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文檔簡介
第4章約束最優(yōu)化方法在第2章中已討論過帶有約束的線性規(guī)劃問題,而本章要討論的則是帶有約束的非線性規(guī)劃問題,其一般形式為(4.1)其中
。這個問題的求解是指,在容許集內(nèi)找一點,使得對于任意的,都有點
稱為問題(4.1)的最優(yōu)解。由于帶有了約束,使得對約束最優(yōu)化問題(4.1)的求解變得比對無約束最優(yōu)化問題(3.1)的求解復雜得多,也困難得多。本章將討論求解約束最優(yōu)化問題常用的兩類最優(yōu)化方法。一類是所謂的容許方向法。它是一種直接處理約束的方法。另一類是所謂的罰函數(shù)法。相對前者而言,它是一種直接處理約束問題本身的方法,其主要特點是用一系列無約束問題的極小點去逼近約束問題的最優(yōu)點。在4.1節(jié)中將首先討論約束問題的最優(yōu)性條件,為后面算法的終止準則提供理論依據(jù);在4.2-4.3節(jié)中將討論二種容許方向法,包括Zoutendijk容許方向法、Rosen梯度投影法;在4.6-4.8節(jié)中將討論三種罰函數(shù)法,它們是外部罰函數(shù)法、內(nèi)部罰函數(shù)法和乘子法。
4.1最優(yōu)性條件所謂最優(yōu)性條件,就是最優(yōu)化問題的目標函數(shù)與約束函數(shù)在最優(yōu)點所滿足的充分條件和必要條件。最優(yōu)性必要條件是指,最優(yōu)點應該滿足的條件;最優(yōu)性充分條件是指,可使得某個容許點成為最優(yōu)點的條件。最優(yōu)性條件對于最優(yōu)化算法的終止判定和最優(yōu)化理論的推證都是至關重要的。本節(jié)僅講述最基本的結論。在第2章和第1章中,已經(jīng)分別討論過線性規(guī)劃問題和無約束問題的最優(yōu)性條件。定理2.9是線性規(guī)劃問題的最優(yōu)性充分條件。定理1.15、定理1.17和定理1.18以及推論1.16分別是無約束問題的最優(yōu)性必要條件、充分條件以及充分且必要條件。本節(jié)主要討論一般約束問題的最優(yōu)性條件。我們將先從僅含等式約束或不等式約束的問題入手,然后自然過渡到一般約束問題。1.等式約束問題的最優(yōu)性條件考慮僅含等式約束的問題
(4.2)這個問題的最優(yōu)性條件與求解方法在微積分中已從理論上得到了解決,這就是Lagrange定理和Lagrange乘子法。定理4.1(Lagrange定理)
P217Lagrange乘子法定義函數(shù)稱為Lagrange函數(shù),其中稱為Lagrange乘子,則求解等式約束問題(4.2)等價于求解無約束問題(4.4)Lagrange函數(shù)(4.4)的梯度是其中最優(yōu)性必要條件及下面的定理給出了(4.2)的最優(yōu)性二階充分條件。定理4.2P2182.不等式約束問題的最優(yōu)性條件(1)幾何最優(yōu)性條件下面將給出約束問題
(4.7)的最優(yōu)性條件。設容許集仍用表示,即以下幾個概念是討論的基礎。定義4.1對于約束問題(4.7),設
。若使得某個不等式約束有
,則該不等式約束稱為是關于容許點
的起作用約束;否則,若
則該不等式約束稱為是關于容許點的不起作用約束。
,例如,不等式約束關于容許集的任意內(nèi)點都是不起作用約束。只有容許集的邊界點才能使某個或某些不等式約束變?yōu)槠鹱饔眉s束。定義4.2設是中的非空集,且
。對于,若當
時,對于,必有
,則集合稱為以為頂點的錐。若錐是凸集,則稱為凸錐。
顯然,由維向量的全部非負組合構成的集合是一個以原點為頂點的凸錐。由于這樣的凸錐的邊界是(超)平面或直線,所以也稱為由
凸多面錐。張成的定義4.3設是中的非空集,且
。對于非零
向量,若存在,當時,必有
,則稱為點
的容許方向向量,其方向
稱為點的容許方向。由點的全部容許方向向量構成的的容許方向錐,記作集合稱為點引理4.3設
;并設當時,在點
處可微,當時,
在點處連續(xù)。若對于所有的,向量使得,則是點的一個容許方向向量。證考慮某個
。因為,所以是在點處的上升方向。根據(jù)定義1.10,存在
,例如,當時,。
再考慮某個。因為
,且在點
處連續(xù),故存在,當時,。取,則當
時,對于所有的必有
,即。根據(jù)定義4.3,即是點的容許方向向量。記,則依引理4.3可知,。由這個引理看到一個事實,若僅使某個約束,例如
,變成起作用約束,且,而其它約束是不起作用約束,則
就是點的一個容許
方向向量。換句話說,約束曲面
把整個空間分成總是指向包含容許集的那一側。兩部分,梯度,由點的所有下降方向向量構成的集合稱為點下降方向錐。的定理4.4設在點處可微,則點下降方向向量必滿足的記,則定理4.4表明,既是點的下降方向錐。顯然是中的半空間。下面的定理給出的約束問題(4.7)的最優(yōu)性條件是僅借助點集的概念給出的,所以稱為幾何最優(yōu)性條件。定理4.5在約束問題(4.7)中,若是局部最優(yōu)點,處的容許方向錐和下降方向錐的交集是空集。則點這個定理表明:在最優(yōu)點處,一定不存在下降容許方向。
換句話說,在最優(yōu)點處,或者不存在下降方向,或者任何下降方向都不是容許方向。定理4.6在問題(4.7)中,假設:i)是局部最優(yōu)點,ii)在點處可微;當時,在點
可微,當時,在點處連續(xù)。那么,處證根據(jù)引理4.3,若
,則,
從而。又根據(jù)定理4.5,有故必有。例4.1P222定理4.5和定理4.6給出的最優(yōu)性條件僅僅是必要的,而不是充分的。習題4.6和習題4.7可以說明這一點。幾何最優(yōu)性條件直觀易懂,但在實際計算中使用起來并不簡便。以下討論的Fritz-John條件和Kuhn-Tucker條件是經(jīng)常用到的最優(yōu)性條件。(2)Fritz-John條件首先介紹兩個引理,這兩個引理本身在最優(yōu)化理論中處于很重要的地位。引理4.7(Farkas)設和是維向量,則滿足的向量也滿足的充要條件是,存在非負數(shù),使得Farkas引理的幾何解釋:Farkas引理指出,向量與凸多面錐(個半空間的交集)中任意向量都交成銳角或直角的充要條件是,向量
位于凸多面錐
之中。例如,見上圖,位于中,它與中的任意向量都交成銳角;
不在中,它就不與中的所有向量交成與交成鈍角。銳角或直角,如引理4.8(Gordan)設是維向量,使得則不存在向量成立的必要條件是,存在不全為零的非負數(shù)使得Gordan引理的幾何意義:不存在向量使得在幾何上表示向量
的某一非負線性組合為零向量。例如,在左下圖中,取
,可使
右下圖中,則找不到不全為零的非負數(shù)使得。
;在定理4.9(Fritz-John)在問題(4.7)中,設是在點處可微。,使得局部最優(yōu)解,那么,存在不全為零的實數(shù)(4.9)
其中稱為互補松弛條件。它表明:
若,即,則必有;若,則,即。必有這個定理給出了問題(4.7)的一個最優(yōu)性必要條件。(4.9)稱為問題(4.7)的Fritz-John條件,滿足Fritz-John條件的點稱為Fritz-John點。(4.9)中的也稱為Lagrange乘子。
例4.2考慮約束問題試驗證是Fritz-John點,不是Fritz-John點。解參看例4.1,在點處,。計算取,則有這表明是Fritz-John點。再考慮點,這時。計算根據(jù)(4.11),只須說明不存在不全為零的非負數(shù),使得事實上,(4.12)式可寫為(4.12)(4.13a)
(4.13b)
由(4.13a)得,而由(4.13b)有
,這若取非零值,則必異號。
一關系表明,這就是說,
不可能存在不全為零的非負數(shù)使得(4.12)成立,
即不是Fritz-John點。Fritz-John條件僅是判斷容許點是否為最優(yōu)點的必要條件,而不是充分條件。看下面的例題。例4.3考慮約束問題解顯然是此問題的唯一最優(yōu)點。因為在直線上,約束
關于所有容許點的梯度都等于零,所以當取時,總有(4.14)
如果除去點和點(這兩點的起作用約束不止)
,那么(4.14)說明在直線其余的容許點都滿足Fritz-John條件。但除了其它的點全不是最優(yōu)點。上,外,(3)Kuhn-Tucker條件首先討論一個例題。例4.4P227總結:Fritz-John條件失效的一個原因是,起作用約束函數(shù)的梯度線性相關。為保證
一定在Fritz-John條件中出現(xiàn),即必須保證
,這可以通過附加上起作用約束函數(shù)的梯度線性無關的條件——Kuhn和Tucker提出的條件。實際上,為了保證
,還可以對起作用約束函數(shù)的梯度附加其它形式的條件,這樣的一些條件在最優(yōu)化理論中稱為約束品性。定理4.10(Kuhn-Tucker)P227在起作用約束函數(shù)的梯度線性無關的前提下,公式(4.15)稱為Kuhn-Tucker條件,而滿足此條件的點稱為Kuhn-Tucker點。Kuhn-Tucker條件的幾何意義:在公式(4.15)中,刪去不起作用約束項(注意,它們的系數(shù)是
Kuhn-Tucker條件可簡寫為:存在
),,使得
(4.17)該式在幾何上表示:若是問題(4.7)的最優(yōu)點,則根據(jù)Farkas引理可知,目標函數(shù)在該點的梯度必位于由起作用約束函數(shù)的梯度所張成的凸錐之中。例如,書上圖4-9顯示,在點
處處于由和張成的凸錐之中,因此
滿足Kuhn-Tucker條件,所以它有可能是最優(yōu)點。如圖所示,
確實是最優(yōu)點。但在
處,不在由
和所張成的凸錐之中,
Kuhn-Tucker條件,因此肯定不是最優(yōu)點。就不滿足例4.5說明例4.2中的是Kuhn-Tucker點。解由例4.2中的求解知是Fritz-John點,且。又是線性無關的,所以由是Kuhn-Tucker點。定理4.10可知,3
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