流體力學(xué) 4-4流體動(dòng)力學(xué)

§4-4動(dòng)量方程及其應(yīng)用在工程實(shí)際中有時(shí)要計(jì)算流體與固體相互作用的力，動(dòng)量方程提供了流體與固體相互作用的動(dòng)力學(xué)規(guī)律。一、穩(wěn)定流動(dòng)量方程從物理學(xué)中的動(dòng)量定律知道，單位時(shí)間內(nèi)物體的動(dòng)量變化等于作用于該物體上外力的總和。由于流動(dòng)為穩(wěn)定流動(dòng)，所以時(shí)間的下標(biāo)可去掉，則22圖4－15

控制體及系統(tǒng)

IIIIIIv1

v2

111122如圖示是一個(gè)穩(wěn)定流動(dòng)。首先選取

所圍成的空間為控制體，取t時(shí)刻占據(jù)控制體的流體為系統(tǒng)，經(jīng)過時(shí)間dt間隔后，控制體不動(dòng)，而系統(tǒng)移動(dòng)到新的位置

，構(gòu)成了圖示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)空間區(qū)域。在此過程中，系統(tǒng)動(dòng)量的變化值為這就是一元穩(wěn)定流動(dòng)的動(dòng)量方程。兩端同除以dt得（1）由動(dòng)量定理得為流入控制體內(nèi)的流體所具有的動(dòng)量，而為流出控制體的動(dòng)量，并考慮到穩(wěn)定流動(dòng)的連續(xù)性方程，則有物理意義：作用在控制體上的合力等于單位時(shí)間內(nèi)流出與流入控制體的動(dòng)量差。式（1）的分量形式為（2）作用在控制體上的合外力如下圖示：首先，控制體外流體或固體壁面作用在控制體上的表面力：在控制體進(jìn)出口截面上的和；在控制體側(cè)表面上有壓力的合力P及粘性力的合力T，這兩個(gè)力比較復(fù)雜，在大多數(shù)情況下是未知量，常用R=P+T來表示作用在控制體側(cè)表面上的合力，即通過控制體側(cè)表面作用在控制體內(nèi)流體上的合力。圖4－16

控制體受力分析

Fb=mfp1A1

p2A2

n1

n2

P=∫pdA

T=v1所以式（1）中合力為把上式代入（1），得或（3）（4）其次，作用于控制體內(nèi)流體的質(zhì)量力一般為重力。①R為壁管對(duì)管內(nèi)流體的作用力，根據(jù)牛頓第三定律可

知，F(xiàn)和R是一對(duì)作用力和反作用力，即：F=-R。②式（1）和（5）僅適用于只有一個(gè)進(jìn)出口的控制體?？紤]到及，上式可寫成（5）引入沖量，且重力忽略不計(jì)，則上式變?yōu)閺?qiáng)調(diào)：對(duì)于有多個(gè)進(jìn)出口的控制體，可依據(jù)動(dòng)量方程物理意義將其推廣得到及（7）（6）注意正負(fù)號(hào)穩(wěn)定流動(dòng)的動(dòng)量方程的特點(diǎn)：①在計(jì)算過程中只涉及控制面上的運(yùn)動(dòng)要素，而不必考慮控制體內(nèi)部的流動(dòng)狀態(tài)。②作用力與流速都是矢量，動(dòng)量也是矢量，故動(dòng)量方程是一個(gè)矢量方程。二、動(dòng)量方程的應(yīng)用

應(yīng)用動(dòng)量方程應(yīng)注意：1.合理選用控制體，正好包含需要確定流體作用力的邊界，上下游斷面選取在緩變流區(qū)域以便計(jì)算壓力；2.方程中應(yīng)包含作用于控制體的一切外力，兩斷面上的壓力、邊界上的力不要遺漏，但不包括慣性力。3.注意正負(fù)號(hào)（Q,v），對(duì)于Q而言，流出為正，流入為負(fù)；對(duì)于v而言，與坐標(biāo)軸方向相同為正，相反為負(fù)；4.動(dòng)量方程是矢量式，應(yīng)寫成分量形式，對(duì)未知力可假設(shè)其方向，如果結(jié)果為正，說明原假設(shè)的方向正確，如果結(jié)果為負(fù)，則作用力的方向與原假設(shè)方向相反。5.一般要聯(lián)立連續(xù)性方程和伯努利方程求解。1．流體作用于彎管的力一變直徑彎管，軸線位于同一水平面，轉(zhuǎn)角，直徑由變?yōu)?，在流量時(shí)，壓強(qiáng)，求水流對(duì)AB段彎管的作用力。不計(jì)彎斷的水頭損失。解：取控制體為彎管AB內(nèi)的空間，坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)R為彎管AB對(duì)控制體內(nèi)流體的作用力。采用動(dòng)量方程的投影式即：水流對(duì)彎管的作用力F的大小將、、值代入式（1）和（2），得F與x軸的夾角2．射流對(duì)固體壁面的沖擊力

一股均勻射流正面沖擊如右圖所示固體壁面，由于控制體內(nèi)的流程很短，水流阻力較其他外力很微小，可忽略不計(jì)。因此可認(rèn)為：（1）控制體內(nèi)液流的能量損失（2）水平射流與壁面在接觸后，射流只是改變方向，不改變大小；（3）由于壁面的對(duì)稱性，水平射流的反作用力R平行于射流方向。圖4－19QvQ/2vQ/2vθθF=-Rx例4-6

試求圖示的射流對(duì)擋板的作用力。解：設(shè)水平射流的流量為Q，因曲面對(duì)稱且正迎著射流，則兩股流量可認(rèn)為相等，都為Q/2，x方向動(dòng)量方程為例4－6圖（a）

QvQ/2vQ/2vθθF=-Rx所以,射流對(duì)壁面的作用力為----射流沖擊力的分析是沖擊式水輪機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的理論基礎(chǔ)。從上式可知：

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，曲面所受沖擊力最大，如例4－6圖（b）所示。例4－6圖(b)

QvQ/2vQ/2vF=-R射流對(duì)壁面的作用力為例4－7圖

Q0，v0Q1，v0Q2，v0θF=-Rxyo解：設(shè)射流的初始速度為v0，因?yàn)楸诿婀饣?，水平射流的速度只改變方向不改變大?。?/p>

光滑壁面對(duì)射流的反力R垂直于壁面，合外力在x方向上為0，列x方向的動(dòng)量方程可得例4－7

流量為

的水平射流，沖擊鉛直放置并與之成θ角的光滑平面壁，沖擊后液流分散，設(shè)液流的密度為ρ。求：（1）流量

與

之分配；（2）若測(cè)得來流的直徑為

，射流對(duì)平面壁的沖力F是多少？聯(lián)立上兩式可解出列y方向的動(dòng)量方程式由連續(xù)性方程3.

射流的反推力航天器利用氣流反推力獲得飛行動(dòng)力.如火箭，左圖。取與火箭一起運(yùn)動(dòng)的相對(duì)坐標(biāo)系，取火箭本身的外殼表面和噴管出口截面積為A，流體相對(duì)于發(fā)射火箭噴出的速度為流量為，流體密度為，列飛行方向的動(dòng)量方程有火箭所獲推力與氣流受力方向相反，即可說明：提高速度可增大火箭推力。圖4－20

火箭的推力zQvF

1.應(yīng)用動(dòng)量方程時(shí)，一般要聯(lián)立_______才