結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)-地震

Prof.LanheWuShijiazhuangTiedaoUniv.DynamicsofStructures第七章結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析地震作用與地震作用理論概述單自由度地震作用分析地震反應(yīng)譜多自由度地震作用分析地震反應(yīng)的時(shí)程分析法幾點(diǎn)結(jié)論§7.1地震作用與地震作用理論概述一、地震作用(地震力)

由于地面運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)質(zhì)量所產(chǎn)生的慣性力稱為地震作用或地震力.結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)當(dāng)然必須首先解決地震力的計(jì)算.因?yàn)榈卣鹆Σ粌H和地面運(yùn)動(dòng)有關(guān),而且還和結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性有關(guān).而地面運(yùn)動(dòng)的特征(強(qiáng)度、頻譜特征、持續(xù)時(shí)間等)受震源機(jī)制、地質(zhì)條件等等影響,結(jié)構(gòu)本身又是一十分復(fù)雜的力學(xué)系統(tǒng),加之結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)間的相互作用,其中許多因素是搞不清楚的.因此地震作用的研究經(jīng)歷了艱難的歷程.二、地震作用理論

由于問題的復(fù)雜性,地震作用理論經(jīng)歷了一個(gè)由粗略到科學(xué)的如下逐步發(fā)展過程:1)靜力理論

這是本世紀(jì)初日本大森房吉提出的,為了簡化他把結(jié)構(gòu)視作剛體.

因此如果地面運(yùn)動(dòng)的最大加速度為,結(jié)構(gòu)某處的重量為,則此質(zhì)量所受的地震力為由于完全不考慮結(jié)構(gòu)的變形,顯然靜力理論與實(shí)際不符.2)定函數(shù)理論

這是原蘇聯(lián)扎夫里耶夫在大森房吉之后首先提出的“動(dòng)力理論”.他將地震地面運(yùn)動(dòng)視作余弦函數(shù)后來原蘇聯(lián)柯爾琴斯基又對其進(jìn)行了修正,將地面運(yùn)動(dòng)假設(shè)為該理論雖然克服了靜力理論不考慮結(jié)構(gòu)變形的缺點(diǎn),但實(shí)際地面運(yùn)動(dòng)復(fù)雜的多,根本不能用確定函數(shù)來描述.3)反應(yīng)譜理論這是以單自由度線性體系在實(shí)際地面運(yùn)動(dòng)作用下的反應(yīng)為基礎(chǔ),對結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析的“擬靜力理論”.我國和許多國家的抗震設(shè)計(jì)規(guī)范都以這種理論為依據(jù),后面將專門介紹.4)時(shí)程分析理論這是以體系運(yùn)動(dòng)方程為基礎(chǔ),用數(shù)值積分方法求體系反應(yīng)時(shí)間歷程的“動(dòng)力理論”(也稱直接積分理論).隨著電算技術(shù)的發(fā)展,我國抗震設(shè)計(jì)規(guī)范已規(guī)定,對一些高層和大型重要建筑要用時(shí)程分析法進(jìn)行補(bǔ)充計(jì)算，今后還將得到更廣泛的應(yīng)用和發(fā)展。5)其他理論地震、脈動(dòng)風(fēng)荷載等都是隨機(jī)荷載，當(dāng)然可以用隨機(jī)振動(dòng)理論來進(jìn)行地震反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征分析.也可從地震時(shí)結(jié)構(gòu)不破壞條件下所能吸收的能量來進(jìn)行設(shè)計(jì).但這些地震作用理論都還未被列入規(guī)范,因此都未能在抗震設(shè)計(jì)中普遍應(yīng)用.地震地面運(yùn)動(dòng)是多維的,但經(jīng)驗(yàn)表明水平地面運(yùn)動(dòng)是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞的主要因素,作為初學(xué),本章只討論受單向水平地面運(yùn)動(dòng)激勵(lì)的情況.震害和計(jì)算都表明,對高烈度區(qū)地震豎向地面運(yùn)動(dòng)的影響較顯著。因此，我國對高烈度區(qū)的一些大跨、高聳結(jié)構(gòu)和靠自重保持平衡的結(jié)構(gòu)規(guī)定需要考慮豎向地震的作用?！?.2單自由度地震作用分析

本節(jié)是反應(yīng)譜理論的基礎(chǔ),為此首先討論受地面運(yùn)動(dòng)激勵(lì)的體系運(yùn)動(dòng)方程.一單、多自由度體系地震作用運(yùn)動(dòng)方程h

m

EI解：由于橫梁剛度無窮大，結(jié)構(gòu)只能產(chǎn)生水平相對位移。設(shè)x坐標(biāo)向右。又設(shè)橫梁（質(zhì)量m）相對地面位移為u，以它為隔離體，受力如圖所示。h

列x方向全部力的平衡方程，即可得結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為圖中Fs1和Fs2可由圖是有位移法（實(shí)際直接可由形常數(shù)）得到例-1)試建立圖示結(jié)構(gòu)受地面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。解：為用剛度法建方程，沿位移正向使限制位移的支座產(chǎn)生圖示單位位移。由層剛度定義可得1h1h2k1k2h1h2k1k21k11k21k22k12h2h1k1k2m1m2ug(t)fe1fd1fI1fe2fI2fd2加慣性力、阻尼力後以樓層為隔離體例-2)試用剛度法建立圖示受地面運(yùn)動(dòng)激勵(lì)的剪切型結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程。k1和k2為層側(cè)移剛度。ug(t)fe1fd1fI1fe2fI2fd2圖中各項(xiàng)和第二章例子相仿，分別為列平衡方程并以矩陣方程表示，則得運(yùn)動(dòng)方程如下元素全為1ui為相對位移二單自由度體系地震反應(yīng)分析單自由度體系地震反應(yīng)分析運(yùn)動(dòng)方程為或表示成在零初始條件下式(5)的位移解答為由此體系的地震作用(慣性力)為由于一般結(jié)構(gòu)阻尼比很小,可近似認(rèn)為d,所以式中對抗震設(shè)計(jì)來說,關(guān)心的是最大地震作用,也即式(14)和式(1)形式上完全相同,但其概念是根本不同的.式(1)中a0是地面最大加速度,與體系的動(dòng)力特性無關(guān).而式(14)中amax是質(zhì)點(diǎn)最大絕對加速度,它和體系的動(dòng)力特性(頻率和阻尼)有關(guān).對抗震設(shè)計(jì)來說,一旦求得地震作用P,即可將其看作靜力作用進(jìn)行結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度等驗(yàn)算.§7.3地震反應(yīng)譜從式(6)-(8)或式(11)-(14)可見,相對位移、相對速度、絕對加速度反應(yīng)和地面加速度、周期和阻尼有關(guān),都是時(shí)間的函數(shù).一、相對位移、速度和絕對加速度反應(yīng)譜對于某一地面地震記錄,相對位移、相對速度、絕對加速度的最大反應(yīng)只是周期T和阻尼比的函數(shù)，如果固定阻尼比,則最大反應(yīng)只和周期有關(guān),這一關(guān)系曲線則分別稱為該地震的相對位移、相對速度、絕對加速度的反應(yīng)譜,分別記作D(T)、V(T)、A(T)。講義上圖5-2、5-3和5-4分別為1940年Elcentro南-北地震分量的相對位移、相對速度、絕對加速度反應(yīng)譜.由于一般結(jié)構(gòu)阻尼比很小,可近似認(rèn)為d,所以從式(11)-(13)可見,D(T)、V(T)、A(T)分別為(15)(16)(17)(18)如果稱下式為準(zhǔn)速度反應(yīng)譜則位移、加速度反應(yīng)譜和準(zhǔn)速度反應(yīng)譜間有如下關(guān)系(19)(21a)(20)(22a)如果記(21b)則速度和準(zhǔn)速度反應(yīng)譜分別為(22b)由式(22)可見(23a)(24a)式中(24b)由此可見(25)(23b)由式(19)、(20)、(25)可見,只要有三個(gè)反應(yīng)譜之一,就可利用其間所述關(guān)系方便地求得另兩個(gè)反應(yīng)譜.上面介紹了用計(jì)算機(jī)計(jì)算的辦法獲得反應(yīng)譜,實(shí)際上也可利用“多擺地震儀”在地震現(xiàn)場實(shí)測出反應(yīng)譜.二、地震反應(yīng)譜的標(biāo)準(zhǔn)化地震反應(yīng)譜隨地面運(yùn)動(dòng)的不同而變化，不同次地震的反應(yīng)譜是不同的，同一次地震不同地點(diǎn)由于地質(zhì)條件的不同，地面運(yùn)動(dòng)也是不同的，因此地震反應(yīng)譜也不同。工程抗震所要設(shè)計(jì)的建筑場地未來的地震更是無法預(yù)知的，自然無法得到其地震反應(yīng)譜。但是，由大量地震記錄計(jì)算獲得的反應(yīng)譜卻有如下共同的特征：1)阻尼對減少反應(yīng)譜峰值有很大作用.2)速度反應(yīng)譜在相當(dāng)寬的周期范圍內(nèi)接近于一定值.3)加速度反應(yīng)譜當(dāng)周期稍長時(shí)譜值隨周期反比下降.

這樣就有可能利用眾多的地震記錄算得其平均反應(yīng)譜作為設(shè)計(jì)的依據(jù).這個(gè)平均反應(yīng)譜稱為標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜.講義上圖5-6和圖5-7為C.W.Housner得到的平均速度和平均加速度反應(yīng)譜.圖5-8是三種反應(yīng)譜隨周期變化趨勢的示意.

當(dāng)周期很短時(shí),由于加速度儀嚴(yán)重失真,因此反應(yīng)譜的這一段誤差較大.但作為極端情況T=0,此時(shí)體系為剛體,無相對位移和速度,所以D=V=0.而amax=|üg|max.當(dāng)周期很長時(shí),系統(tǒng)剛度很小,質(zhì)點(diǎn)相當(dāng)于空中定點(diǎn),地面運(yùn)動(dòng)時(shí)處于不動(dòng)的狀態(tài).此時(shí)D=|ug|max.另兩反應(yīng)譜可由三反應(yīng)譜關(guān)系得到.三、抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜

目前抗震設(shè)計(jì)主要是確定地震作用,然后根據(jù)地震作用按靜力作結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度驗(yàn)算.單自由度體系的地震作用為(26)為地震影響系數(shù),我國抗震設(shè)計(jì)規(guī)范<建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范>(GBJ11-89)給出了地震影響系數(shù)和體系周期的關(guān)系曲線如講義圖5-9所示.§7.4多自由度地震作用分析多自由度地震作用分析又稱作振型分解反應(yīng)譜法,顧名思義不難想到是利用振型分解和反應(yīng)譜來解決多自由度體系的地震反應(yīng).圖中Tg和max根據(jù)場地土的類別和國家規(guī)定的近震還是遠(yuǎn)震、建設(shè)地點(diǎn)的設(shè)防烈度由表5-1和5-2來確定。一、反應(yīng)譜理論的適用條件

實(shí)際上反應(yīng)譜理論有如下三個(gè)假定:1)結(jié)構(gòu)的地基式剛性盤體.這一假定對一般建筑物由于其長度遠(yuǎn)小于地震波的波長,可認(rèn)為近似滿足.但對于大跨度橋梁和大型水壩等結(jié)構(gòu),這一假定是不合理的.2)結(jié)構(gòu)是理想彈性體.在小震作用下,結(jié)構(gòu)不破壞,可近似看作彈性體.但在大震、罕遇地震作用下,我國抗震設(shè)計(jì)原則是“大震不倒”,允許結(jié)構(gòu)進(jìn)入非彈性狀態(tài),此時(shí)反應(yīng)譜理論不適用.3)地面運(yùn)動(dòng)過程可以用地震記錄來表示.雖然地震儀在高頻和低頻部分有失真,但是除地震記錄外,沒有更可靠的資料能說明地震地面運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.二、多自由度體系地震反應(yīng)分析多自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程為(27)利用第四章振型分解法結(jié)果,設(shè){u}=yj(t){A}j,將式(27)兩邊左乘{(lán)A}iT,可得Mi*?i(t)+Ci*yi(t)+Ki*yi(t)=Pi*(t)(28)式中Mi*={A}iT[M]{A}i(29)Ci*={A}iT[C]{A}i(30)Ki*={A}iT[K]{A}i(31)Pi*(t)=-{A}iT[M]{1}üg(t)(32)式(28)也可改寫為?i(t)+2iiyi(t)+i2yi(t)=-iüg(t)(33)其中振型參與系數(shù)為i

={A}iT[M]{1}/Mi*(34)式(33)和單自由度運(yùn)動(dòng)方程只差一個(gè)振型參與系數(shù),因此對每一振型均可利用單自由度的解答(35)將其代回{u}=yi(t){A}i,即可得{u}=ii(t){A}i.式中i(t)稱為第i振型的廣義位移,由式(35)可知[和式(11)一樣](36)三、多自由度體系地震作用分析

多自由度體系第r質(zhì)點(diǎn)的地震作用(地震力)為(37)若將[M]{1}üg也按振型分解,即設(shè)[M]{1}=ai[M]{A}i,則由振型正交性可證:ai=i.因此mrüg=mrügiAri(38)式(37)和(38)中Ari為第i振型第r自由度的值.由式(38)可知iAri=1(39)將式(38)代回式(37)可得由于i(t)=ui(t)[對比式(11)和式(36)],因此絕對加速度(40)式(41)稱為第i振型的廣義加速度反應(yīng)函數(shù).由此(41)(42)若記考慮到設(shè)計(jì)關(guān)心的是最大反應(yīng),如取imax=i(T)稱為第i振型地震影響系數(shù)(由圖5-9確定),則第i振型最大地震作用為(44)(43)i振型影響函數(shù)i振型作用函數(shù)(46)則(45)式(45)表明地震作用反應(yīng)函數(shù)Pi(t)為各振型地震作用反應(yīng)函數(shù)之和,它是地震作用的一般公式.而工程抗震設(shè)計(jì)中,要用結(jié)構(gòu)最大內(nèi)力作設(shè)計(jì)依據(jù).7.4.4振型組合問題7.4.4振型組合問題(47)(48)用式(48)計(jì)算最大內(nèi)力反應(yīng)顯然不便于工程抗震設(shè)計(jì)應(yīng)用.為此,利用反應(yīng)譜確定各振型地震反應(yīng)影響函數(shù)的最大值imax=i(T),則可求得各振型的最大地震內(nèi)力由各振型的地震作用反應(yīng)函數(shù)可求得各振型的內(nèi)力反應(yīng)函數(shù).設(shè)k截面第i振型內(nèi)力反應(yīng)函數(shù)為式中為作為靜力