數(shù)的值域.(1)x∈R(2)0≤x≤3(3)-2≤x≤0(4)3≤x≤4解:配方得:y=(x-1)2-4(1)∵x∈R∴y≥-4∴值域?yàn)閇-4,+∞)(2)∵0≤x≤3∴值域?yàn)閇-4,0](3)∵-2≤x≤0∴值域?yàn)閇-3,5](4)∵3≤x≤4∴值域?yàn)閇0,5]Oxy-113-4-3二、典型題探究：注：解決二次函數(shù)值域問(wèn)題的一般步驟：(1).配方；(2).畫(huà)圖象；(3).看區(qū)間；(4).確定值域。練習(xí):1.求下列函數(shù)值域：(1).y=x2-2x-3(-5≤x≤0);(2).f(x)=-x2+4x+5(x∈[1,4]);([-3，32])([5,9])2、求函數(shù)

y=x2+2x+3

在下面給定閉區(qū)間上的值域:①[-4,-3];②[-4,1];③[-2,1];④[0,1].[6,11];[2,11];[2,6];[3,6].(3)分式分離常數(shù)法;例1、求下列函數(shù)的值域:（4）、換元法

通過(guò)代數(shù)換元法或者三角函數(shù)換元法,把無(wú)理函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)來(lái)求函數(shù)值域的方法(關(guān)注新元范圍).例2

求下列函數(shù)的值域:(1)

y=x-

x-1;(2)

y=x+

2-x

;34[

,

+∞)（5）判別式法例5

求函數(shù)y

=

的值域.

x2+x+1x2-x

主要適用于形如

y

=(a,d不同時(shí)為零)的函數(shù)(最好是滿足分母恒不為零).ax2+bx+c

dx2+ex+f

(1)y=

;

x2+12x例6

求下列函數(shù)的值域:

(2)y=(x>1).

x-1x2-2x+5[-1,1]

[4,

+∞)

能轉(zhuǎn)化為

A(y)x2+B(y)x+C(y)=0

的函數(shù)常用判別式法求函數(shù)的值域.

[1-,

1+

]2332331.求下列函數(shù)的值域:練習(xí)題(1)y=;x-23x+1(2)y=2x+4

1-x;(3)y=x+1-x;(1)(-∞,3)∪(3,+∞)(2)(-