直線和面的投影3

第三章

點(diǎn)、直線和平面的投影1

將物體自然放平，一般使主要表面與投影面平行或垂直，進(jìn)而確定主視圖的投影方向整體和局部都要符合三視圖的投影規(guī)律可見輪廓線用粗實(shí)線繪制，不可見的輪廓線用線繪制，當(dāng)虛線與實(shí)線重合時(shí)畫實(shí)線特別應(yīng)注意俯、左視圖寬相等和前、后方位關(guān)系4、三視圖的繪制2●●aaax例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影?！馻●●aaaxazaz解法一:通過作45°線使aaz=aax解法二:用分規(guī)直接量取aaz=aaxa●3特殊位置點(diǎn)：4

d’

d

e

e’

f’

f’’

e’’

f

d’’zxYW

YH0例：已知點(diǎn)的兩投影，求其第三投影

d

a

a’

a’’5各種位置點(diǎn)的投影空間點(diǎn)點(diǎn)的X、Y、Z三個(gè)坐標(biāo)均不為零，其三個(gè)投影都不在投影軸上。投影面上的點(diǎn)

點(diǎn)的某一個(gè)坐標(biāo)為零，其一個(gè)投影與投影面重合，另外兩個(gè)投影分別在投影軸上。投影軸上的點(diǎn)

點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)為零，其兩個(gè)投影與所在投影軸重合，另一個(gè)投影在原點(diǎn)上。與原點(diǎn)重合的點(diǎn)

點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)為零，三個(gè)投影都與原點(diǎn)重合。

6四、兩點(diǎn)的相對位置

兩點(diǎn)的相對位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：▲x坐標(biāo)值大的在左

▲y坐標(biāo)值大的在前▲

z坐標(biāo)值大的在上B點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下。baa

abb●●●●●●XYHYWZ7

已知A點(diǎn)在B點(diǎn)之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A點(diǎn)的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

9858兩點(diǎn)左右位置關(guān)系，Ｘ大者在左方。兩點(diǎn)的上下位置關(guān)系，Ｚ大者在上方。兩點(diǎn)前后位置關(guān)系，Ｙ大在前方。兩點(diǎn)的相對位置的判定方法9重影點(diǎn)：10重影點(diǎn)及可見性判別若兩點(diǎn)位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合，這兩點(diǎn)稱為該投影面的重影點(diǎn)。重影點(diǎn)在三對坐標(biāo)值中，必定有兩對相等。從投影方向觀看，重影點(diǎn)必有一個(gè)點(diǎn)的投影被另一個(gè)點(diǎn)的投影遮住而不可見。判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見，不可見點(diǎn)的投影加括號表示。112.3直線的投影投影面平行線平行于一個(gè)投影面，傾斜于另外兩個(gè)投影面的直線投影面垂直線垂直于一個(gè)投影，平行于另二個(gè)投影面的直線一般位置直線傾斜于三個(gè)投影面的直線。直線相對投影面的種類12

兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。直線對一個(gè)投影面的投影特性一、直線的投影特性AB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)積聚性直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長

ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●aaabbb●●●●●●131、投影面平行線水平線正平線側(cè)平線14baababbaabba①在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長，并反映直線與另兩投影面傾角的實(shí)大。②另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。水平線側(cè)平線正平線γ投影特性：與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ實(shí)長實(shí)長實(shí)長βγααβbaaabb152、投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線16反映線段實(shí)長。且垂直于相應(yīng)的投影軸。鉛垂線正垂線側(cè)垂線②另外兩個(gè)投影，①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)173、一般位置直線18投影特性：三個(gè)投影都縮短。即:都不反映空間線段的實(shí)長及與三個(gè)投影面夾角的實(shí)大，且與三根投影軸都傾斜。abbaba19二、直線在三個(gè)投影面中的投影特性投影面平行線(∥)投影面垂直線(⊥)正平線（平行于Ｖ面）H面反映實(shí)形側(cè)平線（平行于Ｗ面）W面反映實(shí)形

水平線（平行于Ｈ面）H面反映實(shí)形一般位置直線(∠)與三個(gè)投影面都傾斜的直線,具有類似性側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）W面積聚為點(diǎn)正垂線（垂直于V面）W面積聚為點(diǎn)鉛垂線（垂直于H面）W面積聚為點(diǎn)20正平線

(1)a＇b＇=AB,反映α、γ角

(2)ab//OX軸,a"b"http://OZ軸

水平線

(1)cd=CD,反映β、γ角

(2)c＇d＇//OX軸,c"d"http://OYW軸

投影面平行線的投影特性

21側(cè)平線(1)e"f"=EF,反映α、β角(2)e＇f＇//OZ軸，ef//OYH軸

投影面平行線的投影特性:1.直線在與其平行的投影面上的投影,反映該線段的實(shí)長和與其他兩個(gè)投影面的傾角2.直線在其他兩個(gè)投影面上的投影分別平行于相應(yīng)的投影軸,且比線段的實(shí)長短22名稱

軸測圖投影圖投影特性正垂線

(1)a＇b＇'積聚成一點(diǎn)

(2)ab垂直O(jiān)X軸，

a"b"垂直O(jiān)Z軸，

ab=a"b"=AB

鉛垂線

(1)cd積聚成一點(diǎn)(2)c＇d＇垂直O(jiān)X軸，

c"d"垂直O(jiān)YW軸，

c＇d＇=c"d"=CD

投影面垂直線的投影特性

23側(cè)垂線

(1)e"f"積聚成一點(diǎn)(2)e＇f＇垂直O(jiān)Z軸，

ef垂直O(jiān)YH軸，

e＇f＇=ef=EF

投影面垂直線的投影特性：

1.直線在與其所垂直的投影面上的投影積聚成一點(diǎn)

2.直線在其他兩個(gè)投影面上的投影分別垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映該線段的實(shí)長

24|zA-zB

|ABABbbaaCXO1）求直線的實(shí)長及對水平投影面的夾角角|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab25ABbbaaCXO2）求直線的實(shí)長及對正面投影面的夾角

角|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB||YA-YB|AB|YA-YB|26XZYO3）求直線的實(shí)長及對側(cè)面投影面的夾角

角ABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB||XA-XB|27已知線段的實(shí)長AB，求它的水平投影。a|zA-zB|abab|yA-yB|ABAB|zA-zB|bXabAB282.4直線與點(diǎn)及兩直線的相對位置一、直線與點(diǎn)的相對位置29

若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。并將線段的同名投影分割成與空間相同的比例。即：

若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影上，則該點(diǎn)必不在此直線上。點(diǎn)在直線上的判別方法：AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa定比定理30直線上的點(diǎn)具有兩個(gè)特性：

1從屬性若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點(diǎn)，或判斷已知點(diǎn)是否在直線上。

2定比性屬于線段上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。即AC:

CB=ac:

cb=ac:

cb=ac

:

cb

ABbbaaXOccCc31點(diǎn)C不在直線AB上例1：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。abcabc①c②abcab●點(diǎn)C在直線AB上投影點(diǎn)在同名投影線上也符合定比定律32例2：判斷點(diǎn)K是否在線段AB上。ab●k因k不在a

b上，故點(diǎn)K不在AB上。應(yīng)用定比定理abkabk●●另一判斷法?

a’k’/k’b≠ak/kb33例題3已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHV用定比定律34bbXaaBC例題4已知線段AB的投影，試定出屬于線段AB的點(diǎn)C的投影，使BC

的實(shí)長等于已知長度L。cLABzA-zBcab35二、兩直線的相對位置平行相交交叉垂直相交36⒈兩直線平行投影特性：空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHcbcdABCDbda37abcdcabd例1：判斷圖中兩條直線是否平行。對于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD①38bdcacbaddbac對于特殊位置直線，只有兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。例2：判斷圖中兩條直線是否平行。②求出側(cè)面投影如何判斷？39HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉兩直線相交判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)40●●cabbacdkkd例：過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。先作正面投影41dbaabcdc’1(2)3(4)⒊兩直線交叉★同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律?！铩敖稽c(diǎn)”是兩直線上的一對重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?！瘛瘼?、Ⅱ是Ｖ面的重影點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點(diǎn)。12●●3

4●●兩直線相交嗎？42例題判斷兩直線的相對位置baacddcbX11d1c1兩直線交叉43判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性XOBDACbbaaccdd(3)41(2)43341212判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見，不可見點(diǎn)的投影加括號表示。44例題判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性bbcddcXaa3(4)34121(2)454、兩直線垂直相交（或垂直交叉）

若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。設(shè)直角邊BC//H面因BC⊥AB,同時(shí)BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直線在H面上的投影互相垂直即∠abc為直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHacbabc.證明：46dabcabc●●d例：過C點(diǎn)作直線與AB垂直相交。AB為正平線,正面投影反映直角。.47eee'e'c'c'例已知直線AB的兩面投影和C點(diǎn)的水平投影,試過C點(diǎn)作一條直線CE垂直于AB,求直線CE的兩面投影。cbab'a'OX48小結(jié)★點(diǎn)與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性。★點(diǎn)與直線及兩直線的相對位置的判斷方法及投影特性?！锒ū榷ɡ??！镏苯嵌ɡ?，即兩直線垂直時(shí)的投影特性。重點(diǎn)掌握：49一、各種位置直線的投影特性⒈一般位置直線三個(gè)投影與各投影軸都傾斜。⒉投影面平行線在其平行的投影面上的投影反映線段實(shí)長及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個(gè)投影平行于相應(yīng)的投影軸。⒊投影面垂直線在其垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。另兩個(gè)投影反映實(shí)長且垂直于相應(yīng)的投影軸。50二、直線上的點(diǎn)⒈點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。⒉點(diǎn)分線段成定比，點(diǎn)的投影必分線段的投影成定比——定比定理。三、兩直線的相對位置⒈平行⒉相交⒊交叉（異面）同名投影互相平行。同名投影相交，交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，且符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律?！敖稽c(diǎn)”是兩直線上一對重影點(diǎn)的投影。512.5平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abcabc不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)●●●●●●abcabc直線及線外一點(diǎn)abcabc●●●●●●d●d●兩平行直線abcabc●●●●●●兩相交直線●●●●●●abcabc平面圖形1、用幾何元素表示平面522、平面的跡線表示法53VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ54平行垂直傾斜投影特性★平面平行投影面-----真實(shí)性★

平面垂直投影面-----積聚性★平面傾斜投影面-----類似性⒈平面對一個(gè)投影面的投影特性二、平面的投影特性55⒉平面在三投影面體系中的投影特性投影面垂直面投影面平行面一般位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜正垂面?zhèn)却姑驺U垂面正平面?zhèn)绕矫嫠矫?61）投影面垂直面鉛垂面正垂面?zhèn)却姑?7VWHPPH鉛垂面投影特性：1、abc積聚為一條線2、abc、abc為ABC的類似形3、abc與OX、OY的夾角反映、角的真實(shí)大小

ABCacbababbaccc58VWHQQV正垂面投影特性：1、abc積聚為一條線2、abc、abcABC的類似形3、abc與OX、OZ的夾角反映α、角的真實(shí)大小

αababbacccAcCabB59VWHSWS側(cè)垂面投影特性：1、abc積聚為一條線2、abc、abc為

ABC的類似形3、abc與OZ、OY的夾角反映α、β角的真實(shí)大小

CabABcabbbaaαβccc60abcacbcba類似性類似性積聚性鉛垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。γβ是什么位置的平面？612）投影面平行面水平面正平面?zhèn)绕矫?2VWH水平面投影特性：

1、abc、abc積聚為一條線積聚為一條線，具有積聚性

2、水平投影abc反映

ABC實(shí)形

CABabcbacabccabbbaacc63正平面VWH投影特性：

1、abc

、abc積聚為一條線，具有積聚性

2、正平面投影abc反映

ABC實(shí)形

cabbacbcabacabcbcaCBA64投影特性：

1、abc

、abc積聚為一條線，具有積聚性

2、側(cè)平面投影abc

反映

ABC實(shí)形

側(cè)平面VWHabbbacccabcbacabcCABa65abcabcabc積聚性積聚性實(shí)形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。663）一般位置平面67一般位置平面投影特性

1、abc、abc

、abc均為ABC的類似形

2、不反映、、

的真實(shí)角度

abcbacababbaccbacCAB68判斷直線在平面內(nèi)的方法

定理一若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。⒈平面上取任意直線三、平面上的直線和點(diǎn)6970abcbcaabcbcadmnnmd例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理一有多少解？有無數(shù)解。71例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。nmnm10cabcab唯一解！有多少解？72⒉平面上取點(diǎn)73先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例1：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。b①accakb●k●

面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線②●abca’bkcdk●d利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解74例題2

已知

ABC給定一平面，試判斷點(diǎn)D是否屬于該平面。ddabcabcee75bckadadbcadadbckbc例3：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形

ABCD的水平投影。解法一解法二763、平面上的投影面平行線一般位置平面上存在一般位置直線和投影面平行線，不存在投影面垂直線。7778abcbac例題已知

ABC給定一平面，試過點(diǎn)C作屬于該平面的正平線，過點(diǎn)A作屬于該平面的水平線。mnnm79例：在平面ABC上取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K在點(diǎn)A之下15mm、在點(diǎn)A之前20mm處。802.6圓的投影圓的投影特性：1、圓平面在所平行投影面上的投影反映實(shí)形；2、圓平面在所垂直的投影面上的投影是直線，其長度等于圓的直徑；3、圓平面在所傾斜的投影面上的投影是橢圓。其長軸是圓的平行于這個(gè)投影面的直徑的投影；短軸是圓的與上述直徑垂直的直徑的投影；812.7直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括平行、相交和垂直。一、平行問題

直線與平面平行平面與平面平行⒈直線與平面平行定理：若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。82n●●acbmabcmn例1：過M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解有多少解？83正平線例2：過M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面

ABC。c●●bamabcmn唯一解n84例題3試判斷直線AB是否平行于定平面fgfgbaabcededc結(jié)論：直線AB不平行于定平面85⒉兩平面平行①若一平面上的兩相交直線對應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。fhabcdefhabcdecfbdeaabcdef86例題1試判斷兩平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss結(jié)論：兩平面平行87例題2已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrddcaacbbkk88二、相交問題直線與平面相交平面與平面相交⒈直線與平面相交直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。要討論的問題：●求直線與平面的交點(diǎn)。

●判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。我們只討論直線與平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。8990abcmncnbam⑴平面為特殊位置例：求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性?？臻g及投影分析平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。①求交點(diǎn)②判別可見性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。k●1(2)作圖k●●2●1●9192km(n)b●mncbaac⑵直線為特殊位置空間及投影分析直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。①求交點(diǎn)②判別可見性點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前；點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后。故k2為不可見。1(2)k●2●1●●作圖用面上取點(diǎn)法93⒉兩平面相交兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問題：①求兩平面的交線方法：只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。②判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見性。94可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefcfdbeam(n)空間及投影分析平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線的投影。①求交線②判別可見性作圖從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●如何判別？例：求兩平面的交線MN并判別可見性。⑴9596bcfhaeabcefh1(2)空間及投影分析平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。ab與ef的交點(diǎn)m、bc與fh的交點(diǎn)n即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故mn即MN的正面投影。①求交線②判別可見性點(diǎn)Ⅰ在FH上，點(diǎn)Ⅱ在BC上，點(diǎn)Ⅰ在上，點(diǎn)Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。作圖m●●n●2●n●m●1●⑵97cdefababcdef⑶投影分析

N點(diǎn)的水平投影n位于Δdef的外面，說明點(diǎn)N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個(gè)圖形內(nèi)。所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。n●n●m●k●m●k●互交98

小結(jié)

重點(diǎn)掌握：二、如何在平面上確定直線和點(diǎn)。三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面內(nèi)的兩組相交直線對應(yīng)平行。四、直線與平面的交點(diǎn)及平面與平面的交線是兩者的共有點(diǎn)或共有線。解題思路：★空間及投影分析

目的是找出交點(diǎn)或交線的已知投影。★判別可見性尤其是如何利用重影點(diǎn)判別。一、平面的投影特性，尤其是特殊