2020年上海春季高考數(shù)學(xué)試卷真題及答案詳解(精校版)

年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷含答案解析一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7-12題每題5分)1．集合，，，2，，若，則．2．不等式的解集為．3．函數(shù)的最小正周期為．4．已知復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部為．5．已知，，則．6．若函數(shù)為偶函數(shù)，則．7．已知直線，，若，則與的距離為．8．已知二項(xiàng)式，則展開式中的系數(shù)為．9．三角形中，是中點(diǎn)，，，，則．10．已知，，，0，1，2，，、，則的情況有種．11．已知、、、、五個(gè)點(diǎn)，滿足，2，，，2，，則的最小值為．12．已知，其反函數(shù)為，若有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為．二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分)13．計(jì)算：A．3 B． C． D．514．“”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件15．已知橢圓，作垂直于軸的垂線交橢圓于、兩點(diǎn)，作垂直于軸的垂線交橢圓于、兩點(diǎn)，且，兩垂線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是A．橢圓 B．雙曲線 C．圓 D．拋物線16．?dāng)?shù)列各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，對(duì)任意滿足，且行列式為定值，則下列選項(xiàng)中不可能的是A．， B．， C．， D．，三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱錐，底面為正方形，邊長為3，平面．（1）若，求四棱錐的體積；（2）若直線與的夾角為，求的長．18．（14分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，．（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，，求滿足時(shí)的最小值．19．（14分）有一條長為120米的步行道，是垃圾投放點(diǎn)，若以為原點(diǎn)，為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，現(xiàn)要建設(shè)另一座垃圾投放點(diǎn)，函數(shù)表示與點(diǎn)距離最近的垃圾投放點(diǎn)的距離．（1）若，求、、的值，并寫出的函數(shù)解析式；（2）若可以通過與坐標(biāo)軸圍成的面積來測算扔垃圾的便利程度，面積越小越便利．問：垃圾投放點(diǎn)建在何處才能比建在中點(diǎn)時(shí)更加便利？20．（16分）已知拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，，過分別作兩條直線交拋物線于、兩點(diǎn)，交直線于、兩點(diǎn)．（1）若點(diǎn)縱坐標(biāo)為，求與焦點(diǎn)的距離；（2）若，，，求證：為常數(shù)；（3）是否存在，使得且為常數(shù)？若存在，求出的所有可能值，若不存在，請(qǐng)說明理由．21．（18分）已知非空集合，函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)任意且，不等式恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．（1）當(dāng)，判斷、是否具有性質(zhì)；（2）當(dāng)，，，，若具有性質(zhì)，求的取值范圍；（3）當(dāng)，，，若為整數(shù)集且具有性質(zhì)的函數(shù)均為常值函數(shù)，求所有符合條件的的值．

2020年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷含答案解析參考答案與試題解析一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7-12題每題5分)1．集合，，，2，，若，則3．【思路分析】利用集合的包含關(guān)系即可求出的值．【解析】：，且，，，故答案為：3．【總結(jié)與歸納】本題主要考查了集合的包含關(guān)系，是基礎(chǔ)題．2．不等式的解集為．【思路分析】將不等式化簡后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集．【解析】：由得，則，即，解得，所以不等式的解集是，故答案為：．【總結(jié)與歸納】本題考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．3．函數(shù)的最小正周期為．【思路分析】根據(jù)函數(shù)的周期為，求出函數(shù)的最小正周期．【解析】：函數(shù)的最小正周期為，故答案為：．【總結(jié)與歸納】本題主要考查正切函數(shù)的周期性和求法，屬于基礎(chǔ)題．4．已知復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部為2．【思路分析】設(shè)，．根據(jù)復(fù)數(shù)滿足，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等即可得出．【解析】：設(shè)，．復(fù)數(shù)滿足，，可得：，，解得，．則的實(shí)部為2．故答案為：2．【總結(jié)與歸納】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．已知，，則．【思路分析】根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式，結(jié)合反三角公式即可得到結(jié)論．【解析】：，，，，，故．故答案為：．【總結(jié)與歸納】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用三角函數(shù)的倍角公式是解決本題的關(guān)鍵．6．若函數(shù)為偶函數(shù)，則1．【思路分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義可得，變形分析可得答案．【解析】：根據(jù)題意，函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，變形可得：，必有；故答案為：1．【總結(jié)與歸納】本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握函數(shù)奇偶性的定義，屬于基礎(chǔ)題．7．已知直線，，若，則與的距離為．【思路分析】由求得的值，再根據(jù)兩平行線間的距離計(jì)算即可．【解析】：直線，，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)與重合，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，；則與的距離為．故答案為：．【總結(jié)與歸納】本題考查了平行線的定義和平行線間的距離計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．8．已知二項(xiàng)式，則展開式中的系數(shù)為10．【思路分析】由，可得到答案．【解析】：，所以展開式中的系數(shù)為10．故答案為：10．【總結(jié)與歸納】本題考查利用二項(xiàng)式定理求特定項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．9．三角形中，是中點(diǎn)，，，，則．【思路分析】根據(jù)余弦定理即可求出，并得出，然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可．【解析】：在中，，，，由余弦定理得，，，且是的中點(diǎn)，．故答案為：．【總結(jié)與歸納】本題考查了余弦定理，向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘的幾何意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．已知，，，0，1，2，，、，則的情況有18種．【思路分析】先討論的取值，得到對(duì)應(yīng)的值，再整體求和即可．【解析】：當(dāng)，0種，當(dāng)，2種，當(dāng)，4種；當(dāng)，6種，當(dāng)，4種；當(dāng)，2種，當(dāng)，0種，故共有：．故答案為：18．【總結(jié)與歸納】本題主要考查分類討論思想在概率中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題目．11．已知、、、、五個(gè)點(diǎn)，滿足，2，，，2，，則的最小值為．【思路分析】可設(shè)，從而據(jù)題意可得出，，并設(shè)，根據(jù)是求的最小值，從而可得出，從而可求出，從而根據(jù)基本不等式即可求出的最小值．【解析】：設(shè)，則，，設(shè)，如圖，求的最小值，則：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為．故答案為：．【總結(jié)與歸納】本題考查了向量垂直的充要條件，利用向量坐標(biāo)解決向量問題的方法，基本不等式求最值的方法，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．12．已知，其反函數(shù)為，若有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為，．【思路分析】因?yàn)榕c互為反函數(shù)若與有實(shí)數(shù)根與有交點(diǎn)方程，有根．進(jìn)而得出答案．【解析】：因?yàn)榕c互為反函數(shù)，若與有實(shí)數(shù)根，則與有交點(diǎn)，所以，即，故答案為：，．【總結(jié)與歸納】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與方程的關(guān)系，屬于中檔題．二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分)13．計(jì)算：A．3 B． C． D．5【思路分析】把分子分母同時(shí)除以，則答案可求．【解析】：．故選：．【總結(jié)與歸納】本題考查數(shù)列極限的求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．14．“”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【思路分析】容易看出，由可得出，而反之顯然不成立，從而可得出“”是“”的充分不必要條件．【解析】：（1）若，則，““是““的充分條件；（2）若，則，得不出，“”不是“”的必要條件，“”是“”的充分非必要條件．故選：．【總結(jié)與歸納】本題考查了充分條件、必要條件和充分不必要條件的定義，，正弦函數(shù)的圖象，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．15．已知橢圓，作垂直于軸的垂線交橢圓于、兩點(diǎn)，作垂直于軸的垂線交橢圓于、兩點(diǎn)，且，兩垂線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是A．橢圓 B．雙曲線 C．圓 D．拋物線【思路分析】利用已知條件判斷軌跡是雙曲線，或利用求解軌跡方程，推出結(jié)果即可．【解析】：，，判斷軌跡為上下兩支，即選雙曲線，設(shè)，，所以，因?yàn)椋?，消去可得：，故選：．【總結(jié)與歸納】本題考查軌跡方程的求法與判斷，是基本知識(shí)的考查，基礎(chǔ)題．16．?dāng)?shù)列各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，對(duì)任意滿足，且行列式為定值，則下列選項(xiàng)中不可能的是A．， B．， C．， D．，【思路分析】化簡行列式，由已知條件，作差化簡得．【解析】：行列式，對(duì)任意滿足，，作差整理得：（常數(shù)列，，或，當(dāng)，則及，方程有兩根，，△，因?yàn)殄e(cuò)，故選：．【總結(jié)與歸納】本題考查行列式，以及方程求解，屬于中檔題．三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱錐，底面為正方形，邊長為3，平面．（1）若，求四棱錐的體積；（2）若直線與的夾角為，求的長．【思路分析】（1）利用已知條件求出，棱錐的高，然后求解棱錐的體積即可．（2）由已知中四棱錐的底面是邊長為3的正方形，平面．異面直線與所成角為，可得為直角三角形，且，，代入求出后，解直角可得答案．【解析】：（1）平面，．，，，，所以四棱錐的體積為12．（2）是正方形，平面，，又平面異面直線與所成角為，在中，，故在中，【總結(jié)與歸納】本題考查幾何體的體積，空間點(diǎn)線面的距離的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力計(jì)算能力，是中檔題．18．（14分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，．（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，，求滿足時(shí)的最小值．【思路分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，解方程可得，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再由等比數(shù)列的求和公式，解不等式可得的最小值．【解析】：（1）數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，，，可得，解得，則；（2）數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，，，可得，即，則，，，即為，即，可得，即的最小值為7．【總結(jié)與歸納】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（14分）有一條長為120米的步行道，是垃圾投放點(diǎn)，若以為原點(diǎn)，為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，現(xiàn)要建設(shè)另一座垃圾投放點(diǎn)，函數(shù)表示與點(diǎn)距離最近的垃圾投放點(diǎn)的距離．（1）若，求、、的值，并寫出的函數(shù)解析式；（2）若可以通過與坐標(biāo)軸圍成的面積來測算扔垃圾的便利程度，面積越小越便利．問：垃圾投放點(diǎn)建在何處才能比建在中點(diǎn)時(shí)更加便利？【思路分析】（1）利用題目所給定義表示出，，分類討論可得；（2）利用題意可得，表示出與坐標(biāo)軸圍成的面積，進(jìn)而表示出面積不等式，解出不等式即可【解析】：（1）投放點(diǎn)，，表示與距離最近的投放點(diǎn)（即的距離，所以，同理分析，，，由題意得，，，則當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；綜上；（2）由題意得，，所以，則與坐標(biāo)軸圍成的面積如陰影部分所示，所以，由題意，，即，解得，即垃圾投放點(diǎn)建在與之間時(shí)，比建在中點(diǎn)時(shí)更加便利．【總結(jié)與歸納】本題是新定義問題，考查對(duì)題目意思的理解，分類討論是關(guān)鍵，屬于中檔題．20．（16分）已知拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，，過分別作兩條直線交拋物線于、兩點(diǎn)，交直線于、兩點(diǎn)．（1）若點(diǎn)縱坐標(biāo)為，求與焦點(diǎn)的距離；（2）若，，，求證：為常數(shù)；（3）是否存在，使得且為常數(shù)？若存在，求出的所有可能值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【思路分析】（1）點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，得，由此能求出與焦點(diǎn)的距離．（2）設(shè)，直線，當(dāng)時(shí)，，同理求出，由此能證明為常數(shù)．（3）解設(shè)，，直線，聯(lián)立，得，求出，同理得，由此能求出存在，使得且為常數(shù)1．【解析】：（1）解：拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，，過分別作兩條直線交拋物線于、兩點(diǎn)，交直線于、兩點(diǎn)．點(diǎn)縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，，與焦點(diǎn)的距離為．（2）證明：設(shè)，直線，當(dāng)時(shí)，，直線，時(shí)，，，為常數(shù)．（3）解：設(shè)，，直線，聯(lián)立，得，，即，同理得，，，要使為常數(shù)，即，此時(shí)為常數(shù)1，存在，使得且為常數(shù)1．【總結(jié)與歸納】本題考查點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的求法，考查兩點(diǎn)縱坐標(biāo)乘積為常數(shù)的證明，考查滿足兩點(diǎn)縱坐標(biāo)乘積為常數(shù)的實(shí)數(shù)值是否存在的判斷與求法，考查拋物線、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．21．（18分）已知非空集合，函數(shù)的定義域?yàn)椋魧?duì)任意且，不等式恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．（1）當(dāng)，判斷、是否具有性質(zhì)；（2）當(dāng)，，，，若具有性質(zhì)，求的取值范圍；（3）當(dāng)，，，若為整數(shù)集且具有性質(zhì)的函數(shù)均為常值函數(shù)，求所有符合條件的的值．【思路分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合新定義，逐個(gè)判斷即可；（2）依題意，為